Método de Ferrari

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$,

dividimos toda la ecuación entre la componente cuártica para convertirla en la forma mónica:

${\displaystyle x^{4}+{\frac {b}{a}}x^{3}+{\frac {c}{a}}x^{2}+{\frac {d}{a}}x+{\frac {e}{a}}=0}$

Ejecutamos una transformación de Tschirnhaus para eliminar el término de tercer grado, susituyendo ${\displaystyle x=z-{\frac {b}{4a}}}$:

${\displaystyle \left(z-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}+{\frac {b}{a}}\left(z-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}+{\frac {c}{a}}\left(z-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}+{\frac {d}{a}}\left(z-{\frac {b}{4a}}\right)+{\frac {e}{a}}=0}$

donde ejecutamos cada producto notable indicado en la ecuación:

${\displaystyle \left(z-{\frac {b}{4a}}\right)^{4}=z^{4}-{\frac {bz^{3}}{a}}+{\frac {3b^{2}z^{2}}{8a^{2}}}-{\frac {b^{3}z}{16a^{3}}}+{\frac {b^{4}}{256a^{4}}}}$

${\displaystyle {\frac {b}{a}}\left(z-{\frac {b}{4a}}\right)^{3}={\frac {bz^{3}}{a}}-{\frac {3b^{2}z^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {3b^{3}z}{16a^{3}}}-{\frac {b^{4}}{64a^{4}}}}$

${\displaystyle {\frac {c}{a}}\left(z-{\frac {b}{4a}}\right)^{2}={\frac {cz^{2}}{a}}-{\frac {bcz}{2a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}}$

${\displaystyle {\frac {d}{a}}\left(z-{\frac {b}{4a}}\right)={\frac {dz}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}}$

Hacemos la suma algebraica de términos semejantes (donde se elimina el término cúbico):

${\displaystyle z^{4}+{\frac {cz^{2}}{a}}-{\frac {3b^{2}z^{2}}{8a^{2}}}+{\frac {dz}{a}}-{\frac {bcz}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}z}{8a^{3}}}+{\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}=0}$

Indicamos factor común en los términos con ${\displaystyle z}$:

${\displaystyle z^{4}+\left({\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}\right)z^{2}+\left({\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}}{8a^{3}}}\right)z+{\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}=0}$

Entonces, podemos reescribir la ecuación como

${\displaystyle z^{4}+pz^{2}+qz+r=0}$

donde

${\displaystyle p={\frac {c}{a}}-{\frac {3b^{2}}{8a^{2}}}={\frac {8ac-3b^{2}}{8a^{2}}}}$

${\displaystyle q={\frac {d}{a}}-{\frac {bc}{2a^{2}}}+{\frac {b^{3}}{8a^{3}}}={\frac {8a^{2}d-4abc+b^{3}}{8a^{3}}}}$

${\displaystyle r={\frac {e}{a}}-{\frac {bd}{4a^{2}}}+{\frac {b^{2}c}{16a^{3}}}-{\frac {3b^{4}}{256a^{4}}}={\frac {256a^{3}e-64a^{2}bd+16ab^{2}c-3b^{4}}{256a^{4}}}}$

${\displaystyle z^{4}+pz^{2}+qz+r=0}$

Despejamos los primeros dos términos:

${\displaystyle z^{4}+pz^{2}=-qz-r}$

Para completar el cuadrado del miembro izquierdo, sumamos a ambos miembros de la ecuación ${\displaystyle {\frac {p^{2}}{4}}}$:

${\displaystyle z^{4}+pz^{2}+{\frac {p^{2}}{4}}=-qz-r+{\frac {p^{2}}{4}}}$

Introducimos una nueva incógnita ${\displaystyle y}$, sumando ${\displaystyle z^{2}y+{\frac {py}{2}}+{\frac {y^{2}}{4}}}$ a ambos lados de la ecuación:

${\displaystyle z^{4}+pz^{2}+{\frac {p^{2}}{4}}+z^{2}y+{\frac {py}{2}}+{\frac {y^{2}}{4}}=-qz-r+{\frac {p^{2}}{4}}+z^{2}y+{\frac {py}{2}}+{\frac {y^{2}}{4}}}$

Como el valor de ${\displaystyle y}$ puede ser elegido de manera arbitraria, lo tomaremos para completar el cuadrado del miembro izquierdo, esto implica que el discriminante de esta ecuación cuadrática será cero:

