Cúbica resolvente

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En álgebra, una ecuación cúbica resolvente es uno de varios polinomios cúbicos distintos, aunque relacionados, definidos a partir de un polinomio mónico de grado cuatro:

P(x)=x^{4}+a_{1}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{3}x+a_{4}

En cada caso:

Los coeficientes de la cúbica resolvente se pueden obtener a partir de los coeficientes de $P(x)$ utilizando solo sumas, restas y multiplicaciones.
Conocer las raíces de la cúbica resolvente de $P(x)$ es útil para encontrar las propias raíces de $P(x)$ . De ahí el nombre de "cúbica resolvente".
El polinomio $P(x)$ tiene una raíz múltiple si y solo si su cúbica resolvente tiene una raíz múltiple.

Primera definición

Supóngase que los coeficientes de $P(x)$ pertenecen a un cuerpo $k$ cuya característica es diferente de dos. En otras palabras, se está trabajando en un campo en el que $1+1\neq 0$ . Siempre que se mencionan las raíces de $P(x)$ , pertenecen a alguna extensión $K$ de $k$ tal que $P(x)$ se factoriza en factores lineales en $K[x]$ . Si $k$ es el conjunto $Q$ de números racionales, entonces $K$ puede ser el conjunto de números complejos o el de los números reales.

En algunos casos, el concepto de cúbica resolvente se define solo cuando $P(x)$ es una ecuación cuártica en forma reducida, es decir, cuando $a_{1}=0$ .

Téngase en cuenta que las definiciones cuarta y quinta que figuran a continuación también tienen sentido y que la relación entre estas cúbicas resolventes y $P(x)$ sigue siendo válida si la característica de $k$ es igual a dos.

Supóngase que $P(x)$ es una ecuación cuártica reducida, es decir, que $a_{1}=0$ . Una posible definición de la cúbica resolvente de $P(x)$ es:^[1]

R_{1}(y)=8y^{3}+8a_{2}y^{2}+(2{a_{2}}^{2}-8a_{4})y-{a_{3}}^{2}.

El origen de esta definición radica en aplicar el método de Ferrari para encontrar las raíces de $P(x)$ . Para ser más precisos:

{\begin{aligned}P(x)=0&\Longleftrightarrow x^{4}+a_{2}x^{2}=-a_{3}x-a_{4}\\&\Longleftrightarrow \left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}\right)^{2}=-a_{3}x-a_{4}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}.\end{aligned}}

Agregando una nueva incógnita $y$ a $x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}$ , se obtiene:

{\begin{aligned}\left(x^{2}+{\frac {a_{2}}{2}}+y\right)^{2}&=-a_{3}x-a_{4}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+2x^{2}y+a_{2}y+y^{2}\\&=2yx^{2}-a_{3}x-a_{4}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}.\end{aligned}}

Si esta expresión es un cuadrado, solo puede ser el cuadrado de

{\sqrt {2y}}\,x-{\frac {a_{3}}{2{\sqrt {2y}}}}.

Pero la igualdad

\left({\sqrt {2y}}\,x-{\frac {a_{3}}{2{\sqrt {2y}}}}\right)^{2}=2yx^{2}-a_{3}x-a_{4}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}

es equivalente a

{\frac {{a_{3}}^{2}}{8y}}=-a_{4}+{\frac {{a_{2}}^{2}}{4}}+a_{2}y+y^{2}{\text{,}}

y esto es lo mismo que la afirmación de que $R_{1}(y)=0$ .

Si $y_{0}$ es una raíz de $R_{1}(y)$ , entonces es una consecuencia de los cálculos realizados anteriormente para concluir que las raíces de $P(x)$ son las raíces del polinomio

x^{2}-{\sqrt {2y_{0}}}\,x+{\frac {a_{2}}{2}}+y_{0}+{\frac {a_{3}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}

junto con las raíces del polinomio

x^{2}+{\sqrt {2y_{0}}}\,x+{\frac {a_{2}}{2}}+y_{0}-{\frac {a_{3}}{2{\sqrt {2y_{0}}}}}.

Por supuesto, esto no tiene sentido si $y_{0}=0$ , pero dado que el término constante de $R_{1}(y)$ es $a_{4}$ , entonces $y_{0}$ es una raíz de $R_{1}(y)$ si y solo si $a_{1}=0$ , y en este caso las raíces de $P(x)$ se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática.

