Computus
cálculo de la fecha de Pascua
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El Computus (una abreviatura del latín computus paschalis) es el cálculo de la fecha de Pascua. A principios del siglo IV había en la cristiandad una gran confusión sobre cuándo había de celebrarse la Pascua cristiana o Pascua de Resurrección, con motivo del aniversario de la resurrección de Jesús de Nazaret. Habían surgido en aquel momento numerosas tendencias o grupos de practicantes que utilizaban cálculos propios.
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Como fiesta móvil,[1][2] la fecha de la Pascua se determina cada año mediante un cálculo conocido como computus paschalis —a menudo simplemente «Computus»— o como «paschalion», especialmente en la Iglesia ortodoxa oriental. [3] La Pascua se celebra el primer domingo después de la luna llena pascual (una aproximación matemática de la primera luna llena astronómica, el 21 de marzo o después – , que a su vez es una aproximación fija del equinoccio de marzo). Para determinar esta fecha con antelación es necesario establecer una correlación entre los meses lunares y el año solar, teniendo en cuenta también el mes, la fecha y el día de la semana del juliano o del calendario gregoriano.[4] La complejidad del algoritmo surge del deseo de asociar la fecha de la Pascua con la fecha de la fiesta judía de la Pascua judía, que, según creen los cristianos, es cuando Jesús fue crucificado.[5]
Originalmente, era factible que toda la Iglesia cristiana recibiera la fecha de la Pascua cada año a través de un anuncio anual del papa. Sin embargo, a principios del siglo III, las comunicaciones en el Imperio romano se habían deteriorado hasta tal punto que la Iglesia concedía gran importancia a un sistema que permitiera al clero determinar la fecha por sí mismo, de forma independiente pero coherente.[6] Además, la Iglesia deseaba eliminar la dependencia del calendario hebreo, derivando la fecha de la Pascua directamente del equinoccio de marzo.[7]
En El cálculo del tiempo (725), Beda utiliza computus como término general para cualquier tipo de cálculo, aunque se refiere a los ciclos pascuales de Teófilo como un «computus pascual». A finales del siglo VIII, computus pasó a referirse específicamente al cálculo del tiempo.[8] Los cálculos producen resultados diferentes dependiendo de si se utiliza el calendario juliano o el calendario gregoriano. Por esta razón, la Iglesia católica y las iglesias protestantes (que siguen el calendario gregoriano) celebran la Pascua en una fecha diferente a la de la Ortodoxia oriental y la Ortodoxia oriental (que siguen el calendario juliano). Fue el desfase de 21 de marzo con respecto al equinoccio observado lo que llevó a la reforma gregoriana del calendario, para volver a alinearlos.
Historia
El computus (paschalis) comenzó en el tercer siglo. El primer computista conocido (es decir, practicante del computus) fue Hipólito de Roma (hacia AD 220), que usó una tabla pascual conteniendo un ciclo pascual de 16 años.[9]
El primer computista famoso fue Anatolio de Laodicea (hacia 260 d. C.), que inventó el ciclo lunar metónico de 19 años, que es una aplicación del ciclo metónico en el calendario juliano. Partiendo de las fechas llamadas fechas de la luna llena pascual de su versión de este ciclo computístico y haciendo uso del principio alejandrino del tercer siglo, según el cual el Domingo pascual es el primer domingo después de la luna llena pascual, era fácil determinar las fechas del citado domingo pascual. Finalmente otra versión de este ciclo computístico prevaleció en toda la cristiandad,[10] sucesivamente por la vía de Teófilo de Alejandría, Annianus de Alejandría, Cirilo de Alejandría, Dionisio el Exiguo y Beda.[11]
Ya en el concilio de Arlés del año 314, se obligó a toda la cristiandad a celebrar la Pascua el mismo día y que esta fecha habría de ser fijada por el papa, que enviaría epístolas a todas las iglesias del orbe con las instrucciones necesarias. Sin embargo, no todas las congregaciones siguieron estos preceptos.
El computus alejandrino se convirtió del calendario alejandrino al calendario juliano en Alejandría alrededor del año 440, lo que dio lugar a una tabla pascual (atribuida al papa Cirilo de Alejandría) que abarca los años 437 a 531. [12] Esta tabla pascual fue la fuente que inspiró a Dionisio el Exiguo, que trabajó en Roma desde aproximadamente el año 500 hasta aproximadamente el 540,[13] para construir una continuación de la misma en forma de su famosa tabla pascual que abarca los años 532 a 616. [14] Dionisio introdujo la era cristiana (que cuenta los años desde la encarnación de Cristo) al publicar esta nueva tabla pascual en 525. [15][16]
En la primera mitad del siglo IV se adoptó en Roma un ciclo modificado de 84 años. Victorio de Aquitania intentó adaptar el método alejandrino a las reglas romanas en 457 en forma de una tabla de 532 años, pero introdujo graves errores.[17] Estas tablas victorianas se utilizaron en Galia (ahora Francia) y España hasta que fueron sustituidas por las tablas dionisíacas a finales del siglo VIII.
Las tablas de Dionisio y Victorio entraban en conflicto con las que se utilizaban tradicionalmente en las Islas Británicas. Las tablas británicas utilizaban un ciclo de 84 años, pero un error hizo que las lunas llenas se adelantaran progresivamente.[18] La discrepancia dio lugar a un informe según el cual la reina Eanflæd, que seguía el sistema dionisiano – , ayunó en su Domingo de Ramos, mientras que su marido Oswiu, rey de Northumbria, celebró un banquete en su Domingo de Pascua.[19]
Como resultado del Sínodo de Magh-Lene irlandés en 630, los irlandeses del sur comenzaron a utilizar las tablas dionisianas,[20] y los ingleses del norte siguieron su ejemplo después del Sínodo de Whitby en 664.[21]
El cálculo dionisiano fue descrito detalladamente por Beda en 725.[22] Es posible que Carlomagno lo adoptara para la Iglesia franca ya en 782 a partir de Alcuino, un seguidor de Beda. El computus dionisíaco/bediano siguió utilizándose en Europa occidental hasta la reforma del calendario gregoriano, y sigue utilizándose en la mayoría de las Iglesias orientales, incluida la gran mayoría de las Iglesias ortodoxas orientales y las Iglesias no calcedonianas. [23] La única iglesia ortodoxa oriental que no sigue el sistema es la Iglesia Ortodoxa Finlandesa, que utiliza el gregoriano.
Tras separarse de los alejandrinos durante el siglo VI, las iglesias situadas más allá de la frontera oriental del antiguo Imperio bizantino, incluida la Iglesia asiria del Oriente,[24] celebran ahora la Pascua en fechas diferentes a las de las Iglesias ortodoxas orientales cuatro veces cada 532 años.