${\displaystyle \left(z^{2}+{\frac {p}{2}}+{\frac {y}{2}}\right)^{2}=-qz-r+{\frac {p^{2}}{4}}+z^{2}y+{\frac {py}{2}}+{\frac {y^{2}}{4}}}$

Ahora viene la parte importante, en la cual si elegimos un valor de ${\displaystyle y}$ tal que satisfaga la igualdad

${\displaystyle -qz-r+{\frac {p^{2}}{4}}+z^{2}y+{\frac {py}{2}}+{\frac {y^{2}}{4}}=\left({\sqrt {y}}z-{\frac {q}{2{\sqrt {y}}}}\right)^{2}}$,

entonces habríamos encontrado una solución, por tanto desarrollamos el cuadrado del miembro derecho de la igualdad reciente:

${\displaystyle -qz-r+{\frac {p^{2}}{4}}+z^{2}y+{\frac {py}{2}}+{\frac {y^{2}}{4}}=z^{2}y-qz+{\frac {q^{2}}{4y}}}$

Desarrollamos la suma de términos semejantes pasando los otros términos del miembro derecho al izquierdo con signo opuesto:

${\displaystyle -r+{\frac {p^{2}}{4}}+{\frac {py}{2}}+{\frac {y^{2}}{4}}-{\frac {q^{2}}{4y}}=0}$

Por la presencia de la nueva incógnita en el denominador, multiplicamos la igualdad por ${\displaystyle 4y}$:

${\displaystyle -4ry+p^{2}y+2py^{2}+y^{3}-q^{2}=0}$

Reordenamos e indicamos factor común en ${\displaystyle -4ry}$ y ${\displaystyle p^{2}y}$ (obteniendo una ecuación cúbica resolvente):

${\displaystyle y^{3}+2py^{2}+(p^{2}-4r)y-q^{2}=0}$

Entonces, sea ${\displaystyle y}$ una raíz real positiva de la ecuación cúbica resolvente, establecemos la siguiente igualdad:

${\displaystyle \left(z^{2}+{\frac {p}{2}}+{\frac {y}{2}}\right)^{2}=\left({\sqrt {y}}z-{\frac {q}{2{\sqrt {y}}}}\right)^{2}}$

Como ambos miembros están elevados al cuadrado, ejecutamos factorización de una diferencia de cuadrados:

${\displaystyle \left(z^{2}+{\frac {p}{2}}+{\frac {y}{2}}\right)^{2}-\left({\sqrt {y}}z-{\frac {q}{2{\sqrt {y}}}}\right)^{2}=0}$

${\displaystyle \left(z^{2}+{\frac {p}{2}}+{\frac {y}{2}}-{\sqrt {y}}z+{\frac {q}{2{\sqrt {y}}}}\right)\left(z^{2}+{\frac {p}{2}}+{\frac {y}{2}}+{\sqrt {y}}z-{\frac {q}{2{\sqrt {y}}}}\right)=0}$

Aplicamos la ley del producto nulo en ambos factores y los reordenamos en función de la incógnita ${\displaystyle z}$ (esto nos producirá dos ecuaciones cuadráticas):

${\displaystyle z^{2}-{\sqrt {y}}z+{\frac {p}{2}}+{\frac {y}{2}}+{\frac {q}{2{\sqrt {y}}}}=0}$

${\displaystyle z^{2}+{\sqrt {y}}z+{\frac {p}{2}}+{\frac {y}{2}}-{\frac {q}{2{\sqrt {y}}}}=0}$

Calculamos el discriminante de cada ecuación:

${\displaystyle {\text{D}}_{1}=(-{\sqrt {y}})^{2}-4(1)\left({\frac {p}{2}}+{\frac {y}{2}}+{\frac {q}{2{\sqrt {y}}}}\right)=-y-2p-{\frac {2q}{\sqrt {y}}}}$

${\displaystyle {\text{D}}_{2}=({\sqrt {y}})^{2}-4(1)\left({\frac {p}{2}}+{\frac {y}{2}}-{\frac {q}{2{\sqrt {y}}}}\right)=-y-2p+{\frac {2q}{\sqrt {y}}}}$

Resolvemos dichas ecuaciones cuadráticas:

${\displaystyle z_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {{\text{D}}_{1}}}}{2a}}={\frac {{\sqrt {y}}\pm {\sqrt {-y-2p-{\frac {2q}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}$

${\displaystyle z_{3,4}={\frac {-b\pm {\sqrt {{\text{D}}_{2}}}}{2a}}={\frac {-{\sqrt {y}}\pm {\sqrt {-y-2p+{\frac {2q}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}$

