Lema de Rasiowa-Sikorski
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En la teoría axiomática de conjuntos, el lema de Rasiowa-Sikorski (nombrado así por Roman Sikorski y Helena Rasiowa) es uno de los hechos más importantes usados en la técnica del forzado. En el área del forzado, un subconjunto D de una notación de forzado (P, ≤) es llamado denso en P si para cualquier p ∈ P hay un d ∈ D con d ≤ p. Un filtro F en P es llamado D-genérico si
- F ∩ E ≠ ∅ para todo E ∈ D.
Ahora podemos dar el lema de Rasiowa–Sikorski:
- Dados (P, ≤) un poset y p ∈ P. Si D es una familia numerable de subconjuntos densos de P, existe un filtro D-genérico F en P tal que p ∈ F.
El lema Rasiowa-Sikorski se puede ver como una forma más débil del axioma de Martin. Más específicamente, es equivalente a MA(), donde MA(𝛋) es el enunciado de que para cualquier orden parcial P que satisfaga la condición de cadena contable y cualquier familia D de subconjuntos densos de P con cardinalidad menor o igual a 𝛋, hay un filtro D-genérico F ∈ P.[1]
Dado que D es numerable, podemos enumerar los subconjuntos densos de P como D1, D2, …. Por suposición, existe p ∈ P. Entonces, por la densidad, existe p1 ≤ p con p1 ∈ D1. Repitiendo, tenemos … ≤ p2 ≤ p1 ≤ p con pi ∈ Di. Entonces G = { q ∈ P: ∃ i, q ≥ pi} es un filtro D-genérico.
