Integral de Riemann-Liouville

La integral de Riemann-Liouville tiene su origen en la fórmula de Cauchy para la integración repetida. Para una función f continua en el intervalo [a,x], la fórmula de Cauchy para la integración repetida n veces establece que

$${\displaystyle I^{n}f(x)=f^{(-n)}(x)={\frac {1}{(n-1)!}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f(t)\,\mathrm {d} t.}$$

Ahora bien, esta fórmula puede generalizarse a cualquier número real positivo sustituyendo el entero positivo n por α, Por lo tanto, obtenemos la definición de la integral fraccionaria de Riemann-Liouville mediante

${\displaystyle I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}\left(x-t\right)^{\alpha -1}f(t)\,\mathrm {d} t}$

Summarize Timeline Fact Check

La integral de Riemann-Liouville se define como

${\displaystyle I^{\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}(x-t)^{\alpha -1}f(t)\,dt}$

donde Γ es la función gamma y a es un punto base arbitrario pero fijo. La integral está bien definida siempre que f sea una función localmente integrable y α sea un número complejo en el semiplano Re(α) > 0. La dependencia del punto de base a a menudo se omite, y representa una libertad en la constante de integración. Claramente I¹ f es una antiderivada de f (de primer orden), y para valores enteros positivos de α, I^α f es una antiderivada de orden α por fórmula de Cauchy para la integración repetida. Otra notación, que enfatiza el punto base, es^[6]

${\displaystyle {}_{a}D_{x}^{-\alpha }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\alpha )}}\int _{a}^{x}(x-t)^{\alpha -1}f(t)\,dt.}$

Esto también tiene sentido si a −∞, con restricciones adecuadas sobre f.

Se cumplen las relaciones fundamentales

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}I^{\alpha +1}f(x)=I^{\alpha }f(x),\quad I^{\alpha }(I^{\beta }f)=I^{\alpha +\beta }f,}$

esta última es una propiedad de los semigrupos.^[1] Estas propiedades permiten no solo definir la integración fraccionaria, sino también la derivación fraccionaria, tomando un número suficiente de derivadas de I^α f.

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

Fijemos un intervalo acotado (a,b). El operador I^α asocia a cada función integrable f en (a,b}} la función I^α f en (a,b), que también es integrable por teorema de Fubini. Así, I^α define un operador lineal en L¹(a,b):

${\displaystyle I^{\alpha }:L^{1}(a,b)\to L^{1}(a,b).}$

El teorema de Fubini también muestra que este operador es continuo con respecto a la estructura de espacio de Banach en L¹, y que se cumple la siguiente desigualdad:

${\displaystyle \left\|I^{\alpha }f\right\|_{1}\leq {\frac {|b-a|^{\Re (\alpha )}}{\Re (\alpha )|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{1}.}$

Aquí ‖ · ‖₁ denota la norma en L¹(a,b).

En términos más generales, por la desigualdad de Hölder, se deduce que si {{math|f ∈ L^p (a, b), entonces I^α f ∈ L^p(a, b) también, y se cumple la desigualdad análoga

${\displaystyle \left\|I^{\alpha }f\right\|_{p}\leq {\frac {|b-a|^{\Re (\alpha )/p}}{\Re (\alpha )|\Gamma (\alpha )|}}\|f\|_{p}}$

donde ‖ · ‖_p es la norma L^p en el intervalo (a,b). Por lo tanto, tenemos un operador lineal acotado I^α : L^p(a, b) → L^p(a, b). Además, I^α f → f en el sentido de L^p cuando α → 0 a lo largo del eje real. Es decir

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}\|I^{\alpha }f-f\|_{p}=0}$

para todo p ≥ 1. Además, estimando la función máxima de I, se puede demostrar que el límite I ^α f → f se cumple puntualmente casi en todas partes.

El operador I^α está bien definido en el conjunto de funciones localmente integrables en toda la recta real ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Define una transformación acotada en cualquiera de los espacios de Banach de funciones de tipo exponencial ${\displaystyle X_{\sigma }=L^{1}(e^{-\sigma |t|}dt),}$ constituido por funciones localmente integrables para las que la norma

${\displaystyle \|f\|=\int _{-\infty }^{\infty }|f(t)|e^{-\sigma |t|}\,dt}$

es finita. Para f ∈ X_σ, la transformada de Laplace de I^α f toma la forma particularmente simple

${\displaystyle ({\mathcal {L}}I^{\alpha }f)(s)=s^{-\alpha }F(s)}$

para Re(s) > σ. Aquí F(s) denota la transformada de Laplace de f, y esta propiedad expresa que “ I^α es un multiplicador de Fourier.

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

También se pueden definir las derivadas de orden fraccionario de f mediante

${\displaystyle {\frac {d^{\alpha }}{dx^{\alpha }}}f\,{\overset {\text{def}}{=}}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f}$

donde ⌈ · ⌉ denota la función techo. También se obtiene una diferintegral que interpola entre la derivación y la integración definiendo

${\displaystyle D_{x}^{\alpha }f(x)={\begin{cases}{\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }f(x)&\alpha >0\\f(x)&\alpha =0\\I^{-\alpha }f(x)&\alpha <0.\end{cases}}}$

Caputo introdujo una derivada fraccionaria alternativa en 1967,^[7] que produce una derivada con propiedades diferentes: produce cero a partir de funciones constantes y, lo que es más importante, los términos del valor inicial de la transformada de Laplace se expresan mediante los valores de esa función y de su derivada de orden entero, en lugar de las derivadas de orden fraccionario como en la derivada de Riemann–Liouville.^[8] La derivada fraccionaria de Caputo con punto base x es, entonces:

${\displaystyle D_{x}^{\alpha }f(y)={\frac {1}{\Gamma (1-\alpha )}}\int _{x}^{y}(u-x)^{-\alpha }f'(y-u)du.}$

Otra representación es:

${\displaystyle {}_{a}{\tilde {D}}_{x}^{\alpha }f(x)=I^{\lceil \alpha \rceil -\alpha }\left({\frac {d^{\lceil \alpha \rceil }f}{dx^{\lceil \alpha \rceil }}}\right).}$