Conjetura de Goldbach

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Orígenes

El 7 de junio de 1742, el matemático prusiano Christian Goldbach escribió una carta a Leonhard Euler (carta XLIII),^[3] en la que propuso la siguiente conjetura:

Todo número entero que se pueda escribir como la suma de dos números primos también se puede escribir como la suma de tantos números primos (incluida la unidad) como se desee, hasta que todos los términos sean unidades.^[4]

Goldbach seguía la convención, ahora abandonada, de considerar el 1 como un número primo,^[5] de modo que una suma de unidades sería una suma de números primos. También propuso una segunda conjetura al margen de su carta, que implica la primera:^[6]

Parece ser, al menos, que todo número entero mayor que 2 puede escribirse como la suma de tres números primos.^[7]

Euler respondió en una carta fechada el 30 de junio de 1742^[8] y le recordó a Goldbach una conversación anterior que habían tenido ("... so Ew. vormals mit mir communicirt haben ..."), en la que Goldbach había comentado que la primera de esas dos conjeturas se derivaría de la afirmación:

Conjetura: Todo número par positivo se puede escribir como la suma de dos números primos.

Esto es, de hecho, equivalente a su segunda conjetura incluida en el margen del documento. En la carta fechada el 30 de junio de 1742, Euler afirmó:^[9][10]

Que todo número par es suma de dos números primos, lo considero un teorema completamente cierto, aunque no puedo demostrarlo.^[11]

Conjetura débil de Descartes

René Descartes escribió: "Todo número par puede expresarse como la suma de, como máximo, tres números primos".^[12] Esta proposición es similar a la conjetura de Goldbach, pero más débil. Paul Erdős dijo: "Descartes descubrió esto antes que Goldbach... pero es mejor que la conjetura lleve el nombre de Goldbach porque, matemáticamente hablando, Descartes era infinitamente rico y Goldbach muy pobre".^[13]

Resultados parciales

Comprobar la conjetura de Goldbach que involucra la suma de dos primos es mucho más difícil que hacerlo con la conjetura débil de Goldbach, que dice que todo entero impar mayor que 5 es la suma de tres primos. Usando el método de Vinográdov, Nikolái Chudakov,^[14] Johannes van der Corput,^[15] y Theodor Estermann^[16] demostraron (1937-1938) que casi todos los números pares se pueden escribir como la suma de dos primos (en el sentido de que la fracción de números pares hasta algún N que se pueden escribir de esa manera tiende a 1 a medida que N aumenta). En 1930, Lev Schnirelmann demostró que cualquier número natural mayor que 1 puede escribirse como la suma de no más de C números primos, donde C es una constante efectivamente computable; véase densidad de Schnirelmann.^[17][18] La constante de Schnirelmann es el número más bajo C con esta propiedad. El propio Schnirelmann obtuvo C < 800 000. Este resultado fue posteriormente mejorado por muchos autores, como Olivier Ramaré, quien en 1995 demostró que todo número par n ≥ 4 es de hecho la suma de como máximo 6 primos. El resultado más conocido proviene de la demostración de la conjetura débil de Goldbach por Harald Helfgott,^[19] que implica directamente que todo número par n ≥ 4 es la suma de como máximo 4 primos.^[20][21]

En 1924, Hardy y Littlewood demostraron^[22] bajo el supuesto de la hipótesis generalizada de Riemann que la cantidad de números pares hasta X que violan la conjetura de Goldbach es mucho menor que X ^{+ c} para c pequeños.^[23]

En 1948, utilizando métodos de la teoría de cribas, Alfréd Rényi demostró que todo número par suficientemente grande puede escribirse como la suma de un primo y un número casi primo con como máximo K factores.^[24] Chen Jingrun demostró en 1973, utilizando la teoría de la criba, que todo número par suficientemente grande puede escribirse como la suma de dos primos, o como un primo y un número semiprimo (el producto de dos primos).^[25] Véase el teorema de Chen para más información.

