Regla de integración de Leibniz

El enunciado del teorema matemático es el siguiente: Sea ${\displaystyle f(x,t)}$ una función tal que tanto ${\displaystyle f(x,t)}$ como su derivada parcial ${\displaystyle f_{x}(x,t)}$ sean continuas en ${\displaystyle t}$ y ${\displaystyle x}$ en alguna región del ${\displaystyle xt}$ , incluyendo ${\displaystyle a(x)\leq t\leq b(x),}$ ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}.}$ Supongamos también que las funciones ${\displaystyle a(x)}$ y ${\displaystyle b(x)}$ son ambas continuas y ambas tienen derivadas continuas para ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1}.}$ Entonces, para ${\displaystyle x_{0}\leq x\leq x_{1},}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt\right)=f{\big (}x,b(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}b(x)-f{\big (}x,a(x){\big )}\cdot {\frac {d}{dx}}a(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\,dt.}$$ El lado derecho también puede escribirse utilizando la notación de Lagrange como: ${\textstyle f(x,b(x))\,b^{\prime }(x)-f(x,a(x))\,a^{\prime }(x)+\displaystyle \int _{a(x)}^{b(x)}f_{x}(x,t)\,dt.}$

Las versiones más generales del teorema solo exigen que la derivada parcial exista en todas partes, y no que sea continua.^[2] Esta fórmula es la forma general de la regla integral de Leibniz y puede deducirse utilizando el teorema fundamental del cálculo. El (primer) teorema fundamental del cálculo es simplemente el caso particular de la fórmula anterior en el que ${\displaystyle a(x)=a\in \mathbb {R} }$ es constante, ${\displaystyle b(x)=x,}$ y ${\displaystyle f(x,t)=f(t)}$ no depende de ${\displaystyle x.}$

Si se toman como constantes tanto el límite superior como el inferior, la fórmula adopta la forma de una ecuación de operador: $${\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}\partial _{x}=\partial _{x}{\mathcal {I}}_{t}}$$ donde ${\displaystyle \partial _{x}}$ es la derivada parcial con respecto a ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle {\mathcal {I}}_{t}}$ es el operador integral con respecto a ${\displaystyle t}$ sobre un intervalo fijo. Es decir, está relacionada con la simetría de las derivadas segundas, pero implica integrales además de derivadas. Este caso también se conoce como la regla de integración de Leibniz.

Los tres teoremas básicos siguientes sobre la intercambiabilidad de los límites son esencialmente equivalentes:

• el intercambio de una derivada y una integral (derivación bajo el signo integral; es decir, la regla integral de Leibniz);
• el cambio de orden de las derivadas parciales;
• el cambio de orden de la integración (integración bajo el signo integral; es decir, el teorema de Fubini).

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Una regla de integración de Leibniz para una superficie bidimensional que se mueve en el espacio tridimensional es^[3][4][5]

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}\left(\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left[\nabla \cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\mathbf {v} \right)\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left[\mathbf {v} \times \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right]\cdot d\mathbf {s} ,}$$

donde:

• F(r, t) es un campo vectorial en la posición espacial r en el instante t,
• F_t (r, t) es la derivada temporal parcial del campo vectorial,
• Σ es una superficie delimitada por la curva cerrada ∂Σ,
• dA es un elemento vectorial de la superficie Σ,
• ds es un elemento vectorial de la curva ∂Σ,
• v es la velocidad de movimiento de la región Σ,
• ∇⋅ es la divergencia vectorial,
• × es el producto vectorial,
• Las integrales dobles son integrales de superficie sobre la superficie Σ, y la integral de línea es sobre la curva delimitadora ∂Σ.

