Dodecaedro regular

Dibujo de un dodecaedro regular realizado por Johannes Kepler

Modelo del sistema solar de Kepler basado en los sólidos platónicos

El dodecaedro regular es un poliedro con doce caras pentagonales, treinta aristas y veinte vértices.^[2] Es uno de los sólidos platónicos, un conjunto de poliedros cuyas caras son polígonos regulares que son congruentes y en los que el mismo número de caras convergen en un vértice.^[3] Este conjunto de poliedros recibe su nombre del filósofo griego Platón. En Teeteto, un diálogo de Platón, el filósofo hipotetizó que los elementos clásicos estaban hechos de los cinco sólidos regulares uniformes. En su descripción del dodecaedro regular, comentó oscuramente, "...el dios lo usó [para] disponer las constelaciones en todo el cielo". Timeo, como personaje del diálogo de Platón, asocia los otros cuatro sólidos platónicos (el tetraedro regular, el cubo, el octaedro regular y el icosaedro regular) con los cuatro elementos de la naturaleza, agregando que hay un quinto patrón sólido que, aunque comúnmente asociado con el dodecaedro regular, nunca se menciona directamente como tal; "este Dios lo usó en el dibujo del universo".^[4] Aristóteles también postuló que los cielos estaban hechos de un quinto elemento, al que llamó aithêr («éter» en latín, al igual que en español).^[5]

Tras su atribución a la naturaleza por Platón, Johannes Kepler en su obra Harmonices mundi describió cada uno de los sólidos platónicos, entre ellos un dodecaedro regular.^[6] En su obra Mysterium Cosmographicum también propuso un modelo del sistema solar utilizando cada sólido platónico anidado en el interior del otro, cuyas seis esferas a la vez inscritas en un sólido y circunscritas en otro se correlacionaban con las dimensiones de las órbitas de los seis planetas conocidos por entonces. Los sólidos estaban ordenados del más interno al más externo de la forma siguiente: octaedro regular, icosaedro regular, dodecaedro regular, tetraedro regular y cubo.^[7]

Muchos filósofos de la antigüedad describieron el dodecaedro regular, junto con el resto de los sólidos platónicos. Teeteto ofreció una descripción matemática de los cinco sólidos, y puede que haya sido responsable de la primera prueba conocida de que no existen otros poliedros regulares convexos. Euclides describió matemáticamente de forma completa los sólidos platónicos en los Elementos, cuyo último libro (Libro XIII) está dedicado a sus propiedades. Las proposiciones 13 a 17 del Libro XIII describen la construcción del tetraedro, el octaedro, el cubo, el icosaedro y el dodecaedro en ese orden. Para cada sólido, Euclides halla la razón entre el diámetro de la esfera circunscrita y la longitud de su arista. En la proposición 18 argumenta que no existen más poliedros regulares convexos. Jámblico afirma que Hípaso, un pitagórico, pereció ahogado en el mar, donde fue arrojado por sus colegas pitagóricos como castigo por jactarse de haber revelado la existencia de la esfera con los doce pentágonos.^[8]

El dodecaedro regular, como elemento de la familia de los sólidos platónicos, es un poliedro regular. Es isogonal, isoedral e isotoxal: cualesquiera dos vértices, dos caras y dos aristas de un dodecaedro regular pueden transformarse mediante rotaciones y reflexiones bajo su órbita de simetría respectivamente, preservando su apariencia.

El poliedro conjugado de un dodecaedro es el icosaedro regular. Una propiedad general del poliedro dual es que el poliedro original y su dual comparten el mismo grupo de simetría tridimensional. En el caso del dodecaedro regular, posee la misma simetría que el icosaedro regular, la simetría icosaédrica ${\displaystyle \mathrm {I} _{\mathrm {h} }}$.^[9] El dodecaedro regular tiene diez ejes de simetría triple que pasan por pares de vértices opuestos, seis ejes de simetría quíntuple que pasan por los centros de las caras opuestas y quince ejes de simetría doble que pasan por los puntos medios de los lados opuestos.^[10]

