Teorema de Riemann-Roch

Ejemplos

El teorema se ilustrará eligiendo un punto ${\displaystyle P}$ en la superficie en cuestión y considerando la sucesión de números

${\displaystyle \ell (n\cdot P),n\geq 0}$

es decir, la dimensión del espacio de funciones que son holomorfas en todas partes excepto en ${\displaystyle P}$, donde se permite que la función tenga un polo de orden a lo sumo ${\displaystyle n}$. Para ${\displaystyle n=0}$, se requiere por tanto que las funciones sean enteras, es decir, holomorfas en toda la superficie ${\displaystyle X}$. Según el teorema de Liouville, tal función es necesariamente constante. Por consiguiente, ${\displaystyle \ell (0)=1}$. En general, la sucesión ${\displaystyle \ell (n\cdot P)}$ es una sucesión creciente.

Género uno

El siguiente caso es una superficie de Riemann de género ${\displaystyle g=1}$, como un toro ${\displaystyle \mathbb {C} /\Lambda }$, donde ${\displaystyle \Lambda }$ es un retículo bidimensional (un grupo isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$). Su género es uno: su primer grupo de homología singular está generado libremente por dos lazos, como se muestra en la ilustración de la derecha. La coordenada compleja estándar ${\displaystyle z}$ en ${\displaystyle \mathbb {C} }$ produce una 1-forma ${\displaystyle \omega =dz}$ en ${\displaystyle X}$ que es holomorfa en todas partes, es decir, no tiene polos en absoluto. Por tanto, ${\displaystyle K}$, el divisor de ${\displaystyle \omega }$, es cero.

En esta superficie, esta sucesión es

1, 1, 2, 3, 4, 5 ... ;

y esto caracteriza el caso ${\displaystyle g=1}$. De hecho, para ${\displaystyle D=0}$, ${\displaystyle \ell (K-D)=\ell (0)=1}$, como se mencionó anteriormente. Para ${\displaystyle D=n\cdot P}$ con ${\displaystyle n>0}$, el grado de ${\displaystyle K-D}$ es estrictamente negativo, por lo que el término de corrección es 0. La sucesión de dimensiones también puede derivarse de la teoría de funciones elípticas.

Riemann–Roch para fibrados en rectas

Utilizando la estrecha correspondencia entre divisores y haces de vectores holomorfoss en una superficie de Riemann, el teorema también puede enunciarse de una forma diferente pero equivalente: sea L un fibrado en rectas holomorfo sobre X. Sea ${\displaystyle H^{0}(X,L)}$ el espacio de secciones holomorfas de L. Este espacio será de dimensión finita, y su dimensión se denota como ${\displaystyle h^{0}(X,L)}$. Sea K el haz canónico sobre X. Entonces, el teorema de Riemann–Roch establece que

${\displaystyle h^{0}(X,L)-h^{0}(X,L^{-1}\otimes K)=\deg(L)+1-g}$.

El teorema de la sección anterior es el caso particular en el que L es un haz de puntos.

El teorema puede aplicarse para demostrar que existen g secciones holomorfas linealmente independientes de K, o 1-formas sobre X, de la siguiente manera. Tomando L como el fibrado trivial, ${\displaystyle h^{0}(X,L)=1}$, dado que las únicas funciones holomorfas sobre X son las constantes. El grado de L es cero, y ${\displaystyle L^{-1}}$ es el fibrado trivial. Por tanto,

${\displaystyle 1-h^{0}(X,K)=1-g}$.

En consecuencia, ${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$, lo que demuestra que existen g formas holomorfas de grado uno.

Grado del fibrado canónico

Dado que el fibrado canónico ${\displaystyle K}$ tiene ${\displaystyle h^{0}(X,K)=g}$, al aplicar Riemann–Roch a ${\displaystyle L=K}$ se obtiene

${\displaystyle h^{0}(X,K)-h^{0}(X,K^{-1}\otimes K)=\deg(K)+1-g}$

que puede reescribirse como

${\displaystyle g-1=\deg(K)+1-g}$

por tanto, el grado del haz canónico es ${\displaystyle \deg(K)=2g-2}$.