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La regla de integración de Leibniz puede extenderse a integrales multidimensionales. En dos y tres dimensiones, esta regla es más conocida en el campo de la dinámica de fluidos como el teorema del transporte de Reynolds: $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\,dV=\int _{D(t)}{\frac {\partial }{\partial t}}F(\mathbf {x} ,t)\,dV+\int _{\partial D(t)}F(\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} _{b}\cdot d\mathbf {\Sigma } ,}$$

donde ${\displaystyle F(\mathbf {x} ,t)}$ es una función escalar, D(t) y ∂D(t) denotan una región conectada que varía en el tiempo de R³ y su frontera, respectivamente, ${\displaystyle \mathbf {v} _{b}}$ es la velocidad euleriana del contorno (véase Especificación lagrangiana y euleriana del campo de flujo) y dΣ = n dS es la componente normal unitaria del elemento de superficie.

La formulación general de la regla de integración de Leibniz requiere conceptos de geometría diferencial, concretamente formas diferenciales, derivadas exteriores, productos exteriores y productos interiores. Con esas herramientas, la regla de integración de Leibniz en n dimensiones es^[4] $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}i_{\mathbf {v} }(d_{x}\omega )+\int _{\partial \Omega (t)}i_{\mathbf {v} }\omega +\int _{\Omega (t)}{\dot {\omega }},}$$ donde Ω(t) es un dominio de integración que varía en el tiempo, ω es una forma p, ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {x} }{\partial t}}}$ es el campo vectorial de la velocidad, ${\displaystyle i_{\mathbf {v} }}$ denota el producto interior con ${\displaystyle \mathbf {v} }$, d_xω es la derivada exterior de ω con respecto únicamente a las variables espaciales y ${\displaystyle {\dot {\omega }}}$ es la derivada temporal de ω.

La fórmula anterior se puede deducir directamente del hecho de que la derivada de Lie interactúa bien con la integración de formas diferenciales $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega (t)}\omega =\int _{\Omega (t)}{\mathcal {L}}_{\Psi }\omega ,}$$ para la variedad espaciotemporal ${\displaystyle M=\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{3}}$, donde la derivada exterior en el espacio-tiempo de ${\displaystyle \omega }$ es ${\displaystyle d\omega =dt\wedge {\dot {\omega }}+d_{x}\omega }$ y la superficie ${\displaystyle \Omega (t)}$ tiene un campo de velocidad espaciotemporal ${\displaystyle \Psi ={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v} }$. Dado que ${\displaystyle \omega }$ solo tiene componentes espaciales, la derivada de Lie se puede simplificar utilizando fórmula mágica de Cartan, para obtener la $${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\Psi }\omega ={\mathcal {L}}_{\mathbf {v} }\omega +{\mathcal {L}}_{\frac {\partial }{\partial t}}\omega =i_{\mathbf {v} }d\omega +di_{\mathbf {v} }\omega +i_{\frac {\partial }{\partial t}}d\omega =i_{\mathbf {v} }d_{x}\omega +di_{\mathbf {v} }\omega +{\dot {\omega }}}$$ lo cual, tras integrar sobre ${\displaystyle \Omega (t)}$ y aplicar el teorema de Stokes generalizado al segundo término, se reduce a los tres términos deseados.

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Sea ${\displaystyle X}$ un subconjunto abierto de ${\displaystyle \mathbf {R} }$, y ${\displaystyle \Omega }$ un espacio de medida. Supongamos que ${\displaystyle f\colon X\times \Omega \to \mathbf {R} }$ satisface las siguientes condiciones:^[6][7][2]

1. ${\displaystyle f(x,\omega )}$ es una función integrable según Lebesgue de ${\displaystyle \omega }$ para cada ${\displaystyle x\in X}$.
2. Para casi todos los ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ , la derivada parcial ${\displaystyle f_{x}}$ existe para todo ${\displaystyle x\in X}$.
3. Existe una función integrable ${\displaystyle \theta \colon \Omega \to \mathbf {R} }$ tal que ${\displaystyle |f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )}$ para todo ${\displaystyle x\in X}$ y casi todo ${\displaystyle \omega \in \Omega }$.

