Fórmula de traza de Selberg

Entre los casos de particular interés se incluyen aquellos en los que el espacio es una superficie de Riemann S. La publicación inicial en 1956 de Atle Selberg trató este caso, su operador laplaciano y sus potencias. Las trazas de las potencias de un laplaciano pueden usarse para definir la función zeta de Selberg. El interés en este caso radicaba en la analogía entre la fórmula obtenida y las fórmulas explícitas de la teoría de números primos. Aquí, las geodésicas cerradas en S desempeñan el papel de números primos.

Al mismo tiempo, el interés en las trazas de los operadores de Hecke se vinculó con la fórmula de traza de Eichler-Selberg, de Selberg y Martin Eichler, para un operador de Hecke que actúa sobre un espacio vectorial de forma de cúspide de un peso dado, para un subgrupo de congruencia dado del grupo modular. Aquí, la traza del operador identidad es la dimensión del espacio vectorial, es decir, la dimensión del espacio de formas modulares de un tipo dado: una magnitud tradicionalmente calculada mediante el teorema de Riemann-Roch.

La fórmula de traza tiene aplicaciones en geometría aritmética, teoría analítica de números, geometría espectral y la teoría de forma automórfica. En el caso de superficies hiperbólicas, traduce información sobre el espectro del operador de Laplace-Beltrami en información geométrica sobre geodésicas cerradas, y viceversa.^[1][2][3]

Mediante la elección adecuada de la función de prueba, la fórmula de traza proporciona información asintótica sobre los autovalores del laplaciano, incluyendo la asintótica de tipo Weyl. Para superficies hiperbólicas compactas, también demuestra que el espectro de Laplace determina el espectro de longitudes de geodésicas cerradas, por lo que las longitudes de geodésicas cerradas primitivas son invariantes espectrales.^[1][2][3]

La analogía entre la fórmula de la traza de Selberg y las fórmulas explícitas de la teoría de números primos conduce al teorema de la geodésica prima, que cuenta geodésicas cerradas primitivas, o equivalentemente clases de conjugación hiperbólicas primitivas, por longitud o norma. La fórmula de la traza y la función zeta de Selberg son herramientas estándar en la demostración de este teorema y en refinamientos de su término de error.^[4][5][6]

Para los subgrupos de congruencia, se utilizan fórmulas de traza para estudiar formas automorfas y trazas del operador de Hecke. En el contexto clásico, esto incluye la fórmula de traza de Eichler-Selberg, que proporciona fórmulas para trazas de operadores de Hecke en espacios con forma de cúspide y, en casos particulares, fórmulas de dimensión para espacios de formas modulares. De forma más general, la fórmula de traza es una de las herramientas básicas en la teoría espectral de formas automorfas y en la teoría analítica de números.^[7][8][9]

La fórmula de traza también es fundamental para la teoría analítica de la función zeta de Selberg. Se puede utilizar para demostrar la continuación meromorfa y la ecuación funcional de la función zeta, y para relacionar sus ceros con los autovalores de Laplace y con la geometría de las geodésicas cerradas.^[10][4]

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Una superficie hiperbólica compacta X se puede escribir como el espacio de órbitas

${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbf {H} ,}$

donde Γ es un subgrupo de PSL(2, R), H es el semiplano superior y Γ actúa sobre H mediante transformaciones fraccionarias lineales.

La fórmula de la traza de Selberg para este caso es más sencilla que para el caso general, ya que la superficie es compacta, por lo que no hay espectro continuo, y el grupo Γ no tiene elementos parabólicos ni elípticos (aparte de la identidad).