Segunda definición

Otra posible definición^[1] (todavía suponiendo que $P(x)$ es una ecuación cuártica reducida) es

R_{2}(y)=8y^{3}-4a_{2}y^{2}-8a_{4}y+4a_{2}a_{4}-{a_{3}}^{2}

El origen de esta definición es similar a la anterior. Esta vez, se comienza haciendo:

{\begin{aligned}P(x)=0&\Longleftrightarrow x^{4}=-a_{2}x^{2}-a_{3}x-a_{4}\\&\Longleftrightarrow (x^{2}+y)^{2}=-a_{2}x^{2}-a_{3}x-a_{4}+2yx^{2}+y^{2}\end{aligned}}

y un cálculo similar al anterior muestra que esta última expresión es un cuadrado si y solo si

8y^{3}-4a_{2}y^{2}-8a_{3}y+4a_{2}a_{4}-{a_{3}}^{2}=0{\text{.}}

Un cálculo simple muestra que

R_{2}\left(y+{\frac {a_{2}}{2}}\right)=R_{1}(y).

Tercera definición

Otra posible definición^[2]^[3] (nuevamente, suponiendo que $P(x)$ es una ecuación cuártica reducida) es

R_{3}(y)=y^{3}+2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{4})y-{a_{3}}^{2}{\text{.}}

El origen de esta definición radica en otro método para resolver ecuaciones cuárticas, a saber, el método de Descartes. Si se intenta encontrar las raíces de $P(x)$ expresándolas como producto de dos polinomios mónicos cuadráticos $x^{2}+\alpha x+\beta =0$ y $x^{2}-\alpha x+\gamma =0$ , entonces

P(x)=(x^{2}+\alpha x+\beta )(x^{2}-\alpha x+\gamma )\Longleftrightarrow \left\{{\begin{array}{l}\beta +\gamma -\alpha ^{2}=a_{2}\\\alpha (\gamma -\beta )=a_{3}\\\beta \gamma =a_{4}.\end{array}}\right.

Si hay una solución de este sistema con $\alpha \neq 0$ (teniendo en cuenta que la solución del sistema es cierta si $\alpha ^{2}\neq 0$ ), el sistema anterior es equivalente a

\left\{{\begin{array}{l}\beta +\gamma =a_{2}+\alpha ^{2}\\\gamma -\beta ={\frac {a_{3}}{\alpha }}\\\beta \gamma =a_{4}.\end{array}}\right.

Esto es una consecuencia de las dos primeras ecuaciones, entonces

\beta ={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+\alpha ^{2}-{\frac {a_{3}}{\alpha }}\right)

\gamma ={\frac {1}{2}}\left(a_{2}+\alpha ^{2}+{\frac {a_{3}}{\alpha }}\right).

Después de reemplazar, en la tercera ecuación, $\beta$ y $\gamma$ por estos valores se obtiene

\left(a_{2}+\alpha ^{2}\right)^{2}-{\frac {{a_{3}}^{2}}{\alpha ^{2}}}=4a_{4}{\text{,}}

y esto es equivalente a la afirmación de que $\alpha ^{2}$ es una raíz de $R_{3}(y)$ . Entonces, nuevamente, conocer las raíces de $R_{3}(y)$ ayuda a determinar las raíces de $P(x)$ .

Téngase en cuenta que

R_{3}(y)=R_{1}\left({\frac {y}{2}}\right){\text{.}}

Cuarta definición

Aún es posible otra definición^[4]

R_{4}(y)=y^{3}-a_{2}y^{2}+(a_{1}a_{3}-4a_{4})y+(4a_{2}a_{4}-{a_{1}}^{2}a_{4}-{a_{3}}^{2})

De hecho, si las raíces de $P(x)$ son $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ y $\alpha _{4}$ , entonces

R_{4}(y)={\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}

Es un hecho deducido de las relaciones de Cardano-Vieta. En otras palabras, $R_{4}(y)$ es el polinomio mónico cuyas raíces son $\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}$ , $\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}$ y $\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3}$ .

Es fácil ver esto, dado que

\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4})=(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}

\alpha _{1}\alpha _{3}+\alpha _{2}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{,}}

\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{3}\alpha _{4}-(\alpha _{1}\alpha _{4}+\alpha _{2}\alpha _{3})=(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{.}}

Por lo tanto, $P(x)$ tiene una raíz múltiple si y solo si $R_{4}(y)$ tiene una raíz múltiple. Más precisamente, $P(x)$ y $R_{4}(y)$ tienen el mismo discriminante.