Entonces, para todo ${\displaystyle x\in X}$, $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{\Omega }f(x,\omega )\,d\omega =\int _{\Omega }f_{x}(x,\omega )\,d\omega .}$$

La demostración se basa en el teorema de convergencia dominada y el teorema del valor medio (detalles a continuación).

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En primer lugar, demostramos el caso en el que los límites de integración a y b son constantes.

Utilizamos el teorema de Fubini para cambiar el orden de integración. Para todo x y h, tal que h > 0 y tanto x como x +h están dentro de x₀,x₁, tenemos: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx&=\int _{a}^{b}\int _{x}^{x+h}f_{x}(x,t)\,dx\,dt\\[2ex]&=\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt\\[2ex]&=\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt\end{aligned}}}$$

Obsérvese que las integrales en cuestión están bien definidas, ya que ${\displaystyle f_{x}(x,t)}$ es continua en el rectángulo cerrado ${\displaystyle [x_{0},x_{1}]\times [a,b]}$ y, por lo tanto, también es uniformemente continua allí; así, sus integrales con respecto a «dt» o «dx» son continuas en la otra variable y también integrables por ella (esencialmente, esto se debe a que, para funciones uniformemente continuas, se puede pasar el límite a través del signo de integración, como se explica a continuación).

Por lo tanto: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}&={\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx\\[2ex]&={\frac {F(x+h)-F(x)}{h}}\end{aligned}}}$$

Donde hemos definido: $${\displaystyle F(u):=\int _{x_{0}}^{u}\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt\,dx}$$ (podemos sustituir aquí x₀ por cualquier otro punto entre x₀ y x)

F es diferenciable con derivada ${\textstyle \int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$, por lo que podemos tomar el límite cuando h tiende a cero.

Para el lado izquierdo, este límite es: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}$$

Para el lado derecho, obtenemos: $${\displaystyle F'(x)=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$$ Y así demostramos el resultado deseado: $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt=\int _{a}^{b}f_{x}(x,t)\,dt}$$

Si las integrales en cuestión son integrales de Lebesgue, podemos utilizar el Teorema de la convergencia dominada (válido para estas integrales, pero no para las integrales de Riemann) con el fin de demostrar que el límite puede pasar por el signo de la integral.

Obsérvese que esta demostración es más débil en el sentido de que solo muestra que “'f_x”'(“'x”',“'t”') es integrable según Lebesgue, pero no que sea integrable según Riemann. En la primera demostración (más fuerte), si “'f”'(“'x”',“'t”') es integrable según Riemann, entonces también lo es f_x(x,t) (y, por lo tanto, obviamente también es integrable según Lebesgue).

Sea

$${\displaystyle u(x)=\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt.}$$

(1)

Por la definición de la derivada,

$${\displaystyle u'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {u(x+h)-u(x)}{h}}.}$$

(2)

Sustituye la ecuación (1) en la ecuación (2). La diferencia de dos integrales es igual a la integral de la diferencia, y 1/h es una constante, por lo que $${\displaystyle {\begin{aligned}u'(x)&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}f(x+h,t)\,dt-\int _{a}^{b}f(x,t)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\int _{a}^{b}\left(f(x+h,t)-f(x,t)\right)\,dt}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x+h,t)-f(x,t)}{h}}\,dt.\end{aligned}}}$$

Ahora demostraremos que el límite puede pasar por el signo de la integral.

Afirmamos que el paso del límite bajo el signo de la integral es válido por el teorema de convergencia acotada (un corolario del teorema de la convergencia dominada). Para cada δ > 0, consideremos el cociente de diferencia $${\displaystyle f_{\delta }(x,t)={\frac {f(x+\delta ,t)-f(x,t)}{\delta }}.}$$ Para un t fijo, el teorema del valor medio implica que existe un z en el intervalo [x, x + δ] tal que $${\displaystyle f_{\delta }(x,t)=f_{x}(z,t).}$$ La continuidad de f_x(x, t) y la compacidad del dominio implican conjuntamente que f_x(x, t) es acotada. Por lo tanto, la aplicación anterior del teorema del valor medio proporciona un límite uniforme (independiente de ${\displaystyle t}$) para ${\displaystyle f_{\delta }(x,t)}$. Los cocientes de diferencia convergen puntualmente a la derivada parcial f_x por la suposición de que la derivada parcial existe.