Entonces, el espectro para el operador de Laplace-Beltrami en X es discreto y real, puesto que el operador de Laplace es autoadjunto con resolvente compacto; es decir:

${\displaystyle 0=\mu _{0}<\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \cdots }$

donde los autovalores μ_n corresponden a las autofunciones Γ invariantes bajo u en C^∞(H) del laplaciano; en otras palabras:

${\displaystyle {\begin{cases}u(\gamma z)=u(z),\qquad \forall \gamma \in \Gamma \\y^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right)+\mu _{n}u=0.\end{cases}}}$

Mediante la sustitución de variables:

${\displaystyle \mu =s(1-s),\qquad s={\tfrac {1}{2}}+ir}$

los autovalores se denominan:

${\displaystyle r_{n},n\geq 0.}$

Entonces, la fórmula de la traza de Selberg viene dada por:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }h(r_{n})={\frac {\mu (X)}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }r\,h(r)\tanh(\pi r)\,dr+\sum _{\{T\}}{\frac {\log N(T_{0})}{N(T)^{\frac {1}{2}}-N(T)^{-{\frac {1}{2}}}}}g(\log N(T)).}$

El lado derecho es una suma sobre las clases de conjugación del grupo Γ, donde el primer término corresponde al elemento identidad y los términos restantes forman una suma sobre las otras clases de conjugación {T } (que en este caso son todas hiperbólicas). La función h debe satisfacer lo siguiente:

• Ser analítica en |Im(r)| ≤ 1/2 + δ
• h(−r) = h(r)
• Existen constantes positivas δ y M tales que: :${\displaystyle \vert h(r)\vert \leq M\left(1+\left|\operatorname {Re} (r)\right|\right)^{-2-\delta }}$

La función g es la transformada de Fourier de h, es decir:

${\displaystyle h(r)=\int _{-\infty }^{\infty }g(u)e^{iru}\,du.}$

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Sea G un grupo localmente compacto unimodular, ${\displaystyle \Gamma }$ un subgrupo cocompacto discreto de G y ${\displaystyle \phi }$ una función continua con soporte compacto en G. La fórmula de traza en este contexto es la siguiente igualdad:

$${\displaystyle \sum _{\gamma \in \{\Gamma \}}a_{\Gamma }^{G}(\gamma )\int _{G^{\gamma }\setminus G}\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx=\sum _{\pi \in {\widehat {G}}}a_{\Gamma }^{G}(\pi )\operatorname {tr} \pi (\phi )}$$

donde ${\displaystyle \{\Gamma \}}$ es el conjunto de clases de conjugación en ${\displaystyle \Gamma }$, ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ es el dual unitario de G y:

• Para un elemento ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$, ${\displaystyle a_{\Gamma }^{G}(\gamma )={\text{volume}}(\Gamma ^{\gamma }\setminus G^{\gamma })}$ con ${\displaystyle G^{\gamma },\Gamma ^{\gamma }}$ son los centralizadores de ${\displaystyle \gamma }$ en ${\displaystyle G,\Gamma }$ respectivamente
• Para un irreducible unitary representation ${\displaystyle \pi }$ de ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle a_{\Gamma }^{G}(\pi )}$ es el multiplicity de ${\displaystyle \pi }$ en la representación derecha sobre ${\displaystyle \Gamma \backslash G}$ en ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G}$), y ${\displaystyle \pi (\phi )}$ es el operador ${\displaystyle \int _{G}\phi (g)\pi (g)dg}$
• Todas las integrales y volúmenes se toman con respecto al Medida de Haar sobre ${\displaystyle G}$ o sus cocientes

El lado izquierdo de la fórmula se denomina lado geométrico y el lado derecho, lado espectral. Los términos ${\displaystyle \int _{G^{\gamma }\setminus G}\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx}$ son integrales orbitales.

Se define el siguiente operador sobre funciones con soporte compacto en ${\displaystyle \Gamma \backslash G}$:

$${\displaystyle R(\phi )=\int _{G}\phi (x)R(x)\,dx.}$$

Se extiende continuamente a ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \setminus G)}$ y para ${\displaystyle f\in L^{2}(\Gamma \setminus G)}$ se tiene que:

$${\displaystyle (R(\phi )f)(x)=\int _{G}\phi (y)f(xy)\,dy=\int _{\Gamma \setminus G}\left(\sum _{\gamma \in \Gamma }\phi (x^{-1}\gamma y)\right)f(y)\,dy}$$

tras un cambio de variables. Suponiendo que ${\displaystyle \Gamma \setminus G}$ es compacto, el operador ${\displaystyle R(\phi )}$ es un operador de clase de traza y la fórmula de la traza es el resultado de calcular su traza de dos maneras, como se explica a continuación.^[11]