Cuando un dodecaedro regular se inscribe en una esfera, ocupa un mayor volumen de la esfera (66,49 %) que un icosaedro inscrito en la misma esfera (60,55 %).^[11] El cálculo de los volúmenes de ambas esferas se originó a partir del problema planteado por los antiguos griegos: determinar cuál de dos figuras tiene mayor volumen: un icosaedro inscrito en una esfera o un dodecaedro inscrito en la misma esfera. Este problema fue resuelto por Herón de Alejandría, Papo de Alejandría y Leonardo de Pisa, entre otros.^[12] Apolonio de Perge descubrió el curioso resultado de que la razón entre los volúmenes de estas dos figuras es igual a la razón entre sus áreas superficiales.^[13] Ambos volúmenes tienen fórmulas que involucran la proporción áurea, pero elevadas a diferentes potencias.^[2]

El rectángulo aúero también puede relacionarse con el icosaedro regular y el dodecaedro regular. El icosaedro regular se puede construir intersecando perpendicularmente tres rectángulos áureos dispuestos ortogonalmente en cuadrículas de dos por dos, y uniendo cada uno de los vértices del rectángulo áureo con un segmento recto. Hay 12 vértices del icosaedro regular, considerados como el centro de 12 caras del dodecaedro regular.^[14]

Como dos tetraedros opuestos pueden inscribirse en un cubo, y cinco cubos pueden inscribirse en un dodecaedro, diez tetraedros en cinco cubos pueden inscribirse en un dodecaedro: dos conjuntos opuestos de cinco, donde cada conjunto cubre los 20 vértices y cada vértice se encuentra en dos tetraedros (uno de cada conjunto, pero no del par opuesto). Como se indica en Coxeter et al. (1938),^[15]

"Así como un tetraedro puede inscribirse en un cubo, un cubo puede inscribirse en un dodecaedro. Por reciprocidad, esto conduce a un octaedro circunscrito alrededor de un icosaedro. De hecho, cada uno de los doce vértices del icosaedro divide una arista del octaedro según el "número áureo". Dado el icosaedro, el octaedro circunscrito puede elegirse de cinco maneras, dando un compuesto de cinco octaedros, que entra dentro de nuestra definición de icosaedro estrellado (el compuesto recíproco, de cinco cubos cuyos vértices pertenecen a un dodecaedro, es un triacontaedro rómbico estrellado). Otro icosaedro estrellado puede deducirse inmediatamente, al estrellar cada octaedro en una estrella octángula, formando así un compuesto de diez tetraedros. Además, podemos elegir un tetraedro de cada estrella octángula, para así derivar un compuesto de cinco tetraedros, que conserva toda la simetría rotacional del icosaedro (es decir, el grupo icosaédrico), aunque ha perdido las reflexiones. Al reflejar esta figura en cualquier plano de simetría del icosaedro, se obtiene el conjunto complementario de cinco tetraedros. Estos dos conjuntos de cinco tetraedros son enantiomorfos, es decir, no directamente congruentes, sino que se relacionan como un par de zapatos. [Tal] figura, que no posee ningún plano de simetría (de modo que es enantiomorfa a su imagen especular) se denomina quiral.

Se denomina matriz de configuración a aquella matriz en la que las filas y columnas corresponden a los elementos de un poliedro, como vértices, aristas y caras. Su diagonal principal indica la cantidad de cada uno de estos elementos que aparece en un poliedro, mientras que en las posiciones restantes se indica la cantidad de elementos de la columna (vértices, aristas y caras) que aparecen en el elemento de la fila. Así, por ejemplo, en la primera columna y en la tercera fila aparece un 5, lo que indica que cada cara (columna 1) tiene 5 vértices (fila 3). El dodecaedro regular se puede representar mediante la siguiente matriz:^[16][17]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}20&3&3\\2&30&2\\5&5&12\end{bmatrix}}}$

El número áureo es la razón entre dos números, igual a la razón de su suma con respecto al mayor de los dos.^[18] Es una de las dos raíces de un polinomio, expresado como ${\textstyle \phi =(1+{\sqrt {5}})/2\approx 1.618}$.^[19] Por lo tanto, la proporción áurea se puede aplicar a las propiedades métricas del dodecaedro regular, así como a su construcción.