Aparte de estas iglesias situadas en los confines orientales del Imperio romano, en el siglo X todas habían adoptado la Pascua alejandrina, que seguía situando el equinoccio de primavera el 21 de marzo, aunque Beda ya había señalado su desplazamiento en 725 – y en el siglo XVI se había desplazado aún más. [26] Peor aún, la Luna calculada que se utilizaba para calcular la Pascua se fijó al año juliano por el ciclo de 19 años. Esa aproximación generaba un error de un día cada 310 años, por lo que en el siglo XVI el calendario lunar estaba desfasado cuatro días con respecto a la Luna real. La Pascua gregoriana ha sido utilizada desde 1583 por la Iglesia católica y fue adoptada por la mayoría de las iglesias protestantes entre 1753 y 1845.
Los estados protestantes alemanes utilizaron una Pascua astronómica entre 1700 y 1776, basada en las «Tablas Rudolfinas» de Johannes Kepler, que a su vez se basaban en las posiciones astronómicas del Sol y la Luna observadas por Tycho Brahe en su observatorio Uraniborg en la isla de Ven, mientras que Suecia la utilizó desde 1739 hasta 1844. Esta Pascua astronómica era el domingo siguiente al instante de la luna llena posterior al instante del equinoccio vernal utilizando la hora de Uraniborg (TT + 51m). Sin embargo, se retrasaba una semana si ese domingo era la fecha judía de Nisan 15, el primer día de la semana de Pascua, calculada según los métodos judíos modernos.[27]
Esta regla del 15 de Nisán afectó a dos años suecos, 1778 y 1798, que en lugar de ser una semana antes de la Pascua gregoriana, se retrasaron una semana para que coincidieran con el mismo domingo que la Pascua gregoriana. La Pascua astronómica de Alemania fue una semana antes de la Pascua gregoriana en 1724 y 1744.[27] La Pascua astronómica de Suecia fue una semana antes de la Pascua gregoriana en 1744, pero una semana después en 1805, 1811, 1818, 1825 y 1829.[27]
Se propusieron dos fechas astronómicas modernas para la Pascua, pero ninguna Iglesia las utilizó jamás. La primera se propuso como parte del calendario juliano revisado en un sínodo celebrado en Constantinopla en 1923 y la segunda fue propuesta por una consulta del Consejo Mundial de Iglesias celebrada en Alepo en 1997. Ambos utilizaban la misma regla que las versiones alemana y sueca, pero empleaban cálculos astronómicos modernos y la hora de Jerusalén (TT + 2h 21m) sin la regla del 15 de Nisán. La versión de 1923 habría situado la Pascua astronómica un mes antes de la Pascua gregoriana en 1924, 1943 y 1962, pero una semana después de ella en 1927, 1954 y 1967.[28] La versión de 1997 habría situado la Pascua astronómica el mismo domingo que la Pascua gregoriana para 2000-2025, excepto en 2019, cuando habría sido un mes antes.[29]
En el Concilio Vaticano II, la Iglesia católica declaró que no tenía objeciones a que la fiesta de Pascua se trasladara a un domingo fijo, sujeto a un acuerdo ecuménico sobre la fecha, o a la adopción de una fecha fija para fines civiles, siempre que ello no comprometiera la celebración de la Pascua en domingo y el mantenimiento de la semana de siete días. [30]
El saltus y los siete meses adicionales de 30 días quedaron en gran medida ocultos al situarse en los puntos en los que los meses julianos y lunares comienzan aproximadamente al mismo tiempo. Los meses adicionales comenzaban el 1 de enero (año 3), el 2 de septiembre (año 5), el 6 de marzo (año 8), el 3 de enero (año 11), el 31 de diciembre (año 13), el 1 de septiembre (año 16) y el 5 de marzo (año 19).[31][32] El número secuencial del año en el ciclo de 19 años se denomina «número áureo» y se calcula mediante la fórmula
- GN = (Y mod 19) + 1
Es decir, el número del año Y en la era cristiana se divide por 19, y el resto más 1 es el número de oro. (Algunas fuentes especifican que se debe sumar 1 antes de tomar el resto; en ese caso, hay que tratar el resultado 0 como el número de oro 19. En la fórmula anterior, primero tomamos el resto y luego sumamos 1, por lo que no es necesario realizar dicho ajuste).[33]
Concilio de Nicea
En el concilio de Nicea del año 325, se llega finalmente a una solución para este asunto. En él se estableció que la Pascua de Resurrección había de celebrarse cumpliendo determinadas normas:
- Que la Pascua se celebre en domingo por ser el día que resucitó Jesús.
- Que no coincida nunca con la Pascua judía, que se celebra independientemente del día de la semana (de esta manera se evitarían paralelismos o confusiones entre ambas religiones).[34]
- Que los cristianos no celebren nunca la Pascua dos veces en el mismo año. Esto tiene su explicación en que el año nuevo empezaba con el equinoccio primaveral, por lo que se prohibía la celebración de la Pascua antes del equinoccio real (antes de la entrada del Sol en Aries).
No obstante, siguió habiendo diferencias entre la Iglesia de Roma y la Iglesia de Alejandría, si bien el Concilio de Nicea dio la razón a los alejandrinos y se estableció la costumbre de que la fecha de la Pascua se calculaba en Alejandría, que lo comunicaba a Roma, la cual difundía el cálculo al resto de la cristiandad.
Pese a este acuerdo formal, las discrepancias continuaron por razones astronómicas. La Iglesia romana consideraba que el equinoccio de primavera era el 18 de marzo y para calcular la edad de la Luna (epacta) utilizaban un ciclo de 84 años. Los alejandrinos para el cálculo de la edad de la Luna usaban el famoso ciclo metónico de 19 años. Estas diferencias, y otras menores, hacían que en la Iglesia romana la Pascua nunca cayera con posterioridad al 21 de abril, mientras que en la alejandrina podía llegar a ser el 25.
Dionisio el Exiguo
Finalmente, en el año 525, Dionisio el Exiguo convenció desde Roma a las autoridades pontificias de las bondades del cálculo alejandrino y se unificó al fin el cálculo de la Pascua cristiana.
Para el cálculo hay que establecer unas premisas iniciales:
- La Pascua ha de caer siempre en domingo, por ser el día que resucitó Jesús o Día del Señor (Dies Dominicus).
- Este domingo ha de ser el siguiente tras el primer plenilunio del Equinoccio de primavera (vernal) del hemisferio norte (boreal). Sin embargo, mientras este Equinoccio puede caer el 20 de marzo o el 21 de marzo, Dionisio fija un Equinoccio de primavera eclesiástico, cuya fecha es siempre el 21 de marzo, no correspondiéndose así con la realidad astronómica.
- Si este plenilunio cae en domingo, la Pascua se traslada al domingo siguiente para evitar coincidir con la Pascua judía.
- Se llama epacta a la edad lunar. En concreto interesa para este cálculo la epacta del año, la diferencia en días que el año solar excede al año lunar. O, dicho más fácilmente, el día del ciclo lunar en que está la Luna el 1 de enero del año cuya Pascua se quiere calcular. Este número, como es lógico, varía entre 0 y 29.
Antes de proseguir es preciso dejar claro que, en términos astronómicos, el equinoccio puede tener lugar el 20 o el 19 de marzo, si bien en el calendario gregoriano se establecen unas fechas astronómicas que, aún difiriendo ligeramente de las fechas astronómicas reales, son las que se emplean para el cálculo.