El argumento anterior muestra que, para toda secuencia {δ_n} → 0, la secuencia ${\displaystyle \{f_{\delta _{n}}(x,t)\}}$ está uniformemente acotada y converge punto por punto a f_x. El teorema de convergencia acotada establece que si una secuencia de funciones en un conjunto de medida finita es uniformemente acotada y converge punto por punto, entonces el paso del límite bajo el integral es válido. En particular, el límite y el integral pueden intercambiarse para toda secuencia {δ < sub > n < /sub >} → 0. Por lo tanto, el límite cuando δ → 0 puede pasar a través del signo integral.

Si, en cambio, solo sabemos que existe una función integrable ${\displaystyle \theta \colon \ Omega\to \mathbf {R} }$ tal que ${\displaystyle |f_{x}(x,\omega )|\leq \theta (\omega )}$, entonces ${\displaystyle |f_{\delta }(x,t)|=|f_{x}(z,t)|\leq \theta (\omega )}$ y el teorema de convergencia dominada nos permite trasladar el límite al interior de la integral.

Para una función continua de valor real g de una variable real, y funciones diferenciables de valor real ${\displaystyle f_{1}}$ y ${\displaystyle f_{2}}$ de una variable real, $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.}$$

Esto se deduce de la regla de la cadena y del Primer teorema fundamental del cálculo. Defina $${\displaystyle G(x)=\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt,}$$ y $${\displaystyle \Gamma (x)=\int _{0}^{x}g(t)\,dt.}$$ (El límite inferior solo tiene que ser algún número en el dominio de ${\displaystyle g}$)

Entonces, ${\displaystyle G(x)}$ se puede escribir como una composición: ${\displaystyle G(x)=(\Gamma \circ f_{2})(x)-(\Gamma \circ f_{1})(x)}$. La regla de la cadena implica entonces que $${\displaystyle G'(x)=\Gamma '\left(f_{2}(x)\right)f_{2}'(x)-\Gamma '\left(f_{1}(x)\right)f_{1}'(x).}$$ Por el primer teorema fundamental del cálculo, ${\displaystyle \Gamma '(x)=g(x)}$. Por lo tanto, sustituyendo este resultado en la ecuación anterior, obtenemos la ecuación deseada: $${\displaystyle G'(x)=g\left(f_{2}(x)\right){f_{2}'(x)}-g\left(f_{1}(x)\right){f_{1}'(x)}.}$$

Nota: Esta forma puede resultar especialmente útil si la expresión que se va a derivar tiene la forma: $${\displaystyle \int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)\,g(t)\,dt}$$ Dado que ${\displaystyle h(x)}$ no depende de los límites de integración, puede sacarse de debajo del signo de la integral, y la forma anterior puede utilizarse con la regla del producto, es decir, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}h(x)g(t)\,dt\right)&={\frac {d}{dx}}\left(h(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)\\&=h'(x)\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt+h(x){\frac {d}{dx}}\left(\int _{f_{1}(x)}^{f_{2}(x)}g(t)\,dt\right)\end{aligned}}}$$

Sea $${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,}$$ donde a y b son funciones de α que presentan incrementos Δa y Δb, respectivamente, cuando α se incrementa en Δα. Entonces, $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[4pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}$$

Una forma del teorema del valor medio, ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi )}$, donde a < ξ < b, puede aplicarse a la primera y última integrales de la fórmula para Δφ anterior, lo que da como resultado $${\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta af(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta bf(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).}$$