Por tanto, las soluciones de la ecuación cuártica reducida son:

${\displaystyle z_{1}={\frac {{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2p-{\frac {2q}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}$

${\displaystyle z_{2}={\frac {{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2p-{\frac {2q}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}$

${\displaystyle z_{3}={\frac {-{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2p+{\frac {2q}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}$

${\displaystyle z_{4}={\frac {-{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2p+{\frac {2q}{\sqrt {y}}}}}}{2}}}$

A la vez, las soluciones para la ecuación original son (haciendo la sustitución ${\displaystyle x=z-{\frac {b}{4a}}}$):

${\displaystyle x_{1}={\frac {{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2p-{\frac {2q}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2p-{\frac {2q}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{3}={\frac {-{\sqrt {y}}+{\sqrt {-y-2p+{\frac {2q}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle x_{4}={\frac {-{\sqrt {y}}-{\sqrt {-y-2p+{\frac {2q}{\sqrt {y}}}}}}{2}}-{\frac {b}{4a}}}$

${\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}$,

la condición primaria es tener coeficiente uno en el término de mayor grado, entonces dividimos toda la ecuación entre ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle x^{4}+{\frac {b}{a}}x^{3}+{\frac {c}{a}}x^{2}+{\frac {d}{a}}x+{\frac {e}{a}}=0}$

Reescribimos la ecuación como:

${\displaystyle x^{4}+Bx^{3}+Cx^{2}+Dx+E=0}$,

donde

${\displaystyle B={\frac {b}{a}},C={\frac {c}{a}},D={\frac {d}{a}},E={\frac {e}{a}}}$

Despejamos los primeros dos términos:

${\displaystyle x^{4}+Bx^{3}=-Cx^{2}-Dx-E}$

Sumamos a ambos lados ${\displaystyle {\frac {B^{2}}{4}}x^{2}}$:

${\displaystyle x^{4}+Bx^{3}+{\frac {B^{2}}{4}}x^{2}=-Cx^{2}-Dx-E+{\frac {B^{2}}{4}}x^{2}}$

Introducimos una nueva incógnita ${\displaystyle y}$, sumando a ambos lados ${\displaystyle {\frac {B}{2}}xy+x^{2}y+{\frac {y^{2}}{4}}}$:

${\displaystyle x^{4}+Bx^{3}+{\frac {B^{2}}{4}}x^{2}+{\frac {B}{2}}xy+x^{2}y+{\frac {y^{2}}{4}}=-Cx^{2}-Dx-E+{\frac {B^{2}}{4}}x^{2}+{\frac {B}{2}}xy+x^{2}y+{\frac {y^{2}}{4}}}$

Factorizamos de acuerdo al caso correspondiente:

${\displaystyle \left(x^{2}+{\frac {B}{2}}x+{\frac {y}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {B^{2}}{4}}-C+y\right)x^{2}+\left({\frac {B}{2}}y-D\right)x+\left({\frac {y^{2}}{4}}-E\right)}$

Esta ecuación es válida para cualquier valor de ${\displaystyle y}$, así que eligiremos un valor de ${\displaystyle y}$ para hacer que la expresión

${\displaystyle \left({\frac {B^{2}}{4}}-C+y\right)x^{2}+\left({\frac {B}{2}}y-D\right)x+\left({\frac {y^{2}}{4}}-E\right)}$

tenga un discriminante igual a cero, por tanto esto es:

${\displaystyle \left({\frac {B}{2}}y-D\right)^{2}=4\left({\frac {B^{2}}{4}}-C+y\right)\left({\frac {y^{2}}{4}}-E\right)}$

Desarrollamos ambos miembros de la igualdad:

${\displaystyle {\frac {B^{2}}{4}}y^{2}-BDy+D^{2}={\frac {B^{2}}{4}}y^{2}-Cy^{2}-B^{2}E+y^{3}+4CE-4Ey}$

Hacemos la suma de términos semejantes pasando los términos del miembro izquierdo al derecho:

${\displaystyle -Cy^{2}-B^{2}E+y^{3}+4CE-4Ey+BDy-D^{2}=0}$

Reordenamos e indicamos factor común en ${\displaystyle -4Ey}$ y ${\displaystyle BDy}$:

${\displaystyle y^{3}-Cy^{2}+(BD-4E)y+(4CE-B^{2}E-D^{2})=0}$,

siendo ${\displaystyle y}$ una raíz de esta.

