Número irracional

Antigua Grecia

La primera prueba del conocimiento y uso de números irracionales puede atribuirse a los pitagóricos, según mencionan las crónicas de Jámblico y de Papo de Alejandría. A través de ellos se revela que los pitagóricos manejaban la noción de la inconmensurabilidad numérica como uno de sus secretos iniciáticos, aplicándola en la construcción geométrica de esferas, pentagramas o dodecaedros. Esto coincide plenamente con el pensamiento pitagórico expuesto por Filolao de Crotona, donde el número o harmonía refleja la estructura dinámica o tensión entre la materia limitada por formas particulares y la materia en transformación. En este contexto, Hípaso de Metaponto fue acusado por la secta de revelar a los no-iniciados la existencia de los 'inconmensurables', siendo expulsado a raíz de este hecho. Milenios más tarde, este último acontecimiento sería distorsionado desde la narrativa aristotélico-protestante de la ciencia, por académicos como Eduard Zeller o Kurt von Fritz.^[3] Estos últimos ayudarían a promover el mito de que Hípaso descubrió los números irracionales durante un viaje náutico, siendo martirizado por los pitagóricos en un acto de temor y violencia dogmática, dado que, supuestamente (y en contradicción con el pensamiento pitagórico primitivo conocido hasta hoy), estos se habrían negado a aceptar la existencia de números irracionales.

De acuerdo con la narrativa aristotélico-protestante de la ciencia, el método pitagórico de la época de Hípaso afirmaba que debía existir alguna unidad indivisible suficientemente pequeña que pudiera encajar uniformemente tanto en una de estas longitudes como en la otra. Sin embargo, Hípaso, en el siglo V a. C., habría deducido que, en realidad, no existía ninguna unidad indivisible de medida común, y que la afirmación de tal existencia era en realidad una contradicción. Así, y dentro del mito moderno de Hípaso, se elucubra que este descubrió los irracionales demostrando que la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles era efectivamente conmensurable con un cateto, y que, entonces, una de esas longitudes medidas en esa unidad de medida debía ser par e impar, lo cual es imposible. Su razonamiento fue, en términos especulativos, el siguiente:

• Partimos de un triángulo rectángulo isósceles con longitudes laterales de enteros a, b y c. La relación entre la hipotenusa y un cateto está representada por c:b.
• Supongamos que a, b y c están en los términos más pequeños posibles (es decir no tienen factores comunes).
• Por el Teorema de Pitágoras: c² = a²+b² = b²+b² = 2b². (Como el triángulo es isósceles, a = b).
• Como c² = 2b², c² es divisible por 2, y por tanto par.
• Como c² es par, c debe ser par.
• Como c es par, dividiendo c por 2 se obtiene un entero. Sea y este entero (c = 2y).
• Elevando al cuadrado ambos lados de c = 2y se obtiene c² = (2y)², o c² = 4y².
• Sustituyendo 4y² por c² en la primera ecuación (c² = 2b²) nos da 4y²= 2b².
• Dividiendo por 2 nos da 2y² = b².
• Como y es un entero, y 2y² = b², b² es divisible por 2, y por tanto par.
• Como b² es par, b debe ser par.
• Acabamos de demostrar que tanto b como c deben ser pares. Por lo tanto, tienen un factor común de 2. Sin embargo, esto contradice la suposición de que no tienen factores comunes. Esta contradicción demuestra que c y b no pueden ser enteros, y por tanto la existencia de un número que no puede expresarse como cociente de dos enteros.^[4]

Los matemáticos griegos denominaron a esta relación de magnitudes inconmensurables alogos, o inexpresable. Según los aristotélico-protestantes, esto habría generado el asesinato de Hípaso por ahogamiento, "... por haber producido un elemento en el universo que negaba la... doctrina de que todos los fenómenos en el universo pueden reducirse a números enteros y sus proporciones."^[5]Sin embargo, esta es la visión de Aristóteles acerca del pensamiento pitagórico, formulada como hombre de paja para refutar la ontología de números y, especialmente, el materialismo estructural y emergencista que se vilumbraba en el pensamiento pitagórico. Esta maniobra le permitió promover su ontología basada en individuos con esencias inmutables (heredada por el protestantismo). Contrariamente, la narrativa de Pappus (S. V d.C.) se limita a señalar que Hípaso enseñó a unos no-iniciados el uso de los irracionales para construir una esfera dentro de un dodecaedro, siendo este un conocimiento iniciático celado por los pitagóricos. Este último relato señala que, en efecto, Hípaso fue simplemente exiliado por hacer una revelación a extraños.