Dividimos por Δα y hacemos que Δα → 0. Observamos que ξ < sub > 1 < /sub > → a y ξ < sub > 2 < /sub > → b. Podemos pasar el límite a través del signo de la integral: $${\displaystyle \lim _{\Delta \alpha \to 0}\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx,}$$ de nuevo por el teorema de convergencia acotada. Esto da como resultado la forma general de la regla integral de Leibniz, $${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {db}{d\alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {da}{d\alpha }}.}$$

La forma general de la regla de integración de Leibniz con límites variables puede derivarse como consecuencia de la forma básica de la regla de integración de Leibniz, la regla de la cadena multivariable y el primer teorema fundamental del cálculo. Supongamos que ${\displaystyle f}$ está definida en un rectángulo en el plano ${\displaystyle x}$-${\displaystyle t}$, para todo ${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}],a(x),b(x)\in [t_{1},t_{2}]}$). Supongamos también que ${\displaystyle f}$ y la derivada parcial ${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}}$ son ambas funciones continuas en este rectángulo. Supongamos que ${\displaystyle a,b}$ son funciones de valor real diferenciables definidas en ${\displaystyle [x_{1},x_{2}]}$, con valores en ${\displaystyle [t_{1},t_{2}]}$ (es decir, para todo ${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}],a(x),b(x)\in [t_{1},t_{2}]}$). Ahora, sea $${\displaystyle F(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt,\qquad {\text{para}}~x\in [x_{1},x_{2}]~{\text{y}}~y\in [t_{1},t_{2}]}$$ y $${\displaystyle G(x)=\int _{a(x)}^{b(x)}f(x,t)\,dt,\quad {\text{para}}~x\in [x_{1},x_{2}]}$$

Entonces, por las propiedades de las integrales definidas, podemos escribir $${\displaystyle G(x)=\int _{t_{1}}^{b(x)}f(x,t)\,dt-\int _{t_{1}}^{a(x)}f(x,t)\,dt=F(x,b(x))-F(x,a(x))}$$

Dado que las funciones ${\displaystyle F,a,b}$ son todas diferenciables (véase la observación al final de la demostración), por la regla de la cadena multivariable, se deduce que ${\displaystyle G}$ es diferenciable, y su derivada viene dada por la fórmula: $${\displaystyle G'(x)=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,b(x))+{\frac {\partial F}{\partial b(x)}}(x,b(x))b'(x)\right)-\left({\frac {\partial F}{\partial x}}(x,a(x))+{\frac {\partial F}{\partial a(x)}}(x,a(x))a'(x)\right)}$$Ahora, obsérvese que para todo ${\displaystyle x\in [x_{1},x_{2}]}$, y para todo ${\displaystyle y\in [t_{1},t_{2}]}$, tenemos que ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$, porque al tomar la derivada parcial con respecto a ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle F}$, mantenemos ${\displaystyle y}$ fijos en la expresión ${\textstyle \int _{t_{1}}^{y}f(x,t)\,dt}$; por lo tanto, se aplica la forma básica de la regla integral de Leibniz con límites de integración constantes. A continuación, por el primer teorema fundamental del cálculo, tenemos que ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$; ya que al tomar la derivada parcial con respecto a ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle F}$, la primera variable ${\displaystyle x}$ es fija, por lo que el primer teorema fundamental puede aplicarse efectivamente.

Sustituyendo estos resultados en la ecuación anterior ${\displaystyle G'(x)}$ se obtiene: $${\displaystyle {\begin{aligned}G'(x)&=\left(\int _{t_{1}}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,b(x))b'(x)\right)-\left(\int _{t_{1}}^{a(x)}{\dfrac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt+f(x,a(x))a'(x)\right)\\[2pt]&=f(x,b(x))b'(x)-f(x,a(x))a'(x)+\int _{a(x)}^{b(x)}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt,\end{aligned}}}$$ tal y como se deseaba.