Entonces, sea

${\displaystyle a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}}$

un polinomio cuadrático, éste puede ser reescrito como

${\displaystyle a_{1}\left(\left(x+{\frac {a_{2}}{2a_{1}}}\right)^{2}-{\frac {{a_{2}}^{2}-4a_{1}a_{3}}{4{a_{1}}^{2}}}\right)}$

Asumiendo que su discriminante es igual a cero, esto se reduce a:

${\displaystyle a_{1}\left(x+{\frac {a_{2}}{2a_{1}}}\right)^{2}}$,

que a la vez se convierte en:

${\displaystyle a_{1}\left(x\pm {\sqrt {\frac {a_{3}}{a_{1}}}}\right)^{2}}$,

dado que como ${\displaystyle {a_{2}}^{2}=4a_{1}a_{3}}$, entonces ${\displaystyle {\frac {{a_{2}}^{2}}{4{a_{1}}^{2}}}={\frac {a_{3}}{a_{1}}}}$.

Por tanto, al hacer esta acción en la expresión en términos de ${\displaystyle x}$, obtenemos el siguiente resultado (asumiendo que dicha expresión tiene un discriminante igual a cero, eligiendo un valor de ${\displaystyle y}$ para hacer que esto suceda):

${\displaystyle \left({\frac {B^{2}}{4}}-C+y\right)\left(x\pm {\frac {\sqrt {{\frac {y^{2}}{4}}-E}}{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-C+y}}}\right)^{2}}$

Volviendo a la ecuación

${\displaystyle \left(x^{2}+{\frac {B}{2}}x+{\frac {y}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {B^{2}}{4}}-C+y\right)x^{2}+\left({\frac {B}{2}}y-D\right)x+\left({\frac {y^{2}}{4}}-E\right)}$,

esta se puede reescribir como:

${\displaystyle \left(x^{2}+{\frac {B}{2}}x+{\frac {y}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {B^{2}}{4}}-C+y\right)\left(x\pm {\frac {\sqrt {{\frac {y^{2}}{4}}-E}}{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-C+y}}}\right)^{2}}$

Al extraer raíz cuadrada a ambos lados, obtenemos lo siguiente:

${\displaystyle x^{2}+{\frac {B}{2}}x+{\frac {y}{2}}=\mp \left({\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-C+y}}\right)x\pm {\sqrt {{\frac {y^{2}}{4}}-E}}}$,

lo cual se reparte en dos ecuaciones cuadráticas:

${\displaystyle x^{2}+{\frac {B}{2}}x+{\frac {y}{2}}=-\left({\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-C+y}}\right)x+{\sqrt {{\frac {y^{2}}{4}}-E}}}$

${\displaystyle x^{2}+{\frac {B}{2}}x+{\frac {y}{2}}=\left({\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-C+y}}\right)x-{\sqrt {{\frac {y^{2}}{4}}-E}}}$

Sustituimos en la ecuación cuadrática (para simplificar un poco las expresiones):

${\displaystyle m={\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-C+y}}}$

${\displaystyle n={\sqrt {{\frac {y^{2}}{4}}-E}}}$

En efecto, esto da lo siguiente:

${\displaystyle x^{2}+{\frac {B}{2}}x+{\frac {y}{2}}=-mx+n}$

${\displaystyle x^{2}+{\frac {B}{2}}x+{\frac {y}{2}}=mx-n}$

Ajustamos las dos ecuaciones a su forma canónica:

${\displaystyle x^{2}+\left({\frac {B}{2}}+m\right)x+\left({\frac {y}{2}}-n\right)=0}$

${\displaystyle x^{2}+\left({\frac {B}{2}}-m\right)x+\left({\frac {y}{2}}+n\right)=0}$

Al resolverlas por la fórmula cuadrática, obtenemos las soluciones de la ecuación original, dadas de la siguiente forma:

${\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}\left[\left(-{\frac {B}{2}}-m\right)+{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}+Bm+m^{2}-2y+4n}}\right]}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {1}{2}}\left[\left(-{\frac {B}{2}}-m\right)-{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}+Bm+m^{2}-2y+4n}}\right]}$

${\displaystyle x_{3}={\frac {1}{2}}\left[\left(-{\frac {B}{2}}+m\right)+{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-Bm+m^{2}-2y-4n}}\right]}$

${\displaystyle x_{4}={\frac {1}{2}}\left[\left(-{\frac {B}{2}}+m\right)-{\sqrt {{\frac {B^{2}}{4}}-Bm+m^{2}-2y-4n}}\right]}$