Así las cosas, queda claro que la Pascua de Resurrección no puede ser antes del 22 de marzo (en caso de que el 21 y plenilunio fuese sábado), y tampoco puede ser más tarde del 25 de abril (suponiendo que el 21 de marzo fuese el día siguiente al plenilunio, habría que esperar una lunación completa (29 días) para llegar al siguiente plenilunio, que sería el 18 de abril, el cual, si cayese en domingo, desplazaría la Pascua una semana para evitar la coincidencia con la Pascua judía, quedando (18 + 7) el 25 de abril).
Si bien durante el Renacimiento se extrajeron tablas de cálculo para la Pascua en función del número áureo y otras más complejas, hoy en día la fórmula más sencilla de calcular esta fecha es mediante la fórmula desarrollada por el matemático Gauss.
Teoría
El ciclo de Pascua agrupa los días en meses lunares, que tienen una duración de 29 o 30 días. Hay una excepción. El mes que termina en marzo normalmente tiene 30 días, pero si el 29 de febrero de un año bisiesto cae dentro de él, tiene 31. Dado que estos grupos se basan en el ciclo lunar, a largo plazo, el mes medio del calendario lunar es una muy buena aproximación al mes sinódico, que tiene una duración de 29,53059 días.[35]
Hay 12 meses sinódicos en un año lunar, lo que suma un total de 354 o 355 días. El año lunar es aproximadamente 11 días más corto que el año calendario, que tiene una duración de 365 o 366 días. Estos días en los que el año solar excede al año lunar se denominan epactas (ἐπακταὶ ἡμέραι).[36][37]
Es necesario añadirlos al día del año solar para obtener el día correcto del año lunar. Siempre que la epacta alcance o supere los 30, se debe insertar un mes intercalar (o mes embolístico) adicional de 30 días en el calendario lunar: entonces se deben restar 30 de la epacta. Charles Wheatly proporciona los detalles:
«Así, comenzando el año en marzo (pues esa era la antigua costumbre), concedían treinta días a la luna [que terminaba] en marzo, y veintinueve a la que [terminaba] en abril; y treinta de nuevo a la de mayo, y veintinueve a la de junio, etc., según los antiguos versos:«Los meses primero, tercero, quinto, séptimo, noveno y undécimo, llamados impares menses, o meses desiguales, tienen sus lunas según el cálculo de treinta días cada uno, por lo que se denominan pares lunae, o lunas iguales: pero el segundo, cuarto, sexto, octavo, décimo y duodécimo meses, llamados pares menses, o meses iguales, tienen sus lunas de solo veintinueve días cada una, que se llaman impares lunae, o lunas desiguales».Impar luna pari, par fiet in impare mense;
In quo completur mensi lunatio detur.
Así, el mes lunar tomó el nombre del mes juliano en el que terminaba. El ciclo metónico de diecinueve años asume que 19 años tropicales tienen la misma duración que 235 meses sinódicos. Por lo tanto, después de 19 años, las lunaciones deberían caer de la misma manera en los años solares, y las epactas deberían repetirse. A lo largo de 19 años, la epacta aumenta en 19 × 11 = 209 ≡ 29 (mod 30), no en 0 (mod 30). Es decir, 209 dividido por 30 deja un resto de 29 en lugar de ser un múltiplo de 30. Esto supone un problema si la compensación solo se realiza añadiendo meses de 30 días. Por lo tanto, tras 19 años, la epacta debe corregirse en un día para que el ciclo se repita. Esto es lo que se conoce como saltus lunae («salto de la luna»). El calendario juliano lo soluciona reduciendo la duración del mes lunar que comienza el 1 de julio del último año del ciclo a 29 días. Esto da lugar a tres meses consecutivos de 29 días.[38]
El saltus y los siete meses adicionales de 30 días quedaron en gran medida ocultos al situarse en los puntos en los que los meses julianos y lunares comienzan aproximadamente al mismo tiempo. Los meses adicionales comenzaban el 1 de enero (año 3), el 2 de septiembre (año 5), el 6 de marzo (año 8), el 3 de enero (año 11), el 31 de diciembre (año 13), el 1 de septiembre (año 16) y el 5 de marzo (año 19).[31][32] El número secuencial del año en el ciclo de 19 años se denomina «número áureo» y se calcula mediante la fórmula
- GN = (Y mod 19) + 1
Es decir, el número del año Y en la era cristiana se divide por 19, y el resto más 1 es el número de oro. (Algunas fuentes especifican que se debe sumar 1 antes de tomar el resto; en ese caso, hay que tratar el resultado 0 como el número de oro 19. En la fórmula anterior, primero tomamos el resto y luego sumamos 1, por lo que no es necesario realizar dicho ajuste).[39]
Los ciclos de 19 años no tienen todos la misma duración, ya que pueden tener cuatro o cinco años bisiestos. Sin embargo, un periodo de cuatro ciclos, 76 años (un ciclo calípico), tiene una duración de 76 × 365 + 19 = 27 759 días (si no cruza una división de siglo). Hay 235 × 4 = 940 meses lunares en este período, por lo que la duración media es 27759 / 940 o aproximadamente 29,530851 días. Hay 76 × 6 = 456 meses lunares nominales habituales de 30 días y el mismo número de meses nominales habituales de 29 días, pero 19 de ellos se alargan un día en los días bisiestos, además de 24 meses intercalados de 30 días y cuatro meses intercalados de 29 días. Dado que esto es más largo que la duración real de un mes sinódico, unos 29,53059 días, la luna llena pascual calculada se retrasa cada vez más en comparación con la luna llena astronómica, a menos que se realice una corrección como en el sistema gregoriano (véase más abajo).
El mes pascual o de Pascua es el primero del año en tener su decimocuarto día (su luna llena) formal el 21 de marzo o después. La Pascua es el domingo después de su decimocuarto día (o, dicho de otra manera, el domingo dentro de su tercera semana). El mes lunar pascual siempre comienza en una fecha comprendida entre el 8 de marzo y el 5 de abril, ambos inclusive. Por lo tanto, su decimocuarto día siempre cae en una fecha comprendida entre el 21 de marzo y el 18 de abril, ambos inclusive (en el calendario gregoriano o juliano, para el sistema occidental y oriental, respectivamente), y el domingo siguiente cae necesariamente en una fecha comprendida entre el 22 de marzo y el 25 de abril, ambos inclusive. Sin embargo, en el sistema occidental, la Pascua no puede caer el 22 de marzo durante el período de 300 años comprendido entre 1900 y 2199 (véase más abajo). En el calendario solar, la Pascua se denomina fiesta móvil, ya que su fecha varía en un intervalo de 35 días. Pero en el calendario lunar, la Pascua es siempre el tercer domingo del mes lunar pascual, y no es más «móvil» que cualquier otra festividad que se fija en un día concreto de la semana y en una semana concreta del mes, como Acción de Gracias.