En 1951, Yuri Linnik demostró la existencia de una constante K tal que todo número par suficientemente grande es la suma de dos números primos y como máximo K potencias de 2. En 2020, János Pintz y Imre Ruzsa descubrieron que K= 8 cumple esta condición.^[26] Suponiendo la validez de la hipótesis generalizada de Riemann, K= 7 también cumple, como demostraron Roger Heath-Brown y Jan-Christoph Schlage-Puchta en 2002.^[27]

En 1975, Hugh Lowell Montgomery y Bob Vaughan demostraron que la mayoría de los números pares pueden expresarse como la suma de dos números primos. Más precisamente, demostraron la existencia de constantes positivas c y C tales que, para todo número suficientemente grande N, todo número par menor que N es la suma de dos números primos, con como máximo CN^{1 − c} excepciones. En particular, el conjunto de enteros pares que no son la suma de dos números primos tiene densidad cero.

En 2013, el matemático peruano Harald Helfgott presentó una demostración de la conjetura débil para la serie de libros Annals of Mathematics Studies. El artículo fue aceptado, pero Helfgott decidió realizar modificaciones importantes sugeridas por el revisor.^{[28][29][30][31][32]}

La conjetura débil se deduce de la conjetura de Goldbach, ya que si n − 3 es la suma de dos primos, entonces n es la suma de tres primos. Sin embargo, la implicación recíproca y, por lo tanto, la conjetura de Goldbach, permanecen sin demostrar, incluso si la demostración de Helfgott es correcta.

En 2022 una relación entre la conjetura de Goldbach y la conjetura de Polignac (que incluye como caso particular la conjetura de los primos gemelos) fue descubierta por el matemático español José Alfonso López Nicolás.^[33]

Resultados computacionales

Para valores pequeños de n, la conjetura de Goldbach (y, por lo tanto, la conjetura débil de Goldbach) puede verificarse directamente. Por ejemplo, en 1938, Nils Pipping verificó laboriosamente la conjetura hasta n = 100 000.^[34] Con la llegada de las computadoras, se han comprobado muchos más valores de n; T. Oliveira e Silva realizó una búsqueda computacional distribuida que verificó la conjetura para n ≤ 4e18 (y la volvió a comprobar hasta 4e17) en 2013. Un dato de esta búsqueda es que 3 325 581 707 333 960 700 es el número más pequeño que no puede escribirse como suma de dos números primos donde uno es menor que 9781.^[35]

Cada una de las tres conjeturas tiene un análogo natural en términos de la definición moderna de primo, según la cual el 1 queda excluido. Una versión moderna de la primera conjetura es:

Todo número entero que se pueda escribir como la suma de dos números primos también se puede escribir como la suma de tantos números primos como se desee, hasta que todos los términos sean dos (si el número entero es par) o un término sea tres y todos los demás términos sean dos (si el número entero es impar).

Una versión moderna de la conjetura planteada en el margen del documento original es:

Todo número entero mayor que 5 se puede escribir como la suma de tres números primos.

Y una versión moderna de la antigua conjetura de Goldbach, que Euler le recordó, es:

Todo número par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números primos.

Estas versiones modernas podrían no ser completamente equivalentes a los enunciados originales correspondientes. Por ejemplo, si existiera un entero par N = p + 1 mayor que 4, siendo p un primo, que no pudiera expresarse como la suma de dos primos en el sentido moderno, entonces sería un contraejemplo a la versión moderna de la tercera conjetura (sin ser un contraejemplo a la versión original). Por lo tanto, la versión moderna es probablemente más fuerte (pero para confirmarlo, habría que demostrar que la primera versión, aplicada libremente a cualquier entero par positivo n, no podría descartar la existencia de un contraejemplo específico como N). En cualquier caso, las afirmaciones modernas guardan la misma relación entre sí que las antiguas. Es decir, la segunda y la tercera afirmación moderna son equivalentes, y cualquiera de ellas implica la primera.

La tercera afirmación moderna (equivalente a la segunda) es la forma en que la conjetura se suele expresar hoy en día. También se la conoce como la conjetura de Goldbach "fuerte", "par" o "binaria". Una forma más débil de la segunda afirmación moderna, conocida como "conjetura débil de Goldbach", la "conjetura de Goldbach impar" o la "conjetura de Goldbach ternaria", afirma que:

Todo número entero impar mayor que 7 se puede escribir como la suma de tres números primos impares.