El área ${\displaystyle A}$ y el volumen ${\displaystyle V}$ de un dodecaedro regular de longitud de arista ${\displaystyle a}$ son:^[20]

${\displaystyle A=3{\sqrt {({\sqrt {5}}\phi )^{3}}}a^{2},\qquad V={\frac {{\sqrt {5}}\phi ^{4}}{2}}a^{3}.}$

Las siguientes coordenadas cartesianas definen los veinte vértices de un dodecaedro regular centrado en el origen y adecuadamente escalado y orientado:^[21]

${\displaystyle {\begin{aligned}(\pm 1,\pm 1,\pm 1),&\qquad (0,\pm \phi ,\pm 1/\phi ),\\(\pm 1/\phi ,0,\pm \phi ),&\qquad (\pm \phi ,\pm 1/\phi ,0).\end{aligned}}}$

Si la longitud de arista de un dodecaedro regular es ${\displaystyle a}$, el radio de su esfera circunscrita ${\displaystyle r_{c}}$ (la que pasa por todos los vértices del dodecaedro), el radio de una esfera inscrita ${\displaystyle r_{i}}$ (tangente a cada una de las caras del dodecaedro regular), y el radio de la interesfera ${\displaystyle r_{m}}$ (que pasa por el centro de cada arista), son:^[22]

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{c}&={\frac {\phi {\sqrt {3}}}{2}}a\approx 1.401a,\\r_{i}&={\sqrt {\frac {{\sqrt {5}}\phi ^{5}}{20}}}a\approx 1.114a,\\r_{m}&={\frac {\phi ^{2}}{2}}a\approx 1.309a.\end{aligned}}}$

Dado un dodecaedro regular de arista de longitud uno, ${\displaystyle r_{c}}$ es el radio de una esfera circunscrita a un cubo de arista ${\displaystyle \phi }$, y ${\displaystyle r_{i}}$ es la apotema de un pentágono regular de arista ${\displaystyle \phi }$.

El ángulo diedro de un dodecaedro regular entre cada dos caras pentagonales adyacentes es ${\displaystyle 2\arctan(\phi )}$, aproximadamente 116,565°.

El dodecaedro regular puede interpretarse como uno de los poliedros de Goldberg, un conjunto de figuras que poseen caras hexagonales y pentagonales. Además de dos sólidos platónicos (el tetraedro y el cubo), el dodecaedro regular es el poliedro inicial de Goldberg. El siguiente poliedro se obtiene truncando todas sus aristas, un proceso denominado achaflanado. Este proceso puede repetirse continuamente, dando lugar a nuevos poliedros de Goldberg. Estos poliedros se clasifican como la primera clase de poliedros de Goldberg.^[23]

Pequeño dodecaedro estrellado y trapezoedro

Las estelaciones del dodecaedro regular constituyen tres de los cuatro poliedros de Kepler-Poinsot. La primera estelación de un dodecaedro regular se construye cubriendo sus caras con pirámides pentagonales, formando un pequeño dodecaedro estrellado. La segunda estelación se obtiene uniendo el pequeño dodecaedro estrellado con cuñas, formando un gran dodecaedro. La tercera estelación se obtiene al unir el gran dodecaedro con pirámides triangulares puntiagudas, formando un gran dodecaedro estrellado. ^[24]

Otros poliedros relacionados son:

• Trapezoedro pentagonal, que comienza a construirse a partir del dodecaedro regular truncando sus dos vértices axiales.^[25]
• Dos sólidos arquimedianos: el dodecaedro truncado y el dodecaedro romo. Estos poliedros se obtienen, respectivamente, truncando todos los vértices de un dodecaedro regular y separando las caras pentagonales de dicho dodecaedro antes de rellenar el hueco con triángulos equiláteros.^[26][27]
• Pentaquisdodecaedro es el kleetopo de un dodecaedro regular, obtenido al añadir pirámides pentagonales a cada cara, similar al pequeño dodecaedro estrellado, aunque la diferencia radica en la altura de las pirámides. También es un sólido de Catalan.^[28]
• Cuatro sólidos de Johnson (dodecaedro aumentado, dodecaedro parabiaumentado, dodecaedro metabiaumentado, dodecaedro triaumentado) obtenidos al añadir una, dos o tres pirámides pentagonales a las caras de un dodecaedro regular.^[29]

Dodecaedro romano

Un Megaminx resuelto con seis colores de cara

Los dodecaedros regulares se han utilizado como dados y posiblemente también como instrumentos de adivinación. Se han encontrado pequeños dodecaedro romano huecos de bronce en el norte del Imperio Romano; su propósito es incierto.^[30][31]

