Yang-Mills-Fluss

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Sei ${\displaystyle G}$ eine kompakte Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ und ${\displaystyle E\twoheadrightarrow B}$ ein ${\displaystyle G}$-Hauptfaserbündel, wobei ${\displaystyle B}$ eine kompakte orientierbare Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Metrik ${\displaystyle g}$ und Volumenform ${\displaystyle \operatorname {vol} _{g}}$ ist. Sei ${\displaystyle \operatorname {Ad} (E):=E\times _{G}{\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow B}$ das adjungierte Vektorbündel. ${\displaystyle {\mathcal {A}}:=\Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})}$, ein affiner Vektorraum über ${\displaystyle \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$ und daher nicht kanonisch isomorph, ist der Raum der Zusammenhänge. Diese sind also unter der adjungierten Darstellung ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$ invariante ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-wertige (Lie-Algebra-wertige) Differentialformen auf ${\displaystyle E}$ und unterscheiden sich beim Rückzug entlang glatter Schnitte ${\displaystyle B\hookrightarrow E}$ um ${\displaystyle \operatorname {Ad} (E)}$-wertige (vektorbündelwertige) Differentialformen auf ${\displaystyle B}$.

Die Yang-Mills-Wirkung ist gegeben durch:^[1][2][3]

${\displaystyle \operatorname {YM} \colon {\mathcal {A}}=\Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})\rightarrow \mathbb {R} ,\operatorname {YM} (A):=\int _{B}\|F_{A}\|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}.}$

${\displaystyle \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$ ist ein Vektorraum mit einem von ${\displaystyle g}$ induziertem Skalarprodukt. Dadurch lässt sich der Gradient definieren durch:

${\displaystyle \operatorname {grad} (\operatorname {YM} )\colon {\mathcal {A}}=\Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E)),\langle \operatorname {grad} (\operatorname {YM} )(A),-\rangle =\mathrm {d} _{A}\operatorname {YM} (-).}$

Genau dieser Ausdruck liegt den Ableitungen der Yang-Mills-Gleichungen zugrunde, nämlich genau den kritischen Punkten der Yang-Mills-Wirkung ohne einen Gradient:

${\displaystyle \operatorname {grad} (\operatorname {YM} )(A)=-\delta _{A}F_{A}.}$

Für ein offenes Intervall ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ ist eine ${\displaystyle C^{1}}$-Abbildung ${\displaystyle \alpha \colon I\rightarrow {\mathcal {A}}=\Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})}$ (also stetig differenzierbar) mit:^[4][5][2][3]

${\displaystyle \alpha '(t)=-\operatorname {grad} (\operatorname {YM} )(\alpha (t))=-\delta _{\alpha (t)}F_{\alpha (t)}}$

ein Yang-Mills-Fluss.

• Für einen Yang-Mills-Zusammenhang ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}=\Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})}$ ist der konstante Weg auf diesem ein Yang-Mills-Fluss.
• Für einen Yang-Mills-Fluss ${\displaystyle \alpha \colon I\rightarrow {\mathcal {A}}=\Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})}$ gilt:

${\displaystyle (\operatorname {YM} \circ \alpha )'(t)=-\int _{X}\|\alpha '(t)\|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}\leq 0.}$

${\displaystyle \operatorname {YM} \circ \alpha \colon I\rightarrow \mathbb {R} }$ ist also eine monoton sinkende Funktion. Alternativ kann die Ableitung mit der obigen Gleichung mit der Bi-Yang-Mills-Wirkung verbunden werden:^[6]

${\displaystyle (\operatorname {YM} \circ \alpha )'(t)=-\int _{X}\|\delta _{\alpha (t)}F_{\alpha (t)}\|^{2}\mathrm {d} \operatorname {vol} _{g}=\operatorname {BiYM} (\alpha (t)).}$

Da die Yang-Mills-Wirkung immer positiv ist, wird ein in die Unendlichkeit fortgesetzter Yang-Mills-Fluss zwangsläufig gegen eine verschwindende Ableitung und daher nach obiger Gleichung einen Yang-Mills-Zusammenhang konvergieren.

• Für einen Zusammenhang ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}=\Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})}$ gibt es einen eindeutigen Yang-Mills-Fluss ${\displaystyle \alpha \colon [0,\infty )\rightarrow {\mathcal {A}}=\Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})}$ mit ${\displaystyle \alpha (0)=A}$. Dabei ist ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\alpha (t)}$ ein Yang-Mills-Zusammenhang.
• Für einen stabilen Yang-Mills-Zusammenhang ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}=\Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})}$ gibt es eine Umgebung, sodass für jeden eindeutigen Yang-Mills-Fluss ${\displaystyle \alpha \colon [0,\infty )\rightarrow \Omega ^{1}(B,\operatorname {Ad} (E))}$ mit Anfangsbedingung darin gilt:

  ${\displaystyle A=\lim _{t\rightarrow \infty }\alpha (t).}$

• Simon K. Donaldson und Peter B. Kronheimer: The Geometry of Four-Manifolds. Oxford University Press, 1990, ISBN 0-19-853553-8, doi:10.1093/oso/9780198535539.001.0001 (englisch).
• Casey Lynn Kelleher: Singularity formation of the Yang-Mills flow. 9. Februar 2016, arxiv:1602.03125 (englisch).
• Alex Waldron: Long-time existence for Yang-Mills flow. 11. Oktober 2016, arxiv:1610.03424 (englisch).
• Pan Zhang: Gradient Flows of Higher Order Yang-Mills-Higgs Functionals. 30. März 2020, arxiv:2004.00420 (englisch).

• Yang-Mills-Higgs-Fluss
• Seiberg-Witten-Fluss

• Yang-Mills flow auf nLab (englisch)