Teorema de Riemann-Roch para curvas algebraicas

Cada elemento de la formulación anterior del teorema de Riemann-Roch para divisores en superficies de Riemann tiene un análogo en geometría algebraica. El análogo de una superficie de Riemann es una curva algebraica C no singular sobre un cuerpo k. La diferencia de terminología (curva frente a superficie) se debe a que la dimensión de una superficie de Riemann como variedad real es dos, pero es uno como variedad compleja. La compacidad de una superficie de Riemann tiene su equivalente en la condición de que la curva algebraica sea completa, lo cual es equivalente a ser proyectiva. Sobre un cuerpo general k, no existe una noción adecuada de (co)homología singular. El llamado genus geométrico se define como

${\displaystyle g(C):=\dim _{k}\Gamma (C,\Omega _{C}^{1})}$

es decir, como la dimensión del espacio de 1-formas (algebraicas) definidas globalmente (véase diferencial de Kähler). Por último, las funciones meromorfas en una superficie de Riemann se representan localmente como cocientes de funciones holomorfas. Por tanto, se sustituyen por funciones racionales, que son localmente cocientes de funciones regulares. Así, si se denota por ${\displaystyle \ell (D)}$ la dimensión (sobre k) del espacio de funciones racionales en la curva cuyos polos en cada punto no superan el orden del coeficiente correspondiente en D, se cumple exactamente la misma fórmula anterior:

${\displaystyle \ell (D)-\ell (K-D)=\deg(D)-g+1}$.

donde C es una curva algebraica proyectiva no singular sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k. De hecho, la misma fórmula es válida para curvas proyectivas sobre cualquier cuerpo, salvo que el grado de un divisor debe tener en cuenta multiplicidades derivadas de las posibles extensiones del cuerpo base y los cuerpos residuales de los puntos que soportan el divisor.^[4] Finalmente, para una curva propia sobre un anillo artiniano, la característica de Euler del haz de rectas asociado a un divisor viene dada por el grado del divisor (definido adecuadamente) más la característica de Euler del haz estructural ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$.^[5]

También se puede relajar la hipótesis de suavidad en el teorema: para una curva (proyectiva) sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, cuyos anillos locales son todos anillos de Gorenstein, se cumple el mismo enunciado anterior, siempre que el género geométrico definido anteriormente se sustituya por el genus aritmético g_a, definido como

${\displaystyle g_{a}:=\dim _{k}H^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C})}$.^[6]

(Para curvas suaves, el género geométrico coincide con el aritmético). El teorema también se ha extendido a curvas singulares generales (y a variedades de dimensión superior).^[7]

Polinomio de Hilbert

Una de las consecuencias importantes del teorema de Riemann-Roch es que proporciona una fórmula para calcular el polinomio de Hilbert de los haces de rectas sobre una curva. Si un haz de rectas ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ es amplio, entonces el polinomio de Hilbert proporcionará el grado ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\otimes n}}$ que permite una inmersión en el espacio proyectivo. Por ejemplo, el haz canónico ${\displaystyle \omega _{C}}$ tiene grado ${\displaystyle 2g-2}$, lo que da lugar a un haz de rectas amplio para el género ${\displaystyle g\geq 2}$.^[8] Si se fija ${\displaystyle \omega _{C}(n)=\omega _{C}^{\otimes n}}$, entonces la fórmula de Riemann-Roch se expresa como

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\omega _{C}(n))&=\deg(\omega _{C}^{\otimes n})-g+1\\&=n(2g-2)-g+1\\&=2ng-2n-g+1\\&=(2n-1)(g-1)\end{aligned}}}$

Dando el polinomio de Hilbert de grado ${\displaystyle 1}$ de ${\displaystyle \omega _{C}}$

${\displaystyle H_{\omega _{C}}(t)=2(g-1)t-g+1}$.

Dado que el haz tricanónico ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$ se utiliza para embeber la curva, el polinomio de Hilbert

${\displaystyle H_{C}(t)=H_{\omega _{C}^{\otimes 3}}(t)}$

se considera generalmente al construir el esquema de Hilbert de curvas (y la espacio de módulos de curvas algebraicas). Este polinomio es

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{C}(t)&=(6t-1)(g-1)\\&=6(g-1)t+(1-g)\end{aligned}}}$

y se denomina polinomio de Hilbert de una curva de género g.

