Poliedro compuesto

El icosaedro regular es un poliedro compuesto, debido a que puede construirse mediante la unión de dos pirámides pentagonales a las bases de un antiprisma pentagonal. Así mismo, al cortar tres pirámides de un icosaedro regular se produce un icosaedro tridisminuido, figura que no puede producir más poliedros convexos de caras regulares.

Un poliedro con caras regulares se denomina compuesto si existe un plano que pasa por un conjunto de sus aristas que no forman una cara. Al cortar el poliedro por este plano, se obtienen dos poliedros convexos de caras regulares, que tienen las mismas caras que el poliedro original, junto con dos caras nuevas en el plano de corte.^[1] El corte repetido de un poliedro hasta que ya no se pueden obtener más poliedros convexos de caras regulares se denomina poliedro elemental o poliedro no compuesto. También se puede definir un poliedro compuesto como el resultado de unir dos o más poliedros no compuestos.^[2][3]

El octaedro regular y el icosaedro regular son poliedros compuestos. Un octaedro regular se puede dividir en dos pirámides cuadradas, que son poliedros elementales. Al dividir el icosaedro regular mediante un plano, eliminando una y dos pirámides, se obtienen otros compuestos: los poliedros pirámide pentagonal giroelongada e icosaedro metabidisminuido; y al eliminar la tercera pirámide, se obtiene un poliedro elemental conocido como icosaedro tridisminuido. La familia de los prismas y de los antiprismas son ejemplos de poliedros elementales. Además de la pirámide cuadrada equilátera y del icosaedro tridisminuido, los sólidos de Johnson elementales son la pirámide pentagonal, la cúpula triangular, la cúpula cuadrada, la cúpula pentagonal, la rotonda pentagonal, el rombicosidodecaedro parabidisminuido, el rombicosidodecaedro tridisminuido, el biesfenoide romo, el antiprisma cuadrado romo, la esfenocorona, la esfenomegacorona, la hebesfenomegacorona, el biesfenocíngulo, la bilunabirrotonda y la hebesfenorrotonda triangular.^[2][4]

Los poliedros elementales de caras regulares pueden enumerarse a partir de los poliedros convexos de caras regulares. Zalgaller (1967) expresó interés en enumerar los poliedros elementales cuyas caras son polígonos regulares o sumas de polígonos regulares, proporcionando veintiocho ejemplos. Estos se denominan sólidos de Zalgaller.^[5][6] Ivanov (1971) y Pryakhin (1973) proporcionan seis ejemplos más: los cinco sólidos de Ivanov y el sólido de Pryakhin, respectivamente.^[7][8][6].

1. ↑ Slobodan, Mišić; Obradović, Marija; Ðukanović, Gordana (2015). «Composite Concave Cupolae as Geometric and Architectural Forms». Journal for Geometry and Graphics 19 (1): 79-91. 
2. 1 2 Timofeenko, A. V. (2009). «Convex Polyhedra with Parquet Faces». Doklady Mathematics 80 (2): 720-723. doi:10.1134/S1064562409050238. 
3. ↑ Hartshorne, Robin (2000). Geometry: Euclid and Beyond. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. p. 464. ISBN 9780387986500. 
4. ↑ Johnson, Norman (