4-politopo regular

Los 4-politopos regulares convexos fueron descritos por primera vez por el matemático suizo Ludwig Schläfli a mediados del siglo XIX. ^[1] Descubrió que existen precisamente seis de estas figuras.

También encontró cuatro de los 4-politopos estrellados regulares: el gran 120-celdas, el gran 120-celdas estrellado, el gran 600-celdas y gran gran 120-celdas estrellado. Omitió las seis formas restantes porque no cumplían con el criterio de la característica de Euler en celdas o figuras de vértice (para toros de cero agujeros: F− E + V = 2). Eso excluye celdas y figuras de vértice como el gran dodecaedro {5,5/2} y como el pequeño dodecaedro estrellado {5/2,5}.

Edmund Hess (1843-1903) publicó la lista completa en su libro en alemán de 1883 "Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder" (Introducción a la teoría de la división de esferas, con especial consideración de su aplicación a la teoría de poliedros equifaciales y equiangulares.).

La existencia de un 4-politopo regular ${\displaystyle \{p,q,r\}}$ está restringida por la existencia de los poliedros regulares ${\displaystyle \{p,q\},\{q,r\}}$ que forman sus celdas y por una restricción del ángulo diedro

${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}>\cos {\frac {\pi }{q}}}$

para asegurar que las celdas se unan y formen una superficie tridimensional cerrada.

Los seis politopos convexos y los diez politopos estrellados descritos son las únicas soluciones a estas restricciones.

Existen cuatro politopos no convexos con símbolo de Schläfli {p,q,r} que tienen celdas válidas {p,q} y figuras de vértice {q,r}, y que superan la prueba diedral, pero no producen figuras finitas: {3,5/2,3}, {4,3,5/2}, {5/2,3,4}, {5/2,3,5/2}.

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Los politopos regulares convexos de 4 dimensiones son los análogos tetradimensionales de los sólidos platónicos en tres dimensiones y de los polígonos regulares convexos en dos dimensiones.

Cada politopo regular convexo de 4 dimensiones está delimitado por un conjunto de celdas tridimensionales, que son sólidos platónicos del mismo tipo y tamaño. Estos se unen en sus respectivas caras (cara a cara) de forma regular, formando la superficie del politopo de 4 dimensiones, que es un espacio tridimensional cerrado y curvo (análogo a la forma en que la superficie de la Tierra es un espacio bidimensional cerrado y curvo).

Al igual que sus análogos tridimensionales, los politopos regulares convexos de 4 dimensiones pueden ordenarse naturalmente por tamaño como una medida de contenido tetradimensional (hipervolumen) para el mismo radio. Cada politopo mayor en la secuencia es más redondo que su predecesor, encerrando más contenido dentro del mismo radio.^[2] El 4-símplex (5-celdas) tiene el menor contenido, y el 120-celdas, el mayor.

4-politopos convexos regulares
Grupo de simetría	A4	B4		F4	H4
Nombre	Pentácoron Híper-tetraedro 5-puntos	Hexadecacoron Híper-octaedro 8-puntos	Teseracto Híper-cubo 16-puntos	Icositetracoron 24-puntos	Hexacosicoron Híper-Icosaedro 120-puntos	Hecatonicosacoron Híper-dodecaedro 600-puntos
Símbolo de Schläfli	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Espejos de Coxeter
Diedros en espejo	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/4 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/4 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/4 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/3 𝝅/3 𝝅/5 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2	𝝅/5 𝝅/3 𝝅/3 𝝅/2 𝝅/2 𝝅/2
Grafo
Vértices	5 tetraedros	8 octaedros	16 tetraedros	24 cubos	120 icosaedros	600 tetraedros
Aristas	10 triángulos	24 cuadrados	32 triángulos	96 triángulos	720 pentágonos	1200 triángulos
Caras	10 triángulos	32 triángulos	24 cuadrados	96 triángulos	1200 triángulos	720 pentágonos
Celdas	5 tetraedros	16 tetraedros	8 cubos	24 octaedros	600 tetraedros	120 dodecaedros
Toros	1 5-tetraedro	2 8-tetraedros	2 4-cubos	4 6-octaedros	20 30-tetraedros	12 10-dodecaedros
Inscrito	120 en 120-celdas	675 en 120-celdas	2 16-celdas	3 8-celdas	25 24-celdas	10 600-celdas
Grandes polígonos		2 cuadrados x 3	4 rectángulos x 4	4 hexágonos x 4	12 decágonos x 6	100 hexágonos irregulares x 4
Polígonos de Petrie	1 pentágono x 2	1 octágono x 3	2 octágonos x 4	2 dodecágonos x 4	4 30-gonos x 6	20 30-gonoss x 4
Radio largo	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
Longitud arista	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1,581}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1,414}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi }}\approx 0,618}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0,270}$
Radio corto	${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0,707}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0,926}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0,926}$
Área	${\displaystyle 10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10,825}$	${\displaystyle 32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27,713}$	${\displaystyle 24}$	${\displaystyle 96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41,569}$	${\displaystyle 1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198,48}$	${\displaystyle 720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90,366}$
Volumen	${\displaystyle 5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2,329}$	${\displaystyle 16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5,333}$	${\displaystyle 8}$	${\displaystyle 24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11,314}$	${\displaystyle 600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16,693}$	${\displaystyle 120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18,118}$
4-Volumen	${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0,146}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\approx 0,667}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Corto}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3,863}$	${\displaystyle {\tfrac {{\text{Corto}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4,193}$

La siguiente tabla enumera algunas propiedades de los seis 4-politopos regulares convexos. Los grupos de simetría de estos 4-politopos son todos grupos de Coxeter y se dan en la notación descrita en ese artículo. El número que sigue al nombre del grupo es el orden del grupo.