Inmersión pluricanónica

Al analizar más a fondo esta ecuación, la característica de Euler se expresa como

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\omega _{C}^{\otimes n})&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\omega _{C}\otimes \left(\omega _{C}^{\otimes n}\right)^{\vee }\right)\\&=h^{0}\left(C,\omega _{C}^{\otimes n}\right)-h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)\end{aligned}}}$

Dado que ${\displaystyle \deg(\omega _{C}^{\otimes n})=n(2g-2)}$

${\displaystyle h^{0}\left(C,\left(\omega _{C}^{\otimes (n-1)}\right)^{\vee }\right)=0}$.

para ${\displaystyle n\geq 3}$, y puesto que su grado es negativo para todo ${\displaystyle g\geq 2}$ —lo que implica que no posee secciones globales—, existe una inmersión en cierto espacio proyectivo a partir de las secciones globales de ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes n}}$. En particular, ${\displaystyle \omega _{C}^{\otimes 3}}$ proporciona una inmersión en ${\displaystyle \mathbb {P} ^{N}\cong \mathbb {P} (H^{0}(C,\omega _{C}^{\otimes 3}))}$, donde ${\displaystyle N=5g-5-1=5g-6}$ dado que ${\displaystyle h^{0}(\omega _{C}^{\otimes 3})=6g-6-g+1}$. Esto resulta útil en la construcción del espacio de módulos de curvas algebraicas, ya que puede utilizarse como el espacio proyectivo para construir el esquema de Hilbert con polinomio de Hilbert ${\displaystyle H_{C}(t)}$.^[9]

Género de curvas planas con singularidades

Una curva algebraica plana irreducible de grado d tiene (d − 1)(d − 2)/2 − g singularidades, contadas adecuadamente. De ello se deduce que, si una curva tiene (d − 1)(d − 2)/2 singularidades distintas, es una curva algebraica y, por tanto, admite una parametrización racional.

Fórmula de Riemann-Hurwitz

La fórmula de Riemann-Hurwitz relativa a las aplicaciones (ramificadas) entre superficies de Riemann o curvas algebraicas es una consecuencia del teorema de Riemann-Roch.

Teorema de Clifford sobre divisores especiales

El teorema de Clifford sobre divisores especiales es también una consecuencia del teorema de Riemann-Roch. Establece que, para un divisor especial (es decir, tal que ${\displaystyle \ell (K-D)>0}$) que satisface ${\displaystyle \ell (D)>0}$, se cumple la siguiente desigualdad:^[10]

${\displaystyle \ell (D)\leq {\frac {\deg D}{2}}+1}$.

Demostración para curvas algebraicas

El enunciado para curvas algebraicas puede demostrarse utilizando la dualidad de Serre. El entero ${\displaystyle \ell (D)}$ es la dimensión del espacio de secciones globales del haz de rectas ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$ asociado a D (véase divisor de Cartier). En términos de cohomología de haces, se tiene por tanto que ${\displaystyle \ell (D)=\mathrm {dim} H^{0}(X,{\mathcal {L}}(D))}$ y, del mismo modo, ${\displaystyle \ell ({\mathcal {K}}_{X}-D)=\dim H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$. Sin embargo, la dualidad de Serre para variedades proyectivas no singulares, en el caso particular de una curva, establece que ${\displaystyle H^{0}(X,\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}(D)^{\vee })}$ es isomorfo al dual ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}}(D))^{\vee }}$. El miembro de la izquierda es, pues, igual a la característica de Euler del divisor D. Cuando D = 0, resulta que la característica de Euler del haz estructural es ${\displaystyle 1-g}$ por definición. Para demostrar el teorema para un divisor general, se puede proceder añadiendo puntos uno a uno al divisor y asegurando que la característica de Euler se transforme de acuerdo con el miembro de la derecha.

Demostración para superficies de Riemann compactas

El teorema para superficies de Riemann compactas puede deducirse de la versión algebraica utilizando el teorema de Chow y el principio GAGA: de hecho, toda superficie de Riemann compacta viene definida por ecuaciones algebraicas en algún espacio proyectivo complejo. El teorema de Chow afirma que toda subvariedad analítica cerrada de un espacio proyectivo está definida por ecuaciones algebraicas, y el principio GAGA establece que la cohomología de haces de una variedad algebraica es la misma que la cohomología de haces de la variedad analítica definida por las mismas ecuaciones.

Es posible evitar el uso del teorema de Chow razonando de manera idéntica a la demostración para el caso de curvas algebraicas, pero sustituyendo ${\displaystyle {\mathcal {L}}(D)}$ por el haz ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D}}$ de funciones meromorfas h tales que todos los coeficientes del divisor ${\displaystyle (h)+D}$ sean no negativos. Aquí, el hecho de que la característica de Euler se transforme de la manera deseada al añadir un punto al divisor puede deducirse de la sucesión exacta larga inducida por la sucesión exacta corta

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{D}\to {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}\to 0}$

donde ${\displaystyle \mathbb {C} _{P}}$ es el haz en P, y la aplicación ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{D+P}\to \mathbb {C} _{P}}$ devuelve el ${\displaystyle -k-1}$-ésimo coeficiente de Laurent, donde ${\displaystyle k=D(P)}$.^[11]