Consiguientemente, y desde una lectura más agnóstica de la ciencia, sería preferible señalar que la divulgación de los números irracionales resultó ser un desafío para los matemáticos antiguos que estaban excluidos del pitagorismo. Estos debieron generar nuevas teorías para abordar la relación de lo discreto con lo continuo, ya fuera por ignorar las teorías pitagóricas que resolvían esta cuestión, o por oposición a la conclusiones pitagóricas (sobre la realidad primordial de la materia en movimiento y la ética de la harmonía). En efecto, y por oposición a las conclusiones pitagóricas, Parménides y Zenón de Elea generarían alternativas ontológicas y matemáticas que incorporarían los números irracionales y, al mismo tiempo, defenderían la primacía de una realidad perfectamente racional, pero extramaterial o supernatural: la Sustancia. Esta teorización permitiría que la élite helénica (y cristiana, posteriormente) pudiera lidiar con los avances de la ciencia y de las matemáticas, y, paralelamente, determinar a discreción cuál es la sustancia y el orden necesario de la realidad material en sentido político.

Desde este sustancialismo, Zenón de Elea se dio a la tarea de relaborar la concepción de que las cantidades son discretas y están compuestas por un número finito de unidades de un tamaño determinado. Las concepciones griegas más divulgadas dictaban que necesariamente debían serlo, pues "los números enteros representan objetos discretos, y una razón conmensurable representa una relación entre dos colecciones de objetos discretos",^[6] pero Zenón descubrió que, de hecho, "[las cantidades] en general no son colecciones discretas de unidades; por eso aparecen relaciones de [cantidades] inconmensurables... .[L]as cantidades son, en otras palabras, continuas".^[6] Lo que esto significa es que, contrariamente a la concepción popular de la época, no puede haber una unidad de medida indivisible y más pequeña para ninguna cantidad. Que, de hecho, estas divisiones de la cantidad deben ser necesariamente infinitas. Por ejemplo, consideremos un segmento de línea: este segmento puede dividirse por la mitad, esa mitad dividirse por la mitad, la mitad de la mitad por la mitad, y así sucesivamente. Este proceso puede continuar infinitamente, ya que siempre hay otra mitad que dividir. Cuantas más veces se divide el segmento por la mitad, más se acerca la unidad de medida a cero, pero nunca llega exactamente a cero. Esto es precisamente lo que pretendía demostrar Zenón. Intentó demostrarlo formulando las cuatro paradojas, que demostraban las contradicciones inherentes al pensamiento matemático de la época. Aunque las paradojas de Zenón demostraban con precisión las deficiencias de las concepciones matemáticas vigentes, no se consideraban una prueba de la alternativa. En la mente de los griegos, refutar la validez de un punto de vista no demostraba necesariamente la validez de otro, por lo que había que seguir investigando.

El siguiente paso fue dado por Eudoxo de Cnido, que formalizó una nueva teoría de la proporción que tenía en cuenta tanto las cantidades conmensurables como las inconmensurables. Su idea se basaba en la distinción entre magnitud y número. Una magnitud "...no era un número, sino que representaba entidades como segmentos de línea, ángulos, áreas, volúmenes y tiempo que podían variar, como diríamos, continuamente. Las magnitudes se oponían a los números, que saltaban de un valor a otro, como de 4 a 5".^[7] Los números se componen de alguna unidad más pequeña e indivisible, mientras que las magnitudes son infinitamente reducibles. Dado que no se asignaban valores cuantitativos a las magnitudes, Eudoxo pudo entonces dar cuenta tanto de las razones conmensurables como de las inconmensurables definiendo una razón en términos de su magnitud, y la proporción como una igualdad entre dos razones. Al eliminar los valores cuantitativos (números) de la ecuación, evitó la trampa de tener que expresar un número irracional como un número. "La teoría de Eudoxo permitió a los matemáticos griegos realizar enormes progresos en geometría al proporcionar el fundamento lógico necesario para las proporciones inconmensurables".^[8] Esta inconmensurabilidad se trata en los Elementos de Euclides, Libro X, Proposición 9. No fue hasta que Eudoxo desarrolló una teoría de la proporción que tenía en cuenta tanto los cocientes irracionales como los racionales cuando se creó un sólido fundamento matemático de los números irracionales.^[9]