Hay un aspecto técnico en la demostración anterior que merece la pena señalar: aplicar la regla de la cadena a ${\displaystyle G}$ requiere que ${\displaystyle F}$ ya sea diferenciable. Aquí es donde utilizamos nuestras suposiciones sobre ${\displaystyle f}$. Como se ha mencionado anteriormente, las derivadas parciales de ${\displaystyle F}$ vienen dadas por las fórmulas ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=\int _{t_{1}}^{y}{\frac {\partial f}{\partial x}}(x,t)\,dt}$ y ${\textstyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=f(x,y)}$. Dado que ${\textstyle {\dfrac {\partial f}{\partial x}}}$ es continua, su integral también es una función continua,^[8] y dado que ${\displaystyle f}$ también es continua, estos dos resultados muestran que ambas derivadas parciales de ${\displaystyle F}$ son continuas. Dado que la continuidad de las derivadas parciales implica la diferenciabilidad de la función,^[9] ${\displaystyle F}$ es, efectivamente, diferenciable.

En el instante t, la superficie Σ de la Figura 1 contiene un conjunto de puntos dispuestos alrededor de un centro de gravedad ${\displaystyle \mathbf {C} (t)}$. La función ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)}$ puede escribirse como $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {r} -\mathbf {C} (t),t)=\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),}$$ donde ${\displaystyle \mathbf {I} }$ es independiente del tiempo. Las variables se trasladan a un nuevo sistema de referencia asociado a la superficie en movimiento, con origen en ${\displaystyle \mathbf {C} (t)}$. Para una superficie en traslación rígida, los límites de integración son entonces independientes del tiempo, por lo que: $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}d\mathbf {A} _{\mathbf {r} }\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\right)=\iint _{\ }Sigmad\mathbf {A} _{\mathbf {I} }\cdot {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t),}$$ donde los límites de integración que confinan la integral a la región Σ ya no dependen del tiempo, por lo que la derivación pasa a través de la integración para actuar únicamente sobre el integrando: $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {F} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)+\mathbf {v\cdot \ nablaF} (\mathbf {C} (t)+\mathbf {I} ,t)=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {F} (\mathbf {r} ,t),}$$ donde la velocidad de movimiento de la superficie viene definida por $${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d}{dt}}\mathbf {C} (t).}$$

Esta ecuación expresa la derivada material del campo, es decir, la derivada con respecto a un sistema de coordenadas asociado a la superficie en movimiento. Una vez hallada la derivada, las variables pueden volver a expresarse en el sistema de referencia original. Observamos que (véase artículo sobre el rotacional) $${\displaystyle \nabla \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)=(\nabla \cdot \mathbf {F} +\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {F} ,}$$ y que el teorema de Stokes equipara la integral de superficie del rotacional sobre Σ con una integral de línea sobre ∂Σ: $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} \right)=\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\mathbf {F\cdot \nabla } \right)\mathbf {v} +\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} -(\nabla \cdot \mathbf {v} )\mathbf {F} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot d\mathbf {s} .}$$

El signo de la integral de línea se basa en la regla de la mano derecha para la elección de la dirección del elemento de línea ds. Para establecer este signo, por ejemplo, supongamos que el campo F apunta en la dirección positiva z y que la superficie Σ es una porción del plano xy con perímetro ∂Σ. Adoptamos la normal a Σ en la dirección positiva z. El recorrido positivo de ∂Σ es entonces en sentido antihorario (regla de la mano derecha con el pulgar a lo largo del eje z). Entonces, la integral en el lado izquierdo determina un flujo positivo de F a través de Σ. Supongamos que Σ se desplaza en la dirección positiva del eje x a una velocidad v. Un elemento del contorno de Σ paralelo al eje «y», digamos «d»s, recorre un área «v»t × ds en el tiempo «t». Si integramos alrededor del contorno ∂Σ en sentido antihorario, vt × ds apunta en la dirección negativa del eje z en el lado izquierdo de ∂Σ (donde «d»'s» apunta hacia abajo), y en la dirección positiva del eje «z» en el lado derecho de ∂Σ (donde «d»'s» apunta hacia arriba), lo cual tiene sentido porque Σ se mueve hacia la derecha, sumando área a la derecha y perdiéndola a la izquierda. Sobre esa base, el flujo de F aumenta a la derecha de ∂Σ y disminuye a la izquierda. Sin embargo, el producto escalar v × F ⋅ d's = −F × v⋅ ds = −F ⋅ v × ds. Por consiguiente, el signo de la integral de línea se toma como negativo.

