Método de Descartes (ecuación de cuarto grado)

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$

Dividimos la ecuación inicial por la componente cuártica, obtenemos:

${\displaystyle x^{4}+{\frac {b}{a}}x^{3}+{\frac {c}{a}}x^{2}+{\frac {d}{a}}x+{\frac {e}{a}}=0\,}$

Procedemos a sustituir ${\displaystyle x=w-{\frac {b}{4a}}\,}$ para eliminar el término cúbico:

${\displaystyle \left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}+{\frac {b}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}+{\frac {c}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}+{\frac {d}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)+{\frac {e}{a}}=0}$,

donde

${\displaystyle \left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}=w^{4}-{\frac {bw^{3}}{a}}+{\frac {3b^{2}w^{2}}{8a^{2}}}-{\frac {b^{3}w}{16a^{3}}}+{\frac {b^{4}}{256a^{4}}}}$

${\displaystyle {\frac {b}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}={\frac {bw^{3}}{a}}-{\frac {3b^{2}w^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {3bw^{3}}{16a^{3}}}-{\frac {b^{4}}{64a^{4}}}}$

${\displaystyle {\frac {c}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}={\frac {cw^{2}}{a}}-{\frac {bcw}{2a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{a}}\left(w-{\frac {b}{4a}}\right)={\frac {dw}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}}$

En efecto, al desarrollar la suma algebraica de los resultados de los productos presentes, el término ${\displaystyle -{\frac {b}{a}}w^{3}\,}$ está compensado igualmente por ${\displaystyle {\frac {b}{a}}w^{3}\,}$, por lo que se cancelará el término ${\displaystyle w^{3}\,}$. Por tanto, el resultado de esta suma algebraica es:

${\displaystyle w^{4}+{\frac {cw^{2}}{a}}-{\frac {3b^{2}w^{2}}{8a^{2}}}+{\frac {2b^{3}w}{16a^{3}}}-{\frac {bcw}{2a^{2}}}+{\frac {dw}{a}}+{\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}=0}$

Indicamos factor común en los términos con ${\displaystyle w}$:

${\displaystyle w^{4}+\left({\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right)w^{2}+\left({\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}}{8a^{3}}}\right)w+\left({\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}\right)=0}$

Entonces, de acuerdo a las definiciones recién introducidas, escribiremos la expresión simplemente como

${\displaystyle w^{4}+rw^{2}+sw+t=0\,}$

donde dicha expresión es la ecuación cuártica reducida, cuyas componentes se dan por:

${\displaystyle r={\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}}$

${\displaystyle s={\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}}{8a^{3}}}={\frac {b^{3}-4abc+8a^{2}d}{8a^{3}}}}$

${\displaystyle t={\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}={\frac {256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{4}}}}$

En este momento, la idea importante es factorizar lo anterior en ${\displaystyle (w^{2}+\alpha w+\beta )(w^{2}-\alpha w+\gamma )=0\,}$, acción que es posible ya que no está presente el término cúbico en el polinomio, y que al desarrollar la multiplicación distributivamente viene dado de forma explícita por lo siguiente:

${\displaystyle w^{4}+(\beta +\gamma -\alpha ^{2})w^{2}+[\alpha (\gamma -\beta )]w+\beta \gamma \,=0}$.

Al identificar lo anterior con los términos ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle s}$ y ${\displaystyle t}$, obtenemos las siguientes relaciones:

${\displaystyle \beta +\gamma -\alpha ^{2}=r\,}$,

${\displaystyle \alpha (\gamma -\beta )=s\,}$,

${\displaystyle \beta \gamma =t\,}$.

Si queremos encontrar el valor de ${\displaystyle \alpha }$ primeramente, consideremos las relaciones expuestas como un sistema de ecuaciones de tres incógnitas:

${\displaystyle {\begin{cases}\beta +\gamma -\alpha ^{2}=r\\\alpha (\gamma -\beta )=s\\\beta \gamma =t\end{cases}}}$

Pasamos ${\displaystyle \alpha ^{2}}$ al miembro derecho de la primera ecuación, obtenemos:

${\displaystyle \beta +\gamma =r+\alpha ^{2}}$

Pasamos ${\displaystyle \alpha }$ al miembro derecho de la segunda ecuación, obtenemos:

${\displaystyle \gamma -\beta ={\frac {s}{\alpha }}}$

Con los resultados obtenidos, formamos un nuevo sistema.