Como resultado de la distinción entre número y magnitud, la geometría se convirtió en el único método que podía tener en cuenta las relaciones inconmensurables. Dado que los fundamentos numéricos anteriores seguían siendo incompatibles con el concepto de inconmensurabilidad, el enfoque griego se alejó de aquellas concepciones numéricas como el álgebra y se centró casi exclusivamente en la geometría. De hecho, en muchos casos las concepciones algebraicas se reformularon en términos geométricos. Esto puede explicar por qué todavía concebimos x² y x³ como x al cuadrado y x al cubo en lugar de x a la segunda potencia y x a la tercera potencia. También fue crucial para el trabajo de Zenón con las magnitudes inconmensurables el enfoque fundamental en el razonamiento deductivo que resultó de la ruptura fundacional de la matemática griega anterior. La constatación de que algún concepto básico de la teoría existente no concordaba con la realidad exigía una investigación completa y exhaustiva de los axiomas y supuestos en los que se basaba dicha teoría. A partir de esta necesidad, Eudoxo desarrolló su método de agotamiento, una especie de reductio ad absurdum que "...estableció la organización deductiva sobre la base de axiomas explícitos..." así como "...reforzó la decisión anterior de confiar en el razonamiento deductivo para la demostración".^[10] Este método de agotamiento es el primer paso en la creación del cálculo.

Teodoro de Cirene demostró la irracionalidad de la raíz enésima de los números enteros hasta 17, pero se detuvo ahí probablemente porque el álgebra que utilizó no podía aplicarse a la raíz cuadrada de 17.^[11] Dado que en la práctica de medir la longitud de un segmento de recta solo puede producir como resultado un número fraccionario, en un inicio, los griegos identificaron los números con las longitudes de los segmentos de recta.^[12] Al identificar del modo mencionado, surge la necesidad de considerar una clase de números más amplia que la de los números fraccionarios. Se atribuye a Hípaso de Metaponto perteneciente a un grupo de matemáticos pitagóricos de la existencia de segmentos de recta inconmensurables con respecto a un segmento que se toma como unidad en un sistema de medición. Pues, existen segmentos de recta cuya longitud medida en este sistema no es un número fraccionario.^[12]

Por ejemplo, en un cuadrado, la diagonal de este es inconmensurable con respecto a sus lados. Este hecho ocasionó una convulsión en el mundo científico antiguo. Provocó una ruptura entre la geometría y la aritmética de aquella época, ya que esta última, por entonces, se sustentaba en la teoría de la proporcionalidad, la cual solo se aplica a magnitudes conmensurables.

Intentaron salvar el obstáculo distinguiendo entre el concepto de número y el de longitud de un segmento de recta, y tomaron estos últimos como elementos básicos para sus cálculos. De tal modo, a los segmentos inconmensurables con respecto a la unidad tomada como patrón de medida les asignaron un nuevo tipo de magnitud: los números irracionales, los cuales por largo tiempo no se reconocieron como verdaderos números.^[12]

Irracionales entre 0 y 1

• La Constante de Champernowne: C₁₀ = 0,12345678...
• La Constante de Copeland-Erdős: ${\displaystyle \varkappa }$ = 0,23571113…
• La Constante de Prouhet-Thue-Morse: ${\displaystyle \tau }$ = 0.41245403...
• La Constante Omega: ${\displaystyle \Omega }$ = 0.56714329...
• La Constante de Cahen: ${\displaystyle \xi }$ = 0.64341054...
• El Número de Dottie: ${\displaystyle \delta }$ = 0.73908513...
• La Constante de Gauss: ${\displaystyle G}$ = 0.83462684...
• La Constante de Catalan: ${\displaystyle G}$ = 0.91596559...

Irracionales entre 1 y 2

• La Constante de Viswanath: ${\displaystyle f}$ = 1,13198824...
• La Constante de Apéry: ζ = 1.20205690...
• Número plástico: ρ = 1.32471795...
• La Raíz Cuadrada de Dos: √2 = 1,4142...
• Super Razón Áurea: ${\displaystyle \psi }$ = 1.46557123...
• Producto de Wallis: ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ = 1,57079632...
• Número Áureo: Φ = 1,61803398...
• Constante de Niven: ${\displaystyle \aleph }$ = 1,70521114...
• Constante de Tribonacci: ${\displaystyle \phi _{3}}$ = 1,83928675...
• Constante de Brun: ${\displaystyle B_{2}}$ = 1,90216057...

Irracionales entre 2 y 3

• La Constante Universal Parabólica: ${\displaystyle F_{\beta }}$ = 2,29558714...
• Ángulo Áureo: ${\displaystyle b}$ = 2,39996322...
• Número de Plata: ${\displaystyle \delta _{S}}$ = 2,41421356...
• Constante Lemniscata:${\displaystyle \varpi }$ = 2,62205755...
• Constante de Euler: e = 2,7182....
• Constante de Fransén-Robinson: ${\displaystyle F}$ = 2,80777024...