Si v es una constante, $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma (t)}\mathbf {F} (\mathbf {r} ,t)\cdot d\mathbf {A} =\iint _{\Sigma (t)}{\big (}\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} ,t)+\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\mathbf {v} {\big )}\cdot d\mathbf {A} -\oint _{\partial \Sigma (t)}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {s} ,}$$ que es el resultado citado. Esta demostración no tiene en cuenta la posibilidad de que la superficie se deforme mientras se mueve.

Lema. Se tiene que: $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=f(b),\qquad {\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)=-f(a).}$$

Demostración. A partir de la demostración del teorema fundamental del cálculo,

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\int _{b}^{b+\Delta b}f(x)\,dx\\[1ex]&=\lim _{\Delta b\to 0}{\frac {1}{\Delta b}}\left[f(b)\Delta b+O\left(\Delta b^{2}\right)\right]\\[1ex]&=f(b),\end{aligned}}}$$ y $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial a}}\left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[\int _{a+\Delta a}^{b}f(x)\,dx-\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right]\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\int _{a+\Delta a}^{a}f(x)\,dx\\[6pt]&=\lim _{\Delta a\to 0}{\frac {1}{\Delta a}}\left[-f(a)\Delta a+O\left(\Delta a^{2}\right)\right]\\[6pt]&=-f(a).\end{aligned}}}$$

Supongamos que a y b son constantes, y que f(x) incluye un parámetro α que es constante en la integración pero que puede variar para formar diferentes integrales. Supongamos que f(x, α) es una función continua de “'x”' y “'α”' en el conjunto compacto {(“'x”', “'α”') : “'α”'₀ ≤ “'α”' ≤ “'α”'₁ y “'a”' ≤ “'x”' ≤ “'b”'}, y que la derivada parcial f_α(x, α) existe y es continua. Si se define: $${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx,}$$ entonces ${\displaystyle \varphi }$ puede derivarse con respecto a “'α”' derivando bajo el signo integral, es decir, $${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.}$$

Por el teorema de Heine-Cantor, es uniformemente continua en ese conjunto. En otras palabras, para cualquier «ε» > 0 existe Δ«α» tal que, para todos los valores de «x» en [«a», «b»], $${\displaystyle |f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )|<\varepsilon .}$$

Por otra parte, $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a}^{b}\left(f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )\right)\,dx\\[6pt]&\leq \varepsilon (b-a).\end{aligned}}}$$

Por lo tanto, φ(α) es una función continua.

De manera similar, si ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )}$ existe y es continua, entonces para todo ε > 0 existe Δα tal que: $${\displaystyle \forall x\in [a,b],\quad \left|{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}-{\frac {\partial f}{\partial \alpha }}\right|<\varepsilon .}$$

Por lo tanto, $${\displaystyle {\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )}{\Delta \alpha }}\,dx=\int _{a}^{b}{\frac {\partial f(x,\alpha )}{\partial \alpha }}\,dx+R,}$$ donde $${\displaystyle |R|<\int _{a}^{b}\varepsilon \,dx=\varepsilon (b-a).}$$

Ahora bien, ε → 0 cuando Δα → 0, por lo que $${\displaystyle \lim _{{\Delta \alpha }\to 0}{\frac {\Delta \varphi }{\Delta \alpha }}={\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx.}$$

Esta es la fórmula que nos propusimos demostrar.