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Consideraciones estadísticas centradas en la distribución probabilística de los números primos presentan evidencia informal a favor de la conjetura (tanto en su forma débil como fuerte) para los enteros suficientemente grandes: cuanto mayor sea el entero, más formas existen de representarlo como la suma de otros dos o tres números, y más probable es que al menos una de estas representaciones esté compuesta enteramente de números primos.

Una versión heurística muy simplificada del argumento probabilístico (para la forma fuerte de la conjetura de Goldbach) es la siguiente: el teorema de los números primos afirma que un entero m seleccionado al azar tiene aproximadamente una probabilidad 1/ln m de ser primo. Por lo tanto, si n es un entero par grande y m es un número entre 3 y n/2, entonces cabría esperar que la probabilidad de que m y n − m sean primos simultáneamente sea 1/ln m ln(n − m). Si se sigue este razonamiento heurístico, cabría esperar que el número total de maneras de escribir un entero par grande n como suma de dos primos impares sea aproximadamente:

${\displaystyle \sum _{m=3}^{\frac {n}{2}}{\frac {1}{\ln m}}{\frac {1}{\ln(n-m)}}\approx {\frac {n}{2(\ln n)^{2}}}.}$

Dado que ${\displaystyle \ln n\ll {\sqrt {n}}}$, esta cantidad tiende a infinito a medida que n aumenta, cabría esperar que cada entero par grande no tenga una sola representación como suma de dos primos, sino muchísimas.

Este argumento heurístico es en realidad algo inexacto porque asume que los eventos de m y n − m son primos (estadísticamente independientes entre sí. Por ejemplo, si m es impar, entonces n − m también es impar, y si m es par, entonces n − m es par, una relación no trivial porque, aparte del número 2, solo los números impares pueden ser primos. De manera similar, si n es divisible por 3, y m ya era un primo distinto de 3, entonces n − m también sería coprimo con respecto a 3 y, por lo tanto, sería ligeramente más probable que fuera primo que un número general. Siguiendo este tipo de análisis con más cuidado, Godfrey Harold Hardy y John Edensor Littlewood en 1923 conjeturaron (como parte de su conjetura de la tupla prima de Hardy-Littlewood) que para cualquier c ≥ 2 fijo, el número de representaciones de un entero grande n como la suma de c primos n = p₁ + ⋯ + p_c con p₁ ≤ ⋯ ≤ p_c debería ser asintóticamente igual a

${\displaystyle \left(\prod _{p}{\frac {p\gamma _{c,p}(n)}{(p-1)^{c}}}\right)\int _{2\leq x_{1}\leq \cdots \leq x_{c}:x_{1}+\cdots +x_{c}=n}{\frac {dx_{1}\cdots dx_{c-1}}{\ln x_{1}\cdots \ln x_{c}}},}$

donde el producto se realiza sobre todos los primos p, y γ_c,p(n) es el número de soluciones de la ecuación n = q₁ + ⋯ + q_c mod p en aritmética modular, sujeta a q₁, ..., q_c ≠ 0 mod p restricciones. Esta fórmula ha sido rigurosamente probada como asintóticamente válida para c ≥ 3 a partir del trabajo de Iván Vinográdov, pero sigue siendo solo una conjetura cuando c = 2. En este último caso, la fórmula anterior se simplifica a 0 cuando n es impar, y

${\displaystyle 2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right)\int _{2}^{n}{\frac {dx}{(\ln x)^{2}}}\approx 2\Pi _{2}\left(\prod _{p\mid n;p\geq 3}{\frac {p-1}{p-2}}\right){\frac {n}{(\ln n)^{2}}}}$

cuando n es par, donde Π₂ es la constante de primos gemelos de Hardy-Littlewood

${\displaystyle \Pi _{2}:=\prod _{p\;{\rm {prime}}\geq 3}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)\approx 0.66016\,18158\,46869\,57392\,78121\,10014\dots }$

Esto se conoce a veces como la "conjetura extendida de Goldbach". La conjetura de Goldbach es, de hecho, muy similar a la conjetura de los números primos gemelos, y se cree que ambas conjeturas tienen una dificultad aproximadamente comparable.

