Anexo:Sumas de recíprocos

Series convergentes

• Una sucesión sin suma de enteros positivos crecientes es aquella para la que ningún número es la suma de ningún subconjunto de los anteriores. La suma de los recíprocos de los números en cualquier sucesión sin suma es menor que 2,8570.

• La suma de los recíprocos de los números heptagonales converge a un valor conocido que no solo es irracional, sino también transcendental, y para el que existe un fórmula complicada.

• Se sabe que la suma de los recíprocos de los números primos gemelos, de los que puede haber una cantidad finita o infinita, es finita, y se denomina constante de Brun, que aproximadamente vale 1,90216. Por convención, el recíproco de ${\displaystyle 5}$ aparece dos veces en la suma (dado que 5 es primo gemelo con respecto a 3 y a 7).

• Se sabe que la suma de los recíprocos de los números primos de Proth, cuya cantidad puede ser finita o infinita, es finita: approximadamente 0,747392479.^[1]

• Los cuadrupletes primos son pares de primos gemelos con un solo número impar entre ellos. La suma de los recíprocos de los números en cuartetos primos es approximadamente 0,8706.

• La suma de los recíprocos de las potencias perfectas (incluyendo los duplicados) es 1.

• La suma de los recíprocos de las potencias perfectas (excluyendo los duplicados) es aproximadamente 0,8745.^[2]

• La suma de los recíprocos de las potencias de la forma ${\displaystyle \ n^{n}\ }$ es aproximadamente igual a 1,2913. La suma es exactamente igual a la integral definida

${\displaystyle \ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\ n^{n}}}=\int _{0}^{1}{\frac {\ dx\ }{\ x^{x}}}\ }$

Esta identidad fue descubierta por Johann Bernoulli en 1697, y ahora se conoce como una de las dos identidades del sueño del sofomoro.

• El teorema de Goldbach-Euler establece que la suma de los recíprocos de los números que son 1 menos que una potencia perfecta (excluyendo los duplicados) es 1.

• La suma de los recíprocos de todos los números triangulares distintos de cero es 2.

• La constante de los inversos de Fibonacci es la suma de los recíprocos de los números de la sucesión de Fibonacci, constante de la que se sabe que es finita e irracional y aproximadamente igual a 3,3599. Para otras sumas finitas de subconjuntos de los recíprocos de los números de Fibonacci, véase sucesión de Fibonacci.

• Un factorial exponencial es una operación recursivamente definida como ${\displaystyle \ a_{0}=1,~a_{n}=n^{a_{n-1}}~.}$ Por ejemplo, ${\displaystyle \ a_{4}=4^{3^{2^{1}}}\ }$, donde los exponentes se evalúan de arriba hacia abajo. La suma de los recíprocos de los factoriales exponenciales desde 1 en adelante es aproximadamente 1,6111 y es trascendente.

• Un número poderoso es un entero positivo para el que cada primo que aparece en su factorización lo hace al menos dos veces. La suma de los recíprocos de los números poderosos es cercana a 1,9436.^[3]

• La suma de los recíprocos de los números factoriales es igual al número trascendente e (una de las dos constantes denominadas número e).

• La suma de los recíprocos de los cuadrados perfectos (conocido como el problema de Basilea) es el número trascendental   π² /6 , o ζ(2), donde ζ es igual a la función zeta de Riemann.

• La suma de los recíprocos de los cubos de los enteros positivos se denomina constante de Apéry o ζ(3), y es aproximadamente igual a 1,2021. Este número es irracional, pero se desconoce si es transcendente.

• La suma de los recíprocos de las potencias enteras no negativas de 2 es 2. Este es un caso particular de la suma de los recíprocos de cualquier serie geométrica, donde el primer término y la razón común son enteros positivos. Si el primer término es a y la razón común es r, entonces la suma es r/ a (r − 1)  .

• La serie de Kempner es la suma de los recíprocos de todos los enteros positivos que no contienen el dígito 9 en sun expresión en base 10 . A diferencia de la serie armónica, que no excluye esos números, esta serie converge, específicamente a aproximadamente 22,9207.

• Un número capicúa es aquel que permanece igual al invertir el orden de sus dígitos. La suma de los recíprocos de los números capicúas converge aproximadamente a 3,3703.

• Un número pentatópico es aquel que figura en la quinta celda de cualquier fila del triángulo de Pascal que comienza con la fila de cinco términos 1 4 6 4 1. La suma de los recíprocos de los números pentatópicos es 4/3.

• Una sucesión de Sylvester es una sucesión entera en la que cada elemento de la secuencia es el producto de los elementos anteriores, más uno. Los primeros términos de la secuencia son 2, 3, 7, 43, 1807. La suma de los recíprocos de los números en la secuencia de Sylvester es 1.

• La función zeta de Riemann ζ(s) es una función de variable compleja s, que prolonga analíticamente la suma de la serie infinita

${\displaystyle \ \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\ n^{s}\ }}~}$

mediante una función analítica en todo el plano complejo, excepto para s = 1, donde ζ(s) tiene un polo. Esta serie converge si y solo si la parte real de s es mayor que 1.

• La suma de los recíprocos de todos los números primos de Mersenne es la constante de Erdős–Borwein.

• La suma de los recíprocos de todos los números de Fermat (números de la forma ${\displaystyle \ 2^{(2^{n})}+1\ }$) (sucesión A051158 en OEIS) es irracional.

• La suma de los recíprocos de los números oblongos (productos de dos enteros consecutivos) (excluyendo 0) es 1 (véase serie telescópica).

• La diferencia entre ${\displaystyle H_{k(n+1)}}$ y ${\displaystyle H_{k}}$ se aproxima al logaritmo natural de ${\displaystyle n+1}$ a medida que ${\displaystyle k}$ aumenta.

Serie divergente

• La n-ésima suma parcial de la serie armónica, que es la suma de los recíprocos de los primeros n enteros positivos, diverge cuando n tiende a infinito, aunque muy lentamente: la suma de los primeros 10⁴³ términos es menor que 100. La diferencia entre la suma acumulada y el logaritmo natural de n converge a la constante de Euler-Mascheroni, comúnmente denotada como ${\displaystyle \gamma ,}$, que es aproximadamente 0,5772.

• La serie de los inversos de los números primos diverge.

• Dados los enteros positivos coprimos a y b, la suma de los recíprocos de los primos de la forma an + b diverge. Este resultado se utiliza para demostrar el teorema de Dirichlet, que establece que existen infinitos primos ${\displaystyle p}$ que satisfacen ${\displaystyle p\equiv a{\text{ }}(\mathrm {mod} {\text{ }}b)}$.

• La suma de los recíprocos de los primos de la forma 4n + 1 es divergente. Por el teorema de Fermat sobre la suma de dos cuadrados, se deduce que la suma de los recíprocos de números de la forma ${\displaystyle a^{2}+b^{2},}$, donde a y b son enteros no negativos (no ambos iguales a 0), diverge, con o sin repetición.

• Si a(k) es cualquier serie ascendente de enteros positivos con la propiedad de que existe N tal que a(k + 1) − a(k) < N para todo k, entonces la suma de los recíprocos 1/ a(k)  diverge.

• La conjetura de Erdős sobre progresiones aritméticas establece que si la suma de los recíprocos de los elementos de un conjunto A de enteros positivos diverge, entonces A contiene progresiones aritméticas de cualquier longitud, por grande que sea. La conjetura A 2024 permanece sin probar.