Métodos tabulares
Reforma gregoriana del computus
Dado que la reforma del computus fue la principal motivación para la introducción del calendario gregoriano en 1582, se introdujo una metodología computus correspondiente junto con el nuevo calendario.[40] El método general de trabajo fue dado por Clavius en los Seis Cánones (1582), y una explicación completa siguió en su Explicatio (1603).[41]
La Pascua es el domingo siguiente a la fecha de la luna llena pascual. La fecha de la luna llena pascual es la fecha eclesiástica de la luna llena en o después del equinoccio eclesiástico del 21 de marzo. El decimocuarto día del mes lunar se considera eclesiásticamente el día de la luna llena.[42] Es el día del mes lunar en el que es más probable que se produzca el momento de oposición («luna llena»).
El método gregoriano calcula las fechas de la luna nueva determinando la epacta para cada año.[43] La epacta puede tener un valor de * (0 o 30) a 29 días. Es la edad de la luna en días (es decir, la fecha lunar) el 1 de enero reducida en un día. Es más probable que la «luna nueva» sea visible (como una delgada media luna en el cielo occidental después de la puesta del sol) el primer día del mes lunar. La conjunción del Sol y la Luna («luna nueva») es más probable que se produzca el día anterior, que es el día 29 de un mes «hueco» (29 días) y el día 30 de un mes «lleno» (30 días).
Históricamente, en el Ciclo de Pascua de Beda el Venerable, la fecha de la luna llena pascual de un año se calculaba a partir de su número de secuencia en el ciclo metónico, llamado número áureo, que repite la fase lunar del 1 de enero cada 19 años.[44] Este método se modificó en la reforma gregoriana porque las fechas tabulares se desincronizan con la realidad después de unos dos siglos. A partir del método epactal, se puede construir una tabla simplificada que tiene una validez de uno a tres siglos.[45][46]
La fecha de la luna llena pascual en un año concreto suele ser 11 días antes que en el año anterior o 19 días después. En 5 de cada 19 años es un día menos: en los años 1, 6 y 17 del ciclo, la fecha es solo 18 días después, y en los años 7 y 18 es solo 10 días antes que en el año anterior.
En el sistema oriental, la luna llena pascual suele ser cuatro días más tarde que en Occidente. Es 34 días más tarde en 5 de los 19 años, y 5 días más tarde en los años 6 y 17, porque en esos años, el sistema gregoriano sitúa la luna llena pascual un día antes de lo que sería normalmente, con el fin de mantener la Pascua antes del 26 de abril, como se explica a continuación. En el año 2100, la diferencia aumentará en un día más.[49]
Calendarium
Las epactas se utilizan para encontrar las fechas de la luna nueva de la siguiente manera: Escriba una tabla con los 365 días del año (se ignora el día bisiesto). A continuación, etiquete todas las fechas con un número romano contando hacia abajo, desde «*» (0 o 30), «xxix» (29), hasta «i» (1), comenzando el 1 de enero, y repita esto hasta el final del año. Sin embargo, en cada segundo período de este tipo, cuente solo 29 días y etiquete la fecha con xxv (25) y también con xxiv (24). Trate el decimotercer período (los últimos once días) como largo y asigne las etiquetas «xxv» y «xxiv» a las fechas secuenciales (26 y 27 de diciembre, respectivamente).[50]
Añade la etiqueta «25» a las fechas que tienen «xxv» en los periodos de 30 días; pero en los periodos de 29 días (que tienen «xxiv» junto con «xxv») añade la etiqueta «25» a la fecha con «xxvi». La distribución de la duración de los meses y la duración de los ciclos epactales es tal que cada mes del calendario civil comienza y termina con la misma etiqueta epactal, excepto febrero y, podría decirse, agosto, que comienza con la doble etiqueta «xxv»/«xxiv», pero termina con la etiqueta única «xxiv». Esta tabla se denomina calendarium. Las lunas nuevas eclesiásticas de cualquier año son aquellas fechas en las que se introduce la epacta del año.[50]
Si la epacta para el año es, por ejemplo, 27, entonces hay una luna nueva eclesiástica en cada fecha de ese año que tiene la etiqueta de epacta «xxvii» (27). Si la epacta es 25, entonces hay una complicación, introducida para que la luna nueva eclesiástica no caiga en la misma fecha dos veces durante un ciclo metónico. Si el ciclo epactal vigente incluye la epacta 24 (como lo hace el ciclo en uso desde 1900 y hasta 2199), entonces una epacta de 25 sitúa la luna nueva eclesiástica el 4 de abril (con la etiqueta «25»), de lo contrario, es el 5 de abril (con la etiqueta «xxv»). [50]
Una epacta de 25 que da como resultado el 4 de abril solo puede ocurrir si el número áureo es mayor que 11. En ese caso, será 11 años después de un año con epacta 24. Así, por ejemplo, en 1954 el número áureo fue 17, la epacta fue 25, la luna nueva eclesiástica se calculó el 4 de abril y la luna llena el 17 de abril. La Pascua fue el 18 de abril en lugar del 25 de abril, como habría sido de otro modo, como en 1886, cuando el número áureo fue 6. Este sistema intercala automáticamente siete meses por ciclo metónico.
Etiqueta todas las fechas de la tabla con las letras «A» a «G», empezando por el 1 de enero, y repite hasta el final del año. Si, por ejemplo, el primer domingo del año es el 5 de enero, que tiene la letra «E», entonces todas las fechas con la letra «E» son domingos de ese año. Entonces, la «E» se denomina letra dominical (DL) para ese año, de dies dominica. La letra dominical retrocede una posición cada año. En los años bisiestos, después del 24 de febrero, los domingos caen en la letra anterior del ciclo, por lo que los años bisiestos tienen dos letras dominicales: la primera para antes y la segunda para después del día bisiesto.
En la práctica, a efectos del cálculo de la Pascua, no es necesario hacerlo para los 365 días del año. Para las epactas, marzo sale exactamente igual que enero, porque 31 + 28 días = 30 + 29 epactas, por lo que no es necesario calcular enero o febrero. Para evitar tener que calcular las letras dominicales de enero y febrero, comience con D para el 1 de marzo. Solo necesita las epactas del 8 de marzo al 5 de abril.
