Icosaedro

Dos tipos de icosaedros regulares: el convexo y el no convexo

Hay dos objetos, uno convexo y otro no convexo, que pueden denominarse icosaedros regulares, caracterizados por contar con 30 aristas y con 20 caras triangulares. El término icosaedro regular generalmente se refiere a un poliedro convexo, un deltaedro perteneciente a los sólidos platónicos, también conocido como "icosaedro" de forma genérica.^[1] Una versión del poliedro no convexa es el gran icosaedro, un sólido de Kepler-Poinsot. Ambas figuras tienen simetría icosaédrica.

Según Coxeter et al. en The fifty nine icosahedra, existen 59 estelaciones de un icosaedro regular (incluido el icosaedro original). Ser una estelación significa que un poliedro extiende sus caras o aristas hasta que se unen para formar un nuevo poliedro. Esto se realiza simétricamente, de modo que la figura resultante conserva la simetría general de la figura original. El icosaedro regular y el gran icosaedro se encuentran entre ellos. Otras estelaciones tienen más de una cara en cada plano o forman compuestos de poliedros más simples. Estos no son estrictamente icosaedros, aunque a menudo se les denomina así.^[2]

Más información Pequeño icosaedro triámbico, Mediano icosaedro triámbico ...

Estelaciones notables del icosaedro
Regulares	Duales uniformes			Compuestos regulares			Estrella regular	Otros
Icosaedro (convexo)	Pequeño icosaedro triámbico	Mediano icosaedro triámbico	Gran icosaedro triámbico	Compuesto de cinco octaedros	Compuesto de cinco tetraedros	Compuesto de diez tetraedros	Gran icosaedro	Dodecaedro excavado	Estelación final
El proceso de estelación en el icosaedro crea una serie de poliedros y compuestos relacionados con simetría icosaédrica

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Un icosaedro regular puede ser distorsionado hasta adquirir una simetría piritoédrica inferior,^[3][4] y se llama octaedro romo, tetratetraedro romo, tetraedro romo y pseudoicosaedro.^[5] Esto puede verse como un octaedro truncado alternado. Si todos los triángulos son equiláteros, la simetría también puede distinguirse coloreando los conjuntos de 8 y 12 triángulos de manera diferente. Simetría tetraédrica tiene el símbolo (3*2), [3⁺,4], con orden 24. La simetría tetraédrica tiene el símbolo (332), [3,3]⁺, con orden 12. Estas simetrías inferiores permiten distorsiones geométricas de 20 caras triangulares equiláteras, teniendo en su lugar 8 triángulos equiláteros y 12 triángulos isósceles congruentes. Estas simetrías tienen diagramas de Coxeter-Dynkin y respectivamente, cada una representando la simetría inferior al icosaedro regular, , (*532), [5,3] y la simetría icosaédrica de orden 120.

Las coordenadas cartesianas de los 12 vértices se pueden definir mediante los vectores definidos por todas las permutaciones cíclicas posibles y los cambios de signo de las coordenadas de la forma (2, 1, 0). Estas coordenadas representan el octaedro truncado con los vértices alternados eliminados. Esta construcción se denomina tetraedro truncado en su forma de icosaedro regular, generado por las mismas operaciones realizadas a partir del vector (f, 1, 0), donde f es el número áureo.^[4]

Un icosaedro regular es topológicamente idéntico a un cuboctaedro con sus 6 caras cuadradas bisecadas en diagonales con simetría piritoédrica. Los icosaedros con simetría piritoédrica constituyen una familia infinita de poliedros que incluye el cuboctaedro, el icosaedro regular, el icosaedro de Jessen y el octaedro de doble cubrimiento. Las transformaciones cinemáticas cíclicas se encuentran entre los miembros de esta familia.

A continuación se muestran otros icosaedros convexos y no convexos, junto con sus descripciones:

• 
  Icosaedro de Jessen, a veces llamado icosaedro ortogonal de Jessen: un poliedro con ocho triángulos equiláteros y doce caras isósceles. Si se dispone de otra manera, la figura no es convexa y tiene ángulos diedros rectos.
• 
  Icosaedro rómbico: un zonoedro formado por 20 rombos congruentes. Se puede obtener a partir del triacontaedro rómbico eliminando 10 caras centrales. Aunque todas las caras son congruentes, el icosaedro rómbico no es isoedral.
• 
  Una pirámide con 19 caras triangulares y una base de 19 lados.
• 
  Un prisma con 18 caras laterales y 2 bases de 18 lados.
• 
  Un antiprisma con una base poligonal de nueve lados.
• 
  Una bipirámide con veinte caras triangulares.
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  Cúpula triangular giroelongada: un sólido de Johnson con 16 triángulos, 3 pentágonos y 1 hexágono.
• 
  Un ortobicúpula triangular elongada es un sólido de Johnson con 8 triángulos y 12 cuadrados. Un sólido de Johnson similar con el mismo número y tipo de caras es una girobicúpula triangular elongada, pero su construcción se muestra de forma diferente al rotar una de sus cúpulas triangulares.
• 
  Un dodecaedro parabiaumentado es un sólido de Johnson con 10 triángulos y 10 pentágonos. El número y tipo de caras es el mismo que el de un dodecaedro metabiaumentado. La diferencia entre estos dos radica en la construcción, ya que se une una pirámide pentagonal a la cara de un dodecaedro regular de manera diferente.
• 
  Hebesfenorrotonda triangular: el último sólido de Johnson con 13 triángulos equiláteros, 3 cuadrados, 3 pentágonos y 1 hexágono.

• Icosaedro truncado
• Hexacosicoron
• Icosoku
• Gemelos icosaédricos, nanopartículas que a menudo se aproximan a icosaedros perfectos