Nombres	Imagen	Familia	Schläfli Coxeter	V	A	C	Cel	Fig. vért.	Dual	Grupo de simetría
5-celdas Pentácoron Pentatope 4-símplex		n-símplex (Familia An)	{3,3,3}	5	10	10 {3}	5 {3,3}	{3,3}	Auto-dual	A4 [3,3,3]	120
16-celdas Hexadecacoron 4-ortoplex		n-ortoplex (Familia Bn)	{3,3,4}	8	24	32 {3}	16 {3,3}	{3,4}	8-celdas	B4 [4,3,3]	384
8-celdas Octacoron Teseracto 4-cubo		Hipercubo n-cubo (Familia Bn)	{4,3,3}	16	32	24 {4}	8 {4,3}	{3,3}	16-celdas
24-celdas Icositetracoron Octaplex Polioctaedro (pO)		Familia Fn	{3,4,3}	24	96	96 {3}	24 {3,4}	{4,3}	Auto-dual	F4 [3,4,3]	1152
600-celdas Hexacosicoron Tetraplex Politetraedro (pT)		Politopo n-pentagonal (Familia Hn)	{3,3,5}	120	720	1200 {3}	600 {3,3}	{3,5}	120-celdas	H4 [5,3,3]	14400
120-celdas Hecatonicosacoron Dodecacontacoron Dodecaplex Polidodecaedro (pD)		Politopo n-pentagonal (Familia Hn)	{5,3,3}	600	1200	720 {5}	120 {5,3}	{3,3}	600-celdas

John Conway propuso los nombres símplex, ortoplex, teseracto, octaplex o polioctaedro (pO), tetraplex o politetraedro (pT) y dodecaplex o polidodecaedro (pD).^[3]

Norman Johnson propuso los nombres n-celda, o pentacoron, hexadecacoron, teseracto u octacoron, icositetracoron, hexacosicoron y hecatonicosacoron (o dodecacontacoron), acuñando el término policoron, una analogía en 4D del poliedro en 3D y el polígono en 2D, expresado a partir de las raíces griegas poli (muchos) y choros (espacio).^[4][5]

La característica de Euler para todos los 4-politopos es cero. La fórmula poliédrica de Euler análoga en 4 dimensiones tiene la expresión:

${\displaystyle N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,}$

donde N_k denota el número de caras k en el politopo (un vértice es una cara 0, una arista es una cara 1, etc.).

La topología de cualquier 4-politopo se define por su número de Betti y por su coeficiente de torsión.^[6]

Un 4-politopo regular se puede describir completamente como un configuration matrix que contiene el número de sus elementos componentes. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números de la diagonal (de arriba a la izquierda a abajo a la derecha) indican cuántos elementos de cada tipo aparecen en todo el 4-politopo. Los números de la diagonal indican cuántos elementos de la columna aparecen en o en el elemento de la fila. Por ejemplo, en cualquier 4-politopo regular, hay 2 vértices «en» cada arista (cada arista «tiene» 2 vértices) y 2 celdas se encuentran «en» cada cara (cada cara «pertenece» a» 2 celdas). La configuración del politopo dual se obtiene rotando la matriz 180 grados.^[7][8]

Pentácoron {3,3,3}	Hexadecacoron {3,3,4}	Teseracto {4,3,3}	Icositetracoron {3,4,3}	Hexacosicoron {3,3,5}	Hecatonicosacoron {5,3,3}
${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}5&4&6&4\\2&10&3&3\\3&3&10&2\\4&6&4&5\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&6&12&8\\2&24&4&4\\3&3&32&2\\4&6&4&16\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}16&4&6&4\\2&32&3&3\\4&4&24&2\\8&12&6&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}24&8&12&6\\2&96&3&3\\3&3&96&2\\6&12&8&24\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}120&12&30&20\\2&720&5&5\\3&3&1200&2\\4&6&4&600\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}600&4&6&4\\2&1200&3&3\\5&5&720&2\\20&30&12&120\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

La siguiente tabla muestra algunas proyecciones bidimensionales de estos 4-politopos. En los enlaces externos que aparecen a continuación, se pueden encontrar otras visualizaciones. Los grafos de los diagramas de Coxeter-Dynkin también se incluyen debajo del símbolo de Schläfli.