La traza de ${\displaystyle R(\phi )}$ se puede expresar como la integral del núcleo ${\displaystyle K(x,y)=\sum _{\gamma \in \Gamma }\phi (x^{-1}\gamma y)}$ en la diagonal, es decir:

$${\displaystyle \operatorname {tr} R(\phi )=\int _{\Gamma \setminus G}\sum _{\gamma \in \Gamma }\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx.}$$

Sea ${\displaystyle \{\Gamma \}}$ una colección de representantes de clases de conjugación en ${\displaystyle \Gamma }$, y ${\displaystyle \Gamma ^{\gamma }}$ y ${\displaystyle G^{\gamma }}$ los centralizadores respectivos de ${\displaystyle \gamma }$. Entonces, la integral anterior se puede escribir, tras manipularla, como:

$${\displaystyle \operatorname {tr} R(\phi )=\sum _{\gamma \in \{\Gamma \}}a_{\Gamma }^{G}(\gamma )\int _{G^{\gamma }\setminus G}\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx.}$$

Esto da el lado geométrico de la fórmula de la traza.

El lado espectral de la fórmula de la traza proviene del cálculo de la traza de ${\displaystyle R(\phi )}$ mediante la descomposición de la representación regular de ${\displaystyle G}$ en sus componentes irreducibles. Así,

$${\displaystyle \operatorname {tr} R(\phi )=\sum _{\pi \in {\hat {G}}}a_{\Gamma }^{G}(\pi )\operatorname {tr} \pi (\phi )}$$

donde ${\displaystyle {\hat {G}}}$ es el conjunto de representaciones unitarias irreducibles de ${\displaystyle G}$ (recuérdese que el entero positivo ${\displaystyle a_{\Gamma }^{G}(\pi )}$ es la multiplicidad de ${\displaystyle \pi }$ en la representación unitaria ${\displaystyle R}$ sobre ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \setminus G)}$).

Cuando ${\displaystyle G}$ es un grupo de Lie semisimple con un subgrupo compacto maximal ${\displaystyle K}$ y ${\displaystyle X=G/K}$ es el espacio simétrico asociado, las clases de conjugación en ${\displaystyle \Gamma }$ pueden describirse en términos geométricos utilizando la variedad riemanniana compacta (más generalmente, orbifold) ${\displaystyle \Gamma \backslash X}$. Las integrales orbitales y las trazas en sumandos irreducibles pueden calcularse posteriormente y, en particular, se puede recuperar el caso de la fórmula de traza para superficies hiperbólicas de esta manera.

La teoría general de las series de Eisenstein se motivó en gran medida por la necesidad de separar espectros continuos, característica del caso no compacto.^[12]

La fórmula de traza se suele aplicar a grupos algebraicos sobre los adeles en lugar de a grupos de Lie, ya que esto convierte el subgrupo discreto Γ correspondiente en un grupo algebraico sobre un cuerpo, lo cual facilita el trabajo técnico. El caso de SL₂(C) se analiza en Gel'fand, Graev y Pyatetskii-Shapiro (1990) y Elstrodt, Grunewald y Mennicke (1998). Gel'fand et al. también tratan SL₂(F), donde F es un cuerpo topológico localmente compacto con norma ultramétrica, por lo que constituye una extensión finita del número p-ádico Q_p o de una serie formal de potencias F_q((T)). Asimismo, abordan el caso adélico en característica 0, combinando todas las completaciones R y Q_p del número racional Q.

La sucesora contemporánea de la teoría es la fórmula de traza de Arthur-Selberg aplicada al caso de la función semisimple general G, y los numerosos estudios de la fórmula de traza en el Programa de Langlands (que abordan cuestiones técnicas como la endoscopia). La fórmula de traza de Selberg puede derivarse de la fórmula de traza de Arthur-Selberg con cierto esfuerzo.

• Correspondencia de Jacquet-Langlands