Se debe tener en cuenta que si $P(x)$ es un polinomio reducido, entonces

{\begin{aligned}R_{4}(y)&=y^{3}-a_{2}y^{2}-4a_{4}y+(4a_{2}a_{4}-{a_{3}}^{2})\\&=R_{2}\left({\frac {y}{2}}\right)\end{aligned}}

Quinta definición

Otra definición más es^[5]^[6]

R_{5}(y)=y^{3}-2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}+a_{1}a_{3}-4a_{4})y+{a_{3}}^{2}-a_{1}a_{2}a_{3}+{a_{1}}^{2}a_{4}{\text{.}}

Si las raíces de $P(x)$ son $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3}$ y $\alpha _{4}$ , entonces:

R_{5}(y)={\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4}){\bigr )}{\bigl (}y-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3}){\bigr )}{\text{,}}

nuevamente como consecuencia de las relaciones de Cardano-Vieta. En otras palabras, $R_{5}(y)$ es el polinomio mónico cuyas raíces son $(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})$ , $(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})$ y $(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})$ .

Es fácil ver esto, pues

(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})=-(\alpha _{1}-\alpha _{4})(\alpha _{2}-\alpha _{3}){\text{,}}

(\alpha _{1}+\alpha _{2})(\alpha _{3}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{3})(\alpha _{2}-\alpha _{4}){\text{,}}

(\alpha _{1}+\alpha _{3})(\alpha _{2}+\alpha _{4})-(\alpha _{1}+\alpha _{4})(\alpha _{2}+\alpha _{3})=-(\alpha _{1}-\alpha _{2})(\alpha _{3}-\alpha _{4}){\text{.}}

Por lo tanto, como sucede con $R_{4}(y)$ , $P(x)$ tiene una raíz múltiple si y solo si $R_{5}(y)$ tiene una raíz múltiple. Más precisamente, $P(x)$ y $R_{5}(y)$ tienen el mismo discriminante. Esto también es una consecuencia del hecho de que $R_{5}(y+a_{2})=R_{4}(y)$ .

Téngase en cuenta que si $P(x)$ es un polinomio cuártico reducido, entonces:

{\begin{aligned}R_{5}(y)&=y^{3}-2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{4})y+{a_{3}}^{2}\\&=-R_{3}(-y)\\&=-R_{1}\left(-{\frac {y}{2}}\right){\text{.}}\end{aligned}}

Aplicaciones

Resolución de ecuaciones cuárticas

Se explicó anteriormente cómo pueden usarse $R_{1}(y)$ , $R_{2}(y)$ y $R_{3}(y)$ para encontrar las raíces de $P(x)$ si este polinomio está reducido. En el caso general, simplemente se tienen que encontrar las raíces del polinomio reducido $P\left(x-{\frac {a_{1}}{4}}\right)$ . Para cada raíz $x_{0}$ de este polinomio, $x_{0}-{\frac {a_{1}}{4}}$ es una raíz de $P(x)$ .

Factorización de polinomios cuárticos

Si un polinomio cuártico $P(x)$ es reducible en $k[x]$ , entonces es el producto de dos polinomios cuadráticos o el producto de un polinomio lineal por un polinomio cúbico. Esta segunda posibilidad ocurre si y solo si $P(x)$ tiene una raíz en $k$ . Para determinar si $P(x)$ puede expresarse o no como el producto de dos polinomios cuadráticos, suponiendo, por simplicidad, que $P(x)$ es un polinomio reducido. Como se vio anteriormente, si la cúbica resolvente $R_{3}(y)$ tiene una raíz no nula de la forma $\alpha ^{2}$ para algunos $\alpha \in k$ , entonces existe tal descomposición polinómica.

Esto puede usarse para demostrar que, en $R(x)$ , cada polinomio cuártico sin raíces reales puede expresarse como el producto de dos polinomios cuadráticos. Sea $P(x)$ tal polinomio, se puede suponer sin pérdida de generalidad que $P(x)$ es un polinomio mónico. También se puede suponer sin pérdida de generalidad que es un polinomio reducido, porque $P(x)$ puede expresarse como el producto de dos polinomios cuadráticos si y solo si $P\left(x-{\frac {a_{1}}{4}}\right)$ puede hacerlo y este polinomio es uno reducido. Entonces $R_{3}(y)=y^{3}+2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{4})y-{a_{3}}^{2}$ . Hay dos casos:

Si $a_{3}\neq 0$ entonces $R_{3}(0)=-{a_{3}}^{2}>0$ . Dado que $R_{3}(y)>0$ si $y$ es lo suficientemente grande, entonces, según el teorema del valor intermedio, $R_{3}(y)$ tiene una raíz $y_{0}$ con $y_{0}>0$ . Entonces, se puede tomar $\alpha ={\sqrt {y_{0}}}$ .
Si $a_{3}=0$ , entonces $R_{3}(y)=y^{3}+2a_{2}y^{2}+({a_{2}}^{2}-4a_{4})y$ . Las raíces de este polinomio son cero y las raíces del polinomio cuadrático $y^{2}+2a_{2}y+({a_{2}}^{2}-4a_{4})$ . Si ${a_{2}}^{2}-4a_{4}<0$ , entonces el producto de las dos raíces de este polinomio es menor que $0$ y por lo tanto tiene una raíz mayor que cero (que resulta ser $-a_{2}+{\sqrt {a_{4}}}$ ) y se puede tomar $\alpha$ como la raíz cuadrada de esa raíz. De lo contrario, ${a_{2}}^{2}-4a_{4}\geq 0$ , y entonces

P(x)=\left(x^{2}+{\frac {a_{2}+{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{4}}}}{2}}\right)\left(x^{2}+{\frac {a_{2}-{\sqrt {{a_{2}}^{2}-4a_{4}}}}{2}}\right){\text{.}}

En términos más generales, si $k$ es un cuerpo cerrado real, entonces cada polinomio cuártico sin raíces en $k$ puede expresarse como el producto de dos polinomios cuadráticos en $k[x]$ . De hecho, esta declaración puede expresarse en lógica de primer orden y cualquier declaración que se mantenga para $R(x)$ también se cumple para cualquier campo cerrado real.

Se puede usar un enfoque similar para obtener un algoritmo^[2] para determinar si un polinomio cuártico $P(x)\in Q(x)$ es reducible y, si es así, cómo expresarlo como un producto de polinomios de menor grado. Nuevamente, supondremos que $P(x)$ es mónico y reducido. Entonces $P(x)$ es reducible si y solo si se cumple al menos una de las siguientes condiciones:

El polinomio $P(x)$ tiene una raíz racional (esto se puede determinar utilizando el teorema de la raíz racional).
La cúbica resolvente $R_{3}(y)$ tiene una raíz de la forma $\alpha ^{2}$ , para algún número racional no nulo $\alpha$ (de nuevo, esto se puede determinar utilizando el teorema de la raíz racional).
El número ${a_{2}}^{2}-4a_{4}$ es el cuadrado de un número racional, y además $a_{3}=0$ .

En efecto:

Si $P(x)$ tiene una raíz racional $r$ , entonces $P(x)$ es el producto de $x-r$ por un polinomio cúbico en $Q[x]$ , que puede determinarse por división polinómica o por la regla de Ruffini.
Si hay un número racional $\alpha \neq 0$ tal que $\alpha ^{2}$ es una raíz de $R_{3}(y)$ , ya se mostró anteriormente cómo expresar $P(x)$ como producto de dos polinomios cuadráticos en $Q[x]$ .
Finalmente, si se cumple la tercera condición y si $\delta \in Q$ es tal que $\delta ^{2}={a_{2}}^{2}-4a_{4}$ , entonces $P(x)=\left(x^{2}+{\frac {a_{2}+\delta }{2}}\right)\left(x^{2}+{\frac {a_{2}-\delta }{2}}\right)$ .

Grupos de Galois de polinomios cuárticos irreducibles

La cúbica resolvente de un polinomio cuártico irreducible $P(x)$ puede usarse para determinar su grupo de Galois $G$ ; es decir, el grupo de Galois del campo de división de $P(x)$ . Sea $n$ el grado sobre $k$ del campo de división de la cúbica resolvente (puede ser $R_{4}(y)$ o $R_{5}(y)$ ; tienen el mismo campo de división). Entonces, el grupo $G$ es un subgrupo del grupo simétrico $S_{4}$ . Más precisamente:^[4]

Si $n=1$ (es decir, si los factores cúbicos resolventes en factores lineales en $k$ ), entonces $G$ es el grupo ${e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)$ }.
Si $n=2$ (es decir, si la cúbica resolvente tiene una y, salvo multiplicidad, solo una raíz en $k$ ), entonces, para determinar $G$ , se puede determinar si $P(x)$ sigue siendo irreducible después de unir al campo $k$ las raíces de la cúbica resolvente. De lo contrario, entonces $G$ es un grupo cíclico de cuarto orden; más precisamente, es uno de los tres subgrupos cíclicos de $S_{4}$ generado por cualquiera de sus seis ciclos cuádruples. Si aún es irreducible, entonces $G$ es uno de los tres subgrupos de $S_{4}$ de octavo orden, cada uno de los cuales es isomorfo al grupo diédrico de octavo orden.
Si $n=3$ , entonces $G$ es el grupo alternante $A_{4}$ .
Si $n=6$ , entonces $G$ es todo el grupo $S_{4}$ .