En el arte del siglo XX, aparecen dodecaedros regulares en la obra de m. C. Escher, como sus litografías Reptiles,^[32] y la pintura de Salvador Dalí La Última Cena en la que la habitación es un dodecaedro regular hueco.^[33] Gerard Caris basó toda su obra artística en el dodecaedro regular y el pentágono, presentados como un nuevo movimiento artístico denominado Pentagonismo.^[34]

En juegos de rol modernos, el dodecaedro regular se usa a menudo como dado de doce caras, uno de los dados más comunes. El Megaminx es un rompecabezas retorcido similar al cubo de Rubik, pero con forma de dodecaedro de caras pentagonales.^[35]

En la novela infantil The Phantom Tollbooth, el dodecaedro regular aparece como un personaje en el mundo de las Matemáticas. Cada cara del dodecaedro regular describe los distintos expresión facial, girando hacia el frente según sea necesario para reflejar su estado de ánimo.^[36]

En el cuento de Bertrand Russell de 1954, «La pesadilla del matemático: La visión del profesor Squarepunt», el número 5 dijo: "Soy el número de dedos de una mano. Formo pentágonos y pentagramas. Y sin mí, los dodecaedros no podrían existir; y, como todos saben, el universo es un dodecaedro. Así que, sin mí, no podría existir el universo".^[37]

El cocolitóforo braarudosphaera bigelowii, cubierto por una cocoesfera formada por doce pentalitos

Las caras de un cuasicristal de holmio-magnesio-zinc (Ho-Mg-Zn) son verdaderos pentágonos

El cocolitóforo braarudosphaera bigelowii, un organismo costero unicelular que forma parte del fitoplancton, puede producir una concha de carbonato de calcio con una estructura dodecaédrica regular de aproximadamente 10 micrómetros de diámetro.^[38]

El hidrocarburo dodecaedrano y algunos cuasicristales, como el cuasicristal de holmio-magnesio-zinc, tienen forma dodecaédrica (véase la figura).^[39] Algunos cristales regulares, como el granate y el diamante, también presentan el hábito dodecaédrico, pero esta afirmación se refiere en realidad a la forma rombododecaédrica.

Se han propuesto varios modelos para la geometría global del universo. Entre estas propuestas se incluye el espacio dodecaédrico de Poincaré, un espacio con curvatura positiva que consiste en un dodecaedro regular cuyas caras opuestas se corresponden (con una pequeña torsión). Esto fue propuesto por Jean-Pierre Luminet y sus colegas en 2003,^[40] y se estimó una orientación óptima en el cielo para el modelo en 2008.^[41]

La propiedad hamiltoniana del grafo dodecaédrico y el juguete matemático Icosian

Según el teorema de Steinitz, el grafo puede representarse como el esqueleto de un poliedro. En términos generales, un marco de un poliedro. Dicho grafo tiene dos propiedades: es plano (lo que significa que las aristas de un grafo están conectadas a cada vértice sin cruzar otras aristas); y también es tres-conexo (siempre que un grafo con más de tres vértices y dos cualesquiera de sus vértices son eliminados, las aristas permanecen conectadas).^[42][43] El esqueleto de un dodecaedro regular puede representarse como un grafo, y se llama grafo dodecaédrico, un grafo platónico.^[44]

Este grafo también puede construirse como un grafo de Petersen generalizado ${\displaystyle G(10,2)}$, donde los vértices de un decágono se conectan con los de dos pentágonos: uno conectado a los vértices impares del decágono y el otro a los pares.^[45] Geométricamente, esto puede visualizarse como el cinturón ecuatorial de diez vértices del dodecaedro conectado a las dos regiones polares de cinco vértices, una a cada lado.

El alto grado de simetría del polígono se reproduce en las propiedades de este grafo, que es distancia-transitivo,^[46] distancia-regular y simétrico. El grupo de automorfismos tiene orden ciento veinte. Los vértices pueden ser coloreados con 3 colores, al igual que las aristas, y el diámetro del grafo es cinco.^[47]

El grafo dodecaédrico es hamiltoniano, lo que significa que existe un camino que recorre todos sus vértices exactamente una vez. Esta propiedad recibe su nombre de William Rowan Hamilton, quien inventó un juego matemático conocido como Icosian. El objetivo del juego era encontrar un camino hamiltoniano recorriendo las aristas de un dodecaedro.^[48]