Ahora, supongamos que $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx=\varphi (\alpha ),}$$ donde «a» y «b» son funciones de «α» que varían en incrementos Δ«a» y Δ«b», respectivamente, cuando «α» aumenta en Δ«α». Entonces, $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \varphi &=\varphi (\alpha +\Delta \alpha )-\varphi (\alpha )\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=\int _{a+\Delta a}^{a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx-\int _{a}^{b}f(x,\alpha )\,dx\\[6pt]&=-\int _{a}^{a+\Delta a}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\int _{b}^{b+\Delta b}f(x,\alpha +\Delta \alpha )\,dx.\end{aligned}}}$$

Una forma del teorema del valor medio, ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=(b-a)f(\xi ),}$ donde a < “'ξ”' < b, puede aplicarse a la primera y última integrales de la fórmula para Δφ anterior, lo que da como resultado $${\displaystyle \Delta \varphi =-\Delta a\,f(\xi _{1},\alpha +\Delta \alpha )+\int _{a}^{b}[f(x,\alpha +\Delta \alpha )-f(x,\alpha )]\,dx+\Delta b\,f(\xi _{2},\alpha +\Delta \alpha ).}$$

Dividiendo por Δα, dejando que Δα → 0, observando que ξ₁ → a y ξ₂ → b y utilizando la derivación anterior para $${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx}$$ se obtiene $${\displaystyle {\frac {d\varphi }{d\alpha }}=\int _{a}^{b}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}f(x,\alpha )\,dx+f(b,\alpha ){\frac {\partial b}{\partial \alpha }}-f(a,\alpha ){\frac {\partial a}{\partial \alpha }}.}$$

Esta es la forma general de la regla de integración de Leibniz.

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Consideremos la función

${\displaystyle \varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\,dx.}$

La función que aparece bajo el signo de la integral no es continua en el punto ${\displaystyle (x,\alpha )=(0,0)}$, y la función ${\displaystyle \varphi (\alpha )}$ presenta una discontinuidad en ${\displaystyle \alpha =0}$ porque ${\displaystyle \varphi (\alpha )}$ tiende a ${\displaystyle \pm \pi /2}$ cuando ${\displaystyle \alpha \to 0^{\pm }}$.

Si derivamos ${\displaystyle \varphi (\alpha )}$ con respecto a ${\displaystyle \alpha }$ bajo el signo de la integral, obtenemos $${\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}\varphi (\alpha )=\int _{0}^{1}{\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\alpha }{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right)\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}-\alpha ^{2}}{(x^{2}+\alpha ^{2})^{2}}}dx=\left.-{\frac {x}{x^{2}+\alpha ^{2}}}\right|_{0}^{1}=-{\frac {1}{1+\alpha ^{2}}},}$$ para ${\displaystyle \alpha \neq 0}$. Esto se puede integrar (con respecto a ${\displaystyle \alpha }$) para hallar $${\displaystyle \varphi (\alpha )={\begin{cases}0,&\alpha =0,\\-\arctan({\alpha })+{\frac {\pi }{2}},&\alpha \neq 0.\end{cases}}}$$

Un ejemplo con límites variables: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\int _{\sin x}^{\cos x}\cosh t^{2}\,dt&=\cosh \left(\cos ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\cos x)-\cosh \left(\sin ^{2}x\right){\frac {d}{dx}}(\sin x)+\int _{\sin x}^{\cos x}{\frac {\partial }{\partial x}}(\cosh t^{2})\,dt\\[6pt]&=\cosh(\cos ^{2}x)(-\sin x)-\cosh(\sin ^{2}x)(\cos x)+0\\[6pt]&=-\cosh(\cos ^{2}x)\sin x-\cosh(\sin ^{2}x)\cos x.\end{aligned}}}$$