Fórmula de Cauchy para la integración repetida

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Sea f0 una función continua en la recta real. Entonces, la n-ésima integral iterativa de f con punto de base a, $${\displaystyle f^{(-n)}(x)=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n-1}}f(\sigma _{n})\,\mathrm {d} \sigma _{n}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1},}$$ viene dada por una integración simple $${\displaystyle f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.}$$

La demostración se realiza mediante inducción. El caso base con n = 1 es trivial, ya que es equivalente a $${\displaystyle f^{(-1)}(x)={\frac {1}{0!}}\int _{a}^{x}{(x-t)^{0}}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{x}f(t)\,\mathrm {d} t.}$$

Ahora, supongamos que esto es cierto para n, y demostremos que lo es para n + 1. En primer lugar, utilizando la regla de integración de Leibniz, observamos que $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.}$$ A continuación, aplicando la hipótesis de inducción, $${\displaystyle {\begin{aligned}f^{-(n+1)}(x)&=\int _{a}^{x}\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}\left[\int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}.\end{aligned}}}$$ Obsérvese que el término entre corchetes contiene n integraciones sucesivas, y que el límite superior de la integral más externa dentro de los corchetes es ${\displaystyle \sigma _{1}}$. Por lo tanto, comparando con el caso para «n» = «n» y sustituyendo ${\displaystyle x,\sigma _{1},\cdots ,\sigma _{n}}$ de la fórmula en el paso de inducción «n» = «n» por ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\cdots ,\sigma _{n+1}}$ respectivamente, se obtiene $${\displaystyle \int _{a}^{\sigma _{1}}\cdots \int _{a}^{\sigma _{n}}f(\sigma _{n+1})\,\mathrm {d} \sigma _{n+1}\cdots \,\mathrm {d} \sigma _{2}={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}(\sigma _{1}-t)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.}$$ Al colocar esta expresión dentro del corchete se obtiene $${\displaystyle {\begin{aligned}&=\int _{a}^{x}{\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}(\sigma _{1}-t)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&=\int _{a}^{x}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \sigma _{1}}}\left[{\frac {1}{n!}}\int _{a}^{\sigma _{1}}(\sigma _{1}-t)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t\right]\,\mathrm {d} \sigma _{1}\\&={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f(t)\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$$

• Se ha demostrado que esta afirmación es cierta para el caso base ${\displaystyle n=1}$.
• Si la afirmación es verdadera para ${\displaystyle n=k}$, entonces se ha demostrado que la afirmación es verdadera para ${\displaystyle n=k+1}$.
• Por lo tanto, se ha demostrado que esta afirmación es verdadera para todos los números enteros positivos.

Con esto se completa la demostración.