La función de partición de Goldbach asocia a cada entero par el número de maneras en que puede descomponerse en una suma de dos primos. Su gráfica se asemeja a la forma de un cometa y, por lo tanto, se denomina cometa de Goldbach.^[36]

El cometa de Goldbach sugiere límites superiores e inferiores estrictos para el número de representaciones de un número par como suma de dos primos, y también que el número de estas representaciones depende fuertemente del valor módulo 3 del número.

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Aunque la conjetura de Goldbach implica que todo entero positivo mayor que uno puede escribirse como una suma de, como máximo, tres primos, no siempre es posible encontrar dicha suma utilizando un algoritmo voraz que emplea el primo más grande posible en cada paso. La sucesión de Pillai rastrea los números que requieren la mayor cantidad de primos en sus representaciones voraces.^[37]

Existen problemas similares a la conjetura de Goldbach en los que los números primos se reemplazan por otros conjuntos particulares de números, como los cuadrados:

• Lagrange demostró que todo número entero positivo es la suma de cuatro cuadrados. Véase el problema de Waring y el problema de Waring-Goldbach sobre sumas de potencias de números primos, relacionado con el anterior.

• Hardy y Littlewood enumeraron como su Conjetura I: "Todo número impar grande (n > 5) es la suma de un número primo y el doble de un número primo".^[38] Este postulado se conoce como conjetura de Lemoine y también como la "conjetura de Levy".

• La conjetura de Goldbach para números prácticos, una serie de enteros similares a los números primos, fue enunciada por Margenstern en 1984,^[39] y demostrada por Melfi en 1996:^[40] "todo número par es suma de dos números prácticos".

• Harvey Dubner propuso un fortalecimiento de la conjetura de Goldbach: que todo entero par mayor que 4208 es la suma de dos números primo gemelos (no necesariamente pertenecientes al mismo par).^[41] Solo 34 enteros pares menores que 4208 no son la suma de dos primos gemelos. Dubner ha verificado computacionalmente que esta lista está completa hasta ${\displaystyle 2\cdot 10^{10}.}$^[42] Una prueba de esta conjetura más fuerte implicaría no solo la conjetura de Goldbach, sino también la de los números primos gemelos.

La conjetura de Goldbach se utiliza para estudiar la complejidad computacional.^[43] La conexión se establece a través de la función busy beaver ("castor ocupado"), donde BB(n) es el número máximo de pasos que da cualquier estado n de una máquina de Turing que se detiene. Existe una máquina de Turing de 27 estados que se detiene si y solo si la conjetura de Goldbach es falsa.^[43] Por lo tanto, si se conociera BB(27) y la máquina de Turing no se detuviera en ese número de pasos, se sabría que funciona indefinidamente y, por consiguiente, no existirían contraejemplos (lo que demostraría la conjetura). Esta es una forma completamente inabordable de resolver la conjetura de manera práctica, pero que se utiliza para sugerir que BB(27) será muy difícil de calcular, al menos tan difícil como resolver la conjetura de Goldbach.

En cine:

• La conjetura de Goldbach forma parte de la trama de la película española La habitación de Fermat (2007).
• También aparece en la película Proof, conocida en España como La verdad oculta (2005).
• En la segunda película de Futurama, La bestia con un millón de espaldas (2008), el profesor Hubert Fansworth la menciona.
• En la película franco-suiza théorème de Marguerite (2023) se plantea el encuentro de la demostración del teorema de Goldbach por una matemática.

En literatura:

• El tío Petros y la Conjetura de Goldbach es una novela de Apostolos Doxiadis que gira en torno a la vida de un joven cuyo tío dedicó su vida a intentar resolver esta conjetura.

En internet:

• El enigma de Goldbach. Los enigmas de Tierra Quebrada son una recopilación de enigmas para resolver de diferentes temáticas y dificultades. Entre ellos El enigma Goldbach está basado en la Conjetura de Goldbach.