| Epacta etiqueta | Marzo | DL | Abril | DL |
|---|---|---|---|---|
| * | 1 | D | ||
| xxix | 2 | E | 1 | G |
| xxviii | 3 | F | 2 | A |
| xxvii | 4 | G | 3 | B |
| xxvi | 5 | A | 4 | C |
| 25 | 6 | B | ||
| xxv | 5 | D | ||
| xxiv | 7 | C | ||
| xxiii | 8 | D | 6 | E |
| xxii | 9 | E | 7 | F |
| xxi | 10 | F | 8 | G |
| xx | 11 | G | 9 | A |
| xix | 12 | A | 10 | B |
| xviii | 13 | B | 11 | C |
| xvii | 14 | C | 12 | D |
| xvi | 15 | D | 13 | E |
| xv | 16 | E | 14 | F |
| xiv | 17 | F | 15 | G |
| xiii | 18 | G | 16 | A |
| xii | 19 | A | 17 | B |
| xi | 20 | B | 18 | C |
| x | 21 | C | 19 | D |
| ix | 22 | D | 20 | E |
| viii | 23 | E | 21 | F |
| vii | 24 | F | 22 | G |
| vi | 25 | G | 23 | A |
| v | 26 | A | 24 | B |
| iv | 27 | B | 25 | C |
| iii | 28 | C | 26 | D |
| ii | 29 | D | 27 | E |
| i | 30 | E | 28 | F |
| * | 31 | F | 29 | G |
| xxix | 30 | A |
Por ejemplo, si la epacta es 27, una luna nueva eclesiástica cae en cada fecha marcada como xxvii . La luna llena eclesiástica cae 13 días después. Según la tabla anterior, esto da lunas nuevas el 4 de marzo y el 3 de abril, y por lo tanto lunas llenas el 17 de marzo y el 16 de abril. Por lo tanto, el Día de Pascua es el primer domingo después de la primera luna llena eclesiástica del 21 de marzo o después. En el ejemplo, esta luna llena pascual es el 16 de abril. Si la letra dominical es E, entonces el Día de Pascua es el 20 de abril.
Correcciones
La etiqueta " 25 " (a diferencia de "xxv") se usa de la siguiente manera: dentro de un ciclo metónico, los años con 11 años de diferencia tienen epactas que difieren en un día. Un mes que comienza en una fecha con las etiquetas "xxiv" y "xxv" escritas una al lado de la otra tiene 29 o 30 días. Si las epactas 24 y 25 ocurren dentro de un ciclo metónico, entonces las lunas nueva (y llena) caerían en las mismas fechas para estos dos años. Esto es posible para la luna real[51], pero es poco elegante en un calendario lunar esquemático; las fechas deberían repetirse solo después de 19 años. Para evitar esto, en los años con epactas 25 y un Número Áureo mayor que 11, la luna nueva calculada cae en la fecha con la etiqueta 25 en lugar de xxv . Cuando las etiquetas 25 y xxv están juntas, no hay problema, ya que son la misma. Esto no traslada el problema al par "25" y "xxvi", porque la epopeya 26 más temprana que podría aparecer sería en el año 23 del ciclo, que dura sólo 19 años: hay un saltus lunae en el medio que hace que las lunas nuevas caigan en fechas separadas.
El calendario gregoriano corrige el año trópico eliminando tres días bisiestos en 400 años (siempre en un año centenario). Esta corrección afecta la duración del año trópico, pero no debería afectar la relación metónica entre años y lunaciones. Por lo tanto, la epacta se compensa (parcialmente; véase epacta ) restando uno en estos años centenarios. Esta es la llamada corrección solar o «ecuación solar» («ecuación» en su sentido medieval de «corrección»).
Sin embargo, 19 años julianos sin corregir son un poco más largos que 235 lunaciones. La diferencia se acumula hasta alcanzar un día en unos 308 años, o 0,00324 días por año. En un ciclo, la epacta disminuye debido a la corrección solar en 19 × 0,0075 = 0,1425 de media, por lo que un ciclo equivale a 235 − 0,1425/30 = 234,99525 meses, mientras que en realidad hay 19 × 365,2425 / 29,5305889 ≈ 234,997261 meses sinódicos. La diferencia de 0,002011 meses sinódicos por ciclo de 19 años, o 0,003126 días por año, requiere una corrección lunar ocasional de la epacta. En el calendario gregoriano, esto se hace añadiendo 1 ocho veces en 2500 años (gregorianos) (un poco más de 2500 × 0,003126, o aproximadamente 7,8), siempre en un año centenario: esta es la denominada «corrección lunar» (históricamente llamada «ecuación lunar»). La primera se aplicó en 1800, la siguiente será en 2100 y se aplicará cada 300 años, excepto en un intervalo de 400 años entre 3900 y 4300, que inicia un nuevo ciclo. En el momento de la reforma, las epactas se modificaron en 7, a pesar de que se omitieron 10 días, con el fin de realizar una corrección de tres días en la sincronización de las lunas nuevas.[50]
Las correcciones solares y lunares funcionan en direcciones opuestas y, en algunos siglos (por ejemplo, 1800 y 2100), se cancelan entre sí. El resultado es que el calendario lunar gregoriano utiliza una tabla de epactas válida para un período de 100 a 300 años. La tabla de epactas que se muestra arriba es válida para los siglos XX, XXI y XXII.
Como se explica a continuación, las fechas de la Pascua se repiten después de 5,7 millones de años, y durante este período la duración media de un mes eclesiástico es de 2 081 882 250/70 499 183 ≈ 29,5305869 días,[52], lo que difiere de la duración media real actual de la lunación (29,5305889 d: véase Mes lunar#Mes sinódico) en la sexta cifra después del punto decimal. Esto corresponde a un error de menos de un día en la fase de la luna a lo largo de 40 000 años, pero, de hecho, la duración de un día está cambiando (al igual que la duración de un mes sinódico), por lo que el sistema no es preciso en períodos tan largos. Véase el artículo ΔT (medición del tiempo) para obtener información sobre el cambio acumulativo de la duración del día.
Detalles
Este método de cálculo tiene varias sutilezas:
Cada dos meses lunares solo tienen 29 días, por lo que a un día se le deben asignar dos etiquetas epactales (de las 30). La razón para mover la etiqueta epactal «xxv/25» en lugar de cualquier otra parece ser la siguiente: Según Dionisio (en su carta introductoria a Petronio), el concilio de Nicea, basándose en la autoridad de Eusebio, estableció que el primer mes del año lunar eclesiástico (el mes pascual) debía comenzar entre el 8 de marzo y el 5 de abril inclusive, y que el día 14 cayera entre el 21 de marzo y el 18 de abril inclusive, abarcando así un período de (solo) 29 días. Una luna nueva el 7 de marzo, que tiene la etiqueta de epacta «xxiv», tiene su decimocuarto día (luna llena) el 20 de marzo, lo cual es demasiado pronto (no sigue al 20 de marzo). Por lo tanto, los años con una epacta de «xxiv», si el mes lunar que comienza el 7 de marzo tuviera 30 días, tendrían su luna nueva pascual el 6 de abril, lo cual es demasiado tarde: la luna llena caería el 19 de abril y la Pascua podría ser tan tarde como el 26 de abril. En el calendario juliano, la fecha más tardía de la Pascua era el 25 de abril, y la reforma gregoriana mantuvo ese límite. Por lo tanto, la luna llena pascual no debe caer más tarde del 18 de abril y la luna nueva el 5 de abril, que tiene la etiqueta de epacta «xxv». Por lo tanto, el 5 de abril debe tener sus etiquetas de epacta dobles «xxiv» y «xxv». Entonces, la epacta «xxv» debe tratarse de forma diferente, como se explica en la sección anterior.