A4= [3,3,3]	B4= [4,3,3]		F4= [3,4,3]	H4= [5,3,3]
Pentácoron	Hexadecacoron	8-celdas	Icositetracoron	Hexacosicoron	Hecatonicosacoron
{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}	{3,4,3}	{3,3,5}	{5,3,3}
Proyecciones ortogonales sólidas en 3D
Envolvente tetraédrica (celda/vértice-centrada)	Envolvente cúbica (celda-centrada)	Envolvente cúbica (celda-centrada)	Envolvente cubooctaédrica (celda-centrada)	Envolvente pentaquis icosidodecaédrica (vértice-centrada)	Envolvente rombotriacontraédrica truncada (celda-centrada)
Diagramas de Schlegel alámbricos (perspectiva)
Celda-centrado	Celda-centrado	Celda-centrado	Celda-centrado	Vértice-centrado	Celda-centrado
Proyecciones estereográficas alámbricas (3-esfera)

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Los Schläfli–Hess 4-politopos son el conjunto completo de 10 policoros estrellados regulares (politopos de cuatro dimensiones).^[10] Se nombran en honor a sus descubridores: Ludwig Schläfli y Edmund Hess. Cada uno está representado por un símbolo de Schläfli p,q,r en el que uno de los números es 5/2. Son, por lo tanto, análogos a los poliedros de Kepler-Poinsot regulares no convexos, que a su vez son análogos al pentagrama.

Los nombres que se mencionan aquí fueron dados por John Conway, extendiendo los nomenclatura ideada por Cayley para poliedros de Kepler-Poinsot: además de estrellado y gran, añade el modificador gran gran. Conway ofreció estas definiciones operacionales:

1. Estelación: reemplaza aristas por aristas más largas en las mismas líneas (ejemplo: un pentágono estrellado, que adquiere la forma de una estrella pentagonal)
2. Agrandamiento: reemplaza las caras por caras grandes en los mismos planos (ejemplo: un icosahedro se agranda en un gran icosaedro)
3. Gran agrandamiento: reemplaza las celdas por celdas grandes en los mismos 3 espacios (ejemplo: un hexacosicoron se agranda en un gran 600-celdas)

John Conway nombró las 10 formas a partir de 3 politopos de 4 celdas regulares: pT = politetraedro 3,3,5 (un hexacosicoron tetraédrico), pI = poliicosaedro 3,5,5/2 (un 120-celdas icosaédrico) y pD = polidodecaedro 5,3,3 (un 120 celdas dodecaédrico), con los modificadores de prefijo: g, a y s para gran gran, agrandado y estrellado. La última estelación, el gran polidodecaedro estrellado, los contiene a todos como gaspD.

Los diez policoros tienen simetría hexacosicórica [3,3,5] (H₄). Se generan a partir de 6 grupos de simetría de orden racional de tetraedros de Goursat relacionados entre sí: [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5,5/2], [5,5/2,3] y [3,3,5/2].

Cada grupo tiene 2 policoros estrellados regulares, excepto dos grupos que son autoduales y tienen solo uno. Por lo tanto, hay 4 pares duales y 2 formas autoduales entre los diez policoros estrellados regulares.

Nota:

• Hay 2 disposiciónes de vértices únicas, que coinciden con el hecatonicosacoron y el hexacosicoron.

• Hay 4 disposiciónes de vértices únicas, que se muestran como proyecciones ortogonales en estructuras alámbricas.

• Hay 7 disposiciónes de vértices únicas, que se muestran como sólidos (con color en la caras) en proyección ortográfica.

Las celdas (poliedros), sus caras (polígonos), las figuras de vértice poligonales y las figuras de vértice poliédricas se identifican por sus símbolos de Schläfli.

Nombre según Conway (abrev.)	Proyección ortogonal	Schläfli Coxeter	Cel {p, q}	C {p}	A {r}	V {q, r}	Dens.	χ
120-celdas icosaédrico Poliicosaedro (pI)		{3,5,5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	4	480
Pequeño 120-celdas polidodecaédrico estrellado Polidodecaedro estrellado (spD)		{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	−480
Gran 120-celdas Gran polidodecaedro (gpD)		{5,5/2,5}	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0
Gran 120-celdas Gran polidodecaedro (apD)		{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	20	0
Gran 120-celdas estrellado Gran polidodecaedro estrellado (gspD)		{5/2,3,5}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0
Gran 120-celdas estrellado Gran polidodecaedro estrellado (aspD)		{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0
Gran gran 120-celdas Gran gran polidodecaedro (gapD)		{5,5/2,3}	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	−480
Gran 120-celdas icosaédrico Gran poliicosaedro (gpI)		{3,5/2,5}	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480
Gran 600-celdas Gran politetraedro (apT)		{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0
Gran gran 120-celdas estrellado Gran gran polidodecaedro estrellado (gaspD)		{5/2,3,3}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0

• Anexo:Politopos regulares
• Politopo abstracto
• 11-celdas
• 57-celdas
• Sólidos platónicos
• Sólido de Kepler-Poinsot
• Poliedro estrellado regular
• Polícoro
• 5-politopo