${\displaystyle {\begin{cases}\beta +\gamma =r+\alpha ^{2}\\\gamma -\beta ={\frac {s}{\alpha }}\end{cases}}}$

Sumamos y restamos las dos ecuaciones del nuevo sistema, y juntamos los resultados en otro nuevo sistema:

${\displaystyle {\begin{cases}2\beta =r+\alpha ^{2}-{\frac {s}{\alpha }}\\2\gamma =r+\alpha ^{2}+{\frac {s}{\alpha }}\end{cases}}}$

Multiplicamos las ecuaciones del sistema reciente, obtenemos:

${\displaystyle 4\beta \gamma =\alpha ^{4}+2r\alpha ^{2}+r^{2}-{\frac {s^{2}}{\alpha ^{2}}}}$

Nos damos cuenta de que existe ${\displaystyle \beta \gamma }$, por tanto lo reemplazamos por ${\displaystyle t}$:

${\displaystyle 4t=\alpha ^{4}+2r\alpha ^{2}+r^{2}-{\frac {s^{2}}{\alpha ^{2}}}}$

Pasamos ${\displaystyle 4t}$ al otro miembro de la igualdad con signo opuesto, esto da:

${\displaystyle \alpha ^{4}+2r\alpha ^{2}+r^{2}-{\frac {s^{2}}{\alpha ^{2}}}-4t=0}$

Como hay un término fraccionario, procuramos multiplicar la ecuación por ${\displaystyle \alpha ^{2}}$:

${\displaystyle \alpha ^{6}+2r\alpha ^{4}+r^{2}\alpha ^{2}-s^{2}-4t\alpha ^{2}=0}$

Por último, indicamos factor común en ${\displaystyle r^{2}\alpha ^{2}}$ y ${\displaystyle 4t\alpha ^{2}}$:

${\displaystyle \alpha ^{6}+2r\alpha ^{4}+(r^{2}-4t)\alpha ^{2}-s^{2}=0}$

Hacemos la sustitución ${\displaystyle \alpha ^{2}=y}$ (obteniendo una ecuación cúbica resolvente):

${\displaystyle y^{3}+2ry^{2}+(r^{2}-4t)y-s^{2}=0\,}$

Entonces, sea ${\displaystyle y}$ una raíz positiva de la ecuación cúbica resolvente, solucionamos para ${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \alpha ^{2}=y\rightarrow \alpha ={\sqrt {y}},y>0}$

Por tanto, hemos hallado la solución para ${\displaystyle \alpha }$. Por tanto, reemplazando ${\displaystyle \alpha }$ en el sistema anterior al reciente, obtenemos las soluciones ${\displaystyle \beta }$ y ${\displaystyle \gamma }$:

${\displaystyle 2\beta =r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}\rightarrow \beta ={\frac {r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}}$

${\displaystyle 2\gamma =r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}\rightarrow \gamma ={\frac {r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}}$

Reemplazamos los valores de ${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$ y ${\displaystyle \gamma }$ las dos ecuaciones cuadráticas:

${\displaystyle (w^{2}+\alpha w+\beta )(w^{2}-\alpha w+\gamma )=0}$

${\displaystyle \left(w^{2}+{\sqrt {y}}w+{\frac {r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)\left(w^{2}-{\sqrt {y}}w+{\frac {r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)=0}$

Aplicamos la ley del producto nulo en ambos factores, esto los separa en dos ecuaciones cuadráticas distintas:

${\displaystyle w^{2}+{\sqrt {y}}w+{\frac {r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}=0}$

${\displaystyle w^{2}-{\sqrt {y}}w+{\frac {r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}=0}$

Calculamos el discriminante de cada ecuación cuadrática:

${\displaystyle \Delta _{a}=b^{2}-4ac=\left({\sqrt {y}}\right)^{2}-4(1)\left({\frac {r+y-{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)=-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}$

${\displaystyle \Delta _{b}=b^{2}-4ac=\left(-{\sqrt {y}}\right)^{2}-4(1)\left({\frac {r+y+{\frac {s}{\sqrt {y}}}}{2}}\right)=-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}$

Resolvemos ambas ecuaciones por separado:

${\displaystyle w_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta _{a}}}}{2a}}={\frac {-{\sqrt {y}}\pm {\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}$

${\displaystyle w_{3,4}={\frac {-b\pm {\sqrt {\Delta _{b}}}}{2a}}={\frac {{\sqrt {y}}\pm {\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}$

Entonces las soluciones de la ecuación cuártica reducida son:

${\displaystyle w_{1}={\frac {{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}$

${\displaystyle w_{2}={\frac {{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}$

${\displaystyle w_{3}={\frac {-{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}$

${\displaystyle w_{4}={\frac {-{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}$

Y al mismo tiempo las soluciones de la ecuación original son:

${\displaystyle x_{1}={\frac {{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r-{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{3}={\frac {-{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{4}={\frac {-{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2r+{\frac {2s}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}$