La distribución de frecuencias para la fecha de la Pascua está mal definida, porque cada 100 a 300 años cambia la correspondencia entre el número áureo y la epacta, y la distribución de frecuencias a largo plazo solo es válida durante un período de millones de años (véase más abajo), mientras que el sistema seguramente no se utilizará durante tanto tiempo. La correspondencia actual, válida desde 1900 hasta 2199, da fechas de Pascua con frecuencias muy variables. El 22 de marzo nunca puede ocurrir, mientras que el 31 de marzo ocurre 13 veces en este período de 300 años.
Si nos preguntamos cuál sería la distribución a lo largo de todo el periodo de 5,7 millones de años tras el cual se repiten las fechas, esta distribución es bastante diferente de la distribución en el periodo comprendido entre 1900 y 2199, o incluso de la distribución en el periodo transcurrido desde la reforma hasta ahora. La fecha de la Pascua en un año determinado depende únicamente de la epacta de ese año, su número áureo y su letra dominical, que nos indica qué días son domingos.{{efn|Más concretamente, la letra dominical para la parte del año posterior a febrero, que es diferente en los años bisiestos de la letra para enero y febrero). (El número áureo solo importa cuando la epacta es 25, como se ha explicado anteriormente). Si avanzamos 3 230 000 años desde un año concreto, encontramos un año en el mismo punto del ciclo gregoriano de 400 años y con el mismo número áureo, pero con la epacta aumentada en 1. Por lo tanto, a largo plazo, las treinta epactas tienen la misma probabilidad. Por otro lado, las letras dominicales no tienen todas la misma frecuencia: los años con las letras A y C (al final del año) ocurren el 14 % de las veces cada uno, E y F ocurren el 14,25 % de las veces, y B, D y G ocurren el 14,5 % de las veces. Teniendo en cuenta la complicación relacionada con la epacta 25, se obtiene la distribución que se muestra en el segundo gráfico. El 19 de abril es el más común porque, cuando la epacta es 25, la luna llena eclesiástica cae el 17 o el 18 de abril (dependiendo del número áureo), y también cae en estas fechas cuando la epacta es 26 o 24, respectivamente. Hay siete días en los que puede caer la luna llena, incluidos el 17 y el 18 de abril, para que la Pascua sea el 19 de abril (esta es también la última fecha posible para la Pascua en la que la luna llena eclesiástica puede caer en sábado, ya que el 18 de abril es la última fecha para la luna llena eclesiástica, siendo la Pascua al día siguiente si la luna llena eclesiástica es en sábado).[50] Como consecuencia, 19 abril es la fecha en la que cae la Pascua con más frecuencia en el calendario gregoriano, aproximadamente una vez cada 26 años. El 22 de marzo es la fecha menos frecuente, ya que solo ocurre en 1⁄208 años.[53][50]
La relación entre las fechas del calendario lunar y solar se independiza del esquema de días bisiestos del año solar. Básicamente, el calendario gregoriano sigue utilizando el calendario juliano con un día bisiesto cada cuatro años, por lo que un ciclo metónico de 19 años tiene 6940 o 6939 días con cinco o cuatro días bisiestos. Ahora el ciclo lunar cuenta solo 19 × 354 + 19 × 11 = 6935 días. Al no etiquetar y contar el día bisiesto con un número epactal, sino hacer que la siguiente luna nueva caiga en la misma fecha del calendario que sin el día bisiesto, la lunación actual se prolonga un día. [54] y las 235 lunaciones cubren tantos días como los 19 años (siempre que los 19 años no incluyan una «corrección solar» como en 1900). Así pues, la carga de sincronizar el calendario con la luna (precisión a medio plazo) se traslada al calendario solar, que puede utilizar cualquier esquema de intercalación adecuado, todo ello bajo el supuesto de que 19 años solares = 235 lunaciones (lo que crea una imprecisión a largo plazo si no se corrige con una «corrección lunar»). Una consecuencia es que la edad calculada de la luna puede tener un día de diferencia, y también que las lunaciones que contienen el día bisiesto pueden tener 31 días de duración, lo que nunca ocurriría si se siguiera la luna real (inexactitudes a corto plazo). Este es el precio de un ajuste regular al calendario solar.
Desde la perspectiva de quienes deseen utilizar el ciclo pascual gregoriano como calendario para todo el año, el calendario lunar gregoriano presenta algunas deficiencias[55] (aunque no tienen ningún efecto sobre el mes pascual y la fecha de la Pascua):
- Se producen lunaciones de 31 (y a veces 28) días.
- Si un año con el número áureo 19 tiene una epacta 19, entonces la última luna nueva eclesiástica cae el 2 de diciembre; la siguiente sería el 1 de enero. Sin embargo, al comienzo del nuevo año, un saltus lunae aumenta la epacta en otra unidad, y la luna nueva debería haber ocurrido el día anterior. Por lo tanto, se pierde una luna nueva. El calendarium del Missale Romanum tiene en cuenta esto asignando la etiqueta de epacta «19» en lugar de «xx» al 31 de diciembre de dicho año, lo que convierte esa fecha en la luna nueva. Esto ocurría cada 19 años cuando estaba en vigor la tabla epactal gregoriana original (por última vez en 1690), y volverá a ocurrir en 8511.
- Si la epacta de un año es 20, la luna nueva eclesiástica cae el 31 de diciembre. Si ese año es anterior a un año centenario, en la mayoría de los casos, una corrección solar reduce la epacta del nuevo año en uno: la epacta resultante «*» significa que se cuenta otra luna nueva eclesiástica el 1 de enero. Por lo tanto, formalmente, ha transcurrido una lunación de un día. Esto volverá a ocurrir en 4199-4200.
Otros casos límite se producen (mucho) más tarde, y si se siguen estrictamente las reglas y no se tratan estos casos de forma especial, se generan fechas de luna nueva sucesivas con una diferencia de 1, 28, 59 o (muy raramente) 58 días.
Un análisis cuidadoso muestra que, por la forma en que se utilizan y corrigen en el calendario gregoriano, las epactas son en realidad 130 de una lunación y no días completos. Véase epacta para más información.
Las correcciones solares y lunares se repiten después de 4 × 25 = 100 siglos. En ese periodo, la epacta para un número áureo dado cambia en un total de −1 × 34 × 100 + 1 × 825 × 100 = −43 ≡ 17 mod 30. Este es primo para las 30 epactas posibles, por lo que se necesitan 100 × 30 = 3000 siglos antes de que se repitan las correspondencias de las epactas; y 3000 × 19 = 57 000 siglos antes de que se repitan en el mismo número áureo. No es obvio cuántas lunas nuevas eclesiásticas se cuentan en este período de 5,7 millones de años. Los ciclos metónicos suman (5 700 000/19) × 235 = 70 500 000 lunaciones. Pero hay −43 × (5 700 000/10 000) correcciones netas a las epactas, que divididas por 30 suman una corrección de −817 lunaciones, para un total de 70 499 183 lunaciones. Este número parece haber sido derivado por primera vez por Magnus Georg Paucker en 1837. [56] También se menciona en el capítulo sobre calendarios (p. 744) del Almanaque Náutico de 1931[57] y en el Suplemento explicativo de 1992 (p. 582).[58][59] Por lo tanto, las fechas de la Pascua gregoriana se repiten exactamente en el mismo orden solo después de 5 700 000 años, 70 499 183 lunaciones o 2 081 882 250 días; la duración media de la lunación es entonces 2 081 882 250/70 499 183 = 29,53058690 días. Por supuesto, el calendario tendría que ajustarse después de unos milenios debido a los cambios en la duración del año tropical, el mes sinódico y el día.
