Conservación de la carga eléctrica

La conservación de la carga fue propuesta por primera vez por el científico británico William Watson en 1746 y por el estadista y científico estadounidense Benjamin Franklin en 1747, aunque la primera prueba convincente la aportó Michael Faraday en 1843.^[4][5]

Ahora se ha descubierto y demostrado, tanto aquí como en Europa, que el fuego eléctrico es un elemento real, o una especie de materia, no «creado» por la fricción, sino solo «recogido».

Matemáticamente, podemos expresar la ley de conservación de la carga como una ecuación de continuidad: $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} Q}{\mathrm {d} t}}={\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t).}$$ donde ${\displaystyle \mathrm {d} Q/\mathrm {d} t}$ es la tasa de acumulación de carga eléctrica en un volumen específico en el instante t, ${\displaystyle {\dot {Q}}_{\rm {IN}}}$ es la cantidad de carga que fluye hacia el volumen y ${\displaystyle {\dot {Q}}_{\rm {OUT}}}$ es la cantidad de carga que fluye fuera del volumen; ambas cantidades se consideran funciones genéricas del tiempo.

La ecuación de continuidad integrada entre dos valores de tiempo se expresa así: $${\displaystyle Q(t_{2})=Q(t_{1})+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)\right)\,\mathrm {d} t.}$$

La solución general se obtiene fijando la condición inicial de tiempo ${\displaystyle t_{0}}$, lo que da lugar a la ecuación integral: $${\displaystyle Q(t)=Q(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {IN}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau .}$$

La condición ${\displaystyle Q(t)=Q(t_{0})\;\forall t>t_{0},}$ corresponde a la ausencia de variación de la cantidad de carga en el volumen de control: el sistema ha alcanzado un estado estacionario. A partir de la condición anterior, debe cumplirse lo siguiente: $${\displaystyle \int _{t_{0}}^{t}\left({\dot {Q}}_{\rm {IN}}(\tau )-{\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(\tau )\right)\,\mathrm {d} \tau =0\;\;\forall t>t_{0}\;\implies \;{\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)={\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)\;\;\forall t>t_{0}}$$ por lo tanto, ${\displaystyle {\dot {Q}}_{\rm {IN}}}$ y ${\displaystyle {\dot {Q}}_{\rm {OUT}}}$ son iguales (no necesariamente constantes) a lo largo del tiempo, entonces la carga total dentro del volumen de control no cambia. Esta deducción podría derivarse directamente de la ecuación de continuidad, ya que en estado estacionario ${\displaystyle \partial Q/\partial t=0}$ se cumple, e implica ${\displaystyle {\dot {Q}}_{\rm {IN}}(t)={\dot {Q}}_{\rm {OUT}}(t)}$.

En la teoría del campo electromagnético, se puede utilizar el cálculo vectorial para expresar la ley en términos de densidad de carga ρ (en coulombios por metro cúbico) y densidad de corriente eléctrica J (en amperios por metro cuadrado). Esto se denomina ecuación de continuidad de la densidad de carga $${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0.}$$

El término de la izquierda es la tasa de variación de la densidad de carga ρ en un punto. El término de la derecha es la divergencia de la densidad de corriente J en el mismo punto. La ecuación iguala estos dos factores, lo que significa que la única forma de que la densidad de carga en un punto cambie es que una corriente de carga fluya hacia o desde ese punto. Esta afirmación es equivalente a una conservación de la corriente cuádruple.

La conservación de la carga también puede entenderse como una consecuencia de la simetría a través del teorema de Noether, un resultado fundamental de la física teórica que afirma que cada ley de conservación está asociada a una simetría de la física subyacente. La simetría asociada a la conservación de la carga es la invarianza de gauge global del campo electromagnético.^[6] Esto está relacionado con el hecho de que los campos eléctrico y magnético no varían al elegir diferentes valores que representan el punto cero del potencial electrostático ${\displaystyle \phi }$. Sin embargo, la simetría completa es más complicada e implica también el potencial vectorial ${\displaystyle \mathbf {A} }$. La afirmación completa de la invariancia de gauge es que la física de un campo electromagnético no se ve alterada cuando el potencial escalar y el potencial vectorial se desplazan por el gradiente de un campo escalar arbitrario ${\displaystyle \chi }$:

${\displaystyle \phi '=\phi -{\frac {\partial \chi }{\partial t}}\qquad \qquad \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\nabla \chi .}$

En mecánica cuántica, el campo escalar es equivalente a un desfase en la función de onda de la partícula cargada:

${\displaystyle \psi '=e^{iq\chi }\psi }$

Por lo tanto, la invariancia de gauge equivale al conocido hecho de que los cambios en la fase global de una función de onda son inobservables, y solo los cambios en la magnitud de la función de onda dan lugar a cambios en la función de probabilidad ${\displaystyle |\psi |^{2}}$.^[7]

La invariancia de gauge es una propiedad muy importante y bien establecida del campo electromagnético y tiene muchas consecuencias comprobables. La justificación teórica de la conservación de la carga se ve considerablemente reforzada al estar vinculada a esta simetría. Por ejemplo, la invarianza de gauge también requiere que el fotón carezca de masa, por lo que la sólida evidencia experimental de que el fotón tiene masa nula es también una fuerte evidencia de que la carga se conserva. ^[8] La invarianza de gauge también implica la cuantificación de hipotéticas cargas magnéticas.^[7]

Sin embargo, incluso si la simetría de gauge es exacta, podría darse una aparente no conservación de la carga eléctrica si esta pudiera filtrarse desde nuestro espacio tridimensional normal hacia dimensiones extra ocultas.^[9][10]

Unos simples argumentos descartan algunos tipos de no conservación de la carga. Por ejemplo, la magnitud de la carga elemental en las partículas positivas y negativas debe ser prácticamente igual, con una diferencia de no más de un factor de 10⁻²¹ en el caso de los protones y los electrones. ^[11] La materia ordinaria contiene cantidades enormes de partículas positivas y negativas, protones y electrones, en igual número. Si la carga elemental del electrón y del protón fuera incluso ligeramente diferente, toda la materia tendría una gran carga eléctrica y se repelería mutuamente.

Las mejores pruebas experimentales de la conservación de la carga eléctrica son las búsquedas de desintegraciones de partículas que serían posibles si la carga eléctrica no se conservara siempre. Nunca se han observado tales desintegraciones.^[12] La mejor prueba experimental proviene de la búsqueda del fotón energético procedente de un electrón que se desintegra en un neutrino y un único fotón:

pero existen argumentos teóricos que sostienen que tales desintegraciones de un solo fotón nunca se producirán, incluso si no se conserva la carga.^[15] Las pruebas de desaparición de carga son sensibles a desintegraciones sin fotones energéticos, así como a otros procesos inusuales que violan la conservación de la carga, como la transformación espontánea de un electrón en un positrón,^[16] y a la carga eléctrica que se desplaza a otras dimensiones. Los mejores límites experimentales sobre la desaparición de la carga son:

• Capacitancia
• Invarianza de carga
• Leyes de conservación y simetría
• Introducción a la teoría de gauge – incluye un análisis más detallado de la invariancia de gauge y la conservación de la carga
• Leyes de Kirchhoff – aplicación de la conservación de la carga a los circuitos eléctricos
• Ecuaciones de Maxwell
• Densidad de carga relativa
• Máquina electrostática de Franklin