Inelipse de Steiner

La ecuación de la inelipse de Steiner en coordenadas trilineales para un triángulo con longitud de sus lados a, b, c es^[1]

${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-2abxy-2bcyz-2cazx=0}$

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• El centro de la inelipse de Steiner de un triángulo es el centroide del triángulo: la intersección de las medianas^[1][5] del triángulo. La inelipse de Steiner es la única que tiene su centro en el centroide del triángulo.^[5]

• La inelipse de Steiner de un triángulo tiene el área más grande de cualquier elipse interior de ese triángulo; como la elipse inscrita más grande, es el elipsoide de John del triángulo. Su área es ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$ multiplicada por el área del triángulo.^[5][6] Por lo tanto, su área es un cuarto que la de la circunelipse de Steiner.

• La inelipse de Steiner es la única incónica que es tangente en los puntos medios de dos de los lados del triángulo. Es decir, si una elipse es tangente al triángulo en los puntos medios de dos lados y también tangente al tercer lado, entonces el último punto de tangencia es el punto medio de ese tercer lado.^[5]

• La inelipse de Steiner es la circunelipse de Steiner del triángulo medial.

• Las longitudes de los semiejes mayor y menor para un triángulo con lados a, b, c son^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{6}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},}$

donde

${\displaystyle Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.}$

• De acuerdo con el teorema de Marden,^[3] si los tres vértices del triángulo son los ceros complejos de un polinomio cúbico, entonces los focos de la inelipse de Steiner son los ceros de la derivada del polinomio.

• El eje principal de la inelipse de Steiner es la recta de mejor ajuste ortogonal de los vértices.^[6]

• Denominando G, F₊ y F₋ respectivamente al centroide y al primer y segundo punto de Fermat de un triángulo, el eje principal de la inelipse de Steiner del triángulo es la bisectriz interna de ∠F₊GF₋. Las longitudes de los ejes son |GF₋| ± |GF₊|: es decir, la suma y la diferencia de las distancias de los puntos de Fermat desde el centroide.^[7]

• Los ejes de la inelipse de Steiner de un triángulo son tangentes a su parábola de Kiepert, la única parábola que es tangente a los lados del triángulo y tiene la recta de Euler como su directriz.^[7]

• Los focos de la inelipse de Steiner de un triángulo son las intersecciones del eje principal de la inelipse y el círculo con el centro en el eje menor y pasando por los puntos de Fermat.^[7]

• Al igual que con cualquier elipse inscrita en un triángulo ABC, siendo los focos P y Q se tiene que^[8]

${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$