Esto plantea la pregunta de por qué el calendario lunar gregoriano tiene correcciones solares y lunares separadas, que a veces se anulan entre sí. La obra original de Lilius no se ha conservado, pero su propuesta se describió en el Compendium Novae Rationis Restituendi Kalendarium, difundido en 1577, en el que se explica que el sistema de corrección que ideó iba a ser una herramienta perfectamente flexible en manos de los futuros reformadores del calendario, ya que a partir de entonces el calendario solar y el lunar podrían corregirse sin interferir entre sí. [60] Un ejemplo de esta flexibilidad lo proporcionó una secuencia de intercalación alternativa derivada de las teorías de Copérnico, junto con sus correspondientes correcciones de epactas.[61]
Las «correcciones solares» anulan aproximadamente el efecto de las modificaciones gregorianas de los días bisiestos del calendario solar en el calendario lunar: devuelven (parcialmente) el ciclo epactal a la relación metónica original entre el año juliano y el mes lunar. El desajuste inherente entre el Sol y la Luna en este ciclo básico de 19 años se corrige cada tres o cuatro siglos mediante la «corrección lunar» de las epactas. Sin embargo, las correcciones de las epactas se producen al comienzo de los siglos gregorianos, no de los siglos julianos, por lo que el ciclo metónico juliano original no se restaura por completo.
Mientras que el 4 × 8 − 3 × 25 = 43 epactas podría distribuirse uniformemente a lo largo de 10 000 años (como ha propuesto, por ejemplo, Lichtenberg, 2003, pp. 45–76), si se combinan las correcciones, también se suman las imprecisiones de los dos ciclos y no pueden corregirse por separado.
Las proporciones de días (solares medios) por año y días por lunación cambian tanto por las variaciones intrínsecas a largo plazo de las órbitas como por la ralentización de la rotación de la Tierra debido a la desaceleración de las mareas, por lo que los parámetros gregorianos se vuelven cada vez más obsoletos.
Esto afecta a la fecha del equinoccio, pero da la casualidad de que el intervalo entre los equinoccios hacia el norte (primavera en el hemisferio norte) ha sido bastante estable a lo largo de la historia, especialmente si se mide en tiempo solar medio.[62][63]
Además, la desviación de las lunas llenas eclesiásticas calculadas mediante el método gregoriano en comparación con las lunas llenas reales se ve menos afectada de lo que cabría esperar, ya que el aumento de la duración del día se compensa casi exactamente con el aumento de la duración del mes, ya que el frenado por las mareas transfiere el momento angular de la rotación de la Tierra al momento angular orbital de la Luna.
El valor ptolemaico de la duración del mes sinódico medio, establecido alrededor del siglo IV a. C. por los babilonios, es 29 días 12 horas 44 minutos 313 s (véase Kidinnu); el valor actual es 0,46 s menor (véase luna nueva). En el mismo periodo histórico, la duración del año tropical medio ha disminuido en unos 10 s. (Todos los valores se refieren al tiempo solar medio).
Fechas «paradójicas» de Pascua
Debido a las discrepancias entre las aproximaciones de los cálculos computacionales del tiempo del medio (hemisferio norte) equinoccio vernal y las fases lunares, y los valores reales calculados según principios astronómicos, en ocasiones surgen diferencias entre la fecha de la Pascua según el cálculo computacional y la fecha hipotética de la Pascua calculada por métodos astronómicos utilizando los principios atribuidos a los padres de la Iglesia. Estas discrepancias se denominan fechas «paradójicas» de Pascua.[64]
En su Kalendarium de 1474, Regiomontanus calculó la hora exacta de todas las conjunciones del Sol y la Luna para la longitud de Núremberg según las Tablas Alfonsinas para el período comprendido entre 1475 y 1531. En su obra, tabuló 30 casos en los que la Pascua del computus juliano no coincidía con la Pascua calculada utilizando la Luna nueva astronómica. En dieciocho casos, la fecha difería en una semana, en siete casos en 35 días y en cinco casos en 28 días.[64]
Ludwig Lange investigó y clasificó diferentes tipos de fechas paradójicas de Pascua utilizando el computus gregoriano.[65] En los casos en que la primera luna llena de primavera según el cálculo astronómico ocurre en domingo y el computus da como resultado el mismo domingo como Pascua, la Pascua celebrada ocurre una semana antes en comparación con la hipotética Pascua «astronómicamente» correcta. Lange llamó a este caso una paradoja semanal (hebdomadal) negativa (paradoja H−). Si el cálculo astronómico da como resultado un sábado para la primera luna llena vernal y la Pascua no se celebra el domingo inmediatamente posterior, sino una semana más tarde, la Pascua se celebra según el computus una semana más tarde en comparación con el resultado astronómico. Clasificó estos casos como una paradoja semanal (hebdomadal) positiva (paradoja H+).[65]
Las discrepancias son aún mayores si existe una diferencia según el equinoccio vernal con respecto a la teoría astronómica y la aproximación del computus. Si la luna llena equinoccial astronómica cae antes de la luna llena equinoccial computística, la Pascua se celebrará con cuatro o incluso cinco semanas de retraso. Según Lange, estos casos se denominan paradoja equinoccial positiva (paradoja A+). En el caso contrario, cuando la luna llena equinoccial computística cae un mes antes de la luna llena equinoccial astronómica, la Pascua se celebra cuatro o cinco semanas antes de tiempo. Estos casos se denominan paradoja equinoccial negativa (paradoja A−).[65]
Las paradojas equinocciales son siempre válidas a nivel mundial para toda la Tierra, ya que la secuencia del equinoccio y la luna llena no depende de la longitud geográfica. Por el contrario, las paradojas semanales son locales en la mayoría de los casos y solo son válidas para una parte de la Tierra, ya que el cambio de día entre el sábado y el domingo depende de la longitud geográfica. Los cálculos computacionales se basan en tablas astronómicas válidas para la longitud de Venecia, que Lange denominó longitud gregoriana.[65]
En los siglos XXI y XXII[65][66] se producen fechas paradójicas semanales negativas para la Pascua en 2049, 2076, 2106, 2119 (global), 2133, 2147, 2150, 2170 y 2174. Las fechas paradójicas semanales positivas se producen en 2045, 2069, 2089 (global) y 2096. Las fechas paradójicas equinocciales positivas se producen en 2019, 2038, 2057, 2076, 2095, 2114, 2133, 2152, 2171 y 2190.[66]
En 2076 y 2133 se producen paradojas dobles (equinoccial positiva y semanal negativa). Las paradojas equinocciales negativas son extremadamente raras. Solo se producen dos veces hasta el año 4000: en 2353, cuando la Pascua se adelanta cinco semanas, y en 2372, cuando la Pascua se adelanta cuatro semanas.[66]
Algoritmos
Nota sobre las operaciones
Al expresar algoritmos de Pascua sin utilizar tablas, se ha acostumbrado emplear únicamente las operaciones con números enteros suma, resta, multiplicación, división, módulo y asignación, ya que son compatibles con el uso de calculadoras mecánicas o electrónicas simples. Esa restricción no es deseable para la programación informática, donde se dispone de operadores y sentencias condicionales, así como de tablas de consulta. Es fácil ver cómo se puede realizar la conversión de día de marzo (22 a 56) a día y mes (22 de marzo a 25 de abril) como if (DoM > 31) {Day=DoM-31, Month=Apr} else {Day=DoM, Month=Mar}. [cita requerida] Más importante aún, el uso de tales condiciones también simplifica el núcleo del cálculo gregoriano.[cita requerida]
Algoritmo de Pascua de Gauss
En 1800, el matemático Carl Friedrich Gauss presentó este algoritmo para calcular la fecha de la Pascua juliana o gregoriana. Corrigió la expresión para calcular la variable “'p”' en 1816. En 1800, afirmó incorrectamente “'p”' = piso (“'k”'3) = “'k”'3. En 1807, sustituyó la condición (11'“M”' + 11) mod 30 < 19 por la más simple “'a”' > 10. En 1811, limitó su algoritmo solo a los siglos XVIII y XIX, y afirmó que el 26 de abril siempre se sustituye por el 19, y el 25 de abril por el 18 de abril en las circunstancias indicadas. En 1816, agradeció a su alumno Peter Paul Tittel por señalar que «p» era incorrecto en la versión original.[67]
gauss_computus_paschalis:
input(year, calendar)
a = year % 19
b = year % 4
c = year % 7
si el calendario es GREGORIANO:
k = year // 100
p = (13 + 8 * k) // 25 # fixed (1816), was: k // 3
q = k // 4
M = (15 - p + k - q) % 30
N = (4 + k - q) % 7
si el calendario es JULIANO:
M = 15
N = 6
d = (19 * a + M) % 30
e = (2 * b + 4 * c + 6 * d + N) % 7
march_easter = d + e + 22
april_easter = d + e - 9
if april_easter == 25 and d == 28 and e == 6 and a > 10: # changed (1807), was: (11 * M + 11) % 30 < 19
april_easter = 18
if april_easter == 26 and d == 29 and e == 6:
april_easter = 19
if march_easter <= 31:
output(3, march_easter)
else:
output(4, april_easter)
Cálculo
| 2022 | 17 de abril |
|---|---|
| 2023 | 9 de abril |
| 2024 | 31 de marzo |
| 2025 | 20 de abril |
| 2026 | 5 de abril |
| 2027 | 28 de marzo |
| 2028 | 16 de abril |
| 2029 | 1 de abril |
| 2030 | 21 de abril |
| 2031 | 13 de abril |
Definamos 10 variables, "a", "b", "c", "k", "p", "q", "M", "N", "d" y "e". Llamaremos "A" al año del que queremos calcular la Pascua.
- a es el resto de la división ,
- b es el resto de la división ,
- c es el resto de la división ,
- k es el cociente de la división ,
- p es el cociente de la división ,
- q es el cociente de la división ,
- M es el resto de la división ,
- N es el resto de la división ,
- d es el resto de la división ,
- e es el resto de la división .
Si d+e<10, entonces la Pascua caerá en el día (d+e+22) de marzo. En caso contrario (d+e≥10), caerá en el día (d+e−9) de abril.
Existen dos excepciones a tener en cuenta:
- Si la fecha obtenida es el 26 de abril, entonces la Pascua caerá en el 19 de abril.
- Si la fecha obtenida es el 25 de abril, con d=28, e=6 y a>10, entonces la Pascua caerá en el 18 de abril.
Algoritmo de Butcher
Otra forma de calcular esta fecha es utilizando el algoritmo de Butcher, del «Almanaque Eclesiástico» de 1876. La ventaja con respecto al anterior es que no tiene excepciones y es válido para cualquier año posterior a 1583. La desventaja es que es algo más complejo. En este caso llamaremos "Y" al año cuya Pascua queremos calcular. Al igual que el anterior, sólo es válido para el calendario gregoriano y se calcula como sigue:
- A es el resto de la división ,
- B es el cociente de la división ,
- C es el resto de la división ,
- D es el cociente de la división ,
- E es el resto de la división ,
- F es el cociente de la división ,
- G es el cociente de la división ,
- H es el resto de la división ,
- I es el cociente de la división ,
- K es el resto de la división ,
- L es el resto de la división ,
- M es el cociente de la división ,
- N=H+L–7M+114,
- MES es el cociente de la división ,
- DÍA=1+(N mod 31) o bien 1+(N-(MES×31)).
Ejemplo
Para comprobar la fórmula, calcularemos la fecha del Domingo de Resurrección del año 2007
- A = 2007
- a = resto de = 12
- b = resto de = 3
- c = resto de = 5
- k = entero de = 20
- p = entero de = 6
- q = entero de = 5
- M = resto de = 24
- N = resto de = 5
- d = resto de = 12
- e = resto de = 5
Como d + e = 17 > 9, habremos de utilizar la segunda de las fórmulas (la correspondiente a abril), la cual da como resultado 8. El domingo 8 de abril de 2007 es domingo de Resurrección.
Siguiendo el mismo ejemplo con el algoritmo de Butcher, los resultados quedarían como sigue:
año = 2007
- A = resto de = 12
- B = cociente de = 20
- C = resto de = 7
- D = cociente de = 5
- E = resto de = 0
- F = cociente de = 1
- G = cociente de = 6
- H = resto de = 12
- I = cociente de = 1
- K = resto de = 3
- L = resto de = 5
- M = cociente de = 0
- N = 12+5-7*0+114 = 131
- MES= cociente de = 4
- DÍA= 1+(131 mod 31) = 1+7 = 8
- En la siguiente tabla se pueden ver los resultados de una forma más gráfica
| Operación | Resultado | Cociente | Resto |
|---|---|---|---|
| año / 19 | 105,631 | 105 | A = 12 |
| año / 100 | 20,070 | B = 20 | C = 7 |
| B / 4 | 5,000 | D = 5 | E = 0 |
| (B + 8) / 25 | 1,120 | F = 1 | 3 |
| (B − F + 1) / 3 | 6,666 | G = 6 | 2 |
| (19A + B − D − G + 15) / 30 | 8,400 | 8 | H = 12 |
| C / 4 | 1,750 | I = 1 | K = 3 |
| (32 + 2E + 2I − H − K) / 7 | 2,714 | 2 | L = 5 |
| (A + 11H + 22L) / 451 | 0,563 | M = 0 | 254 |
| H + L −7M + 114 | N = 131 | ||
| N / 31 | 4,225 | MES = 4 | 7 |
| 1+ N mod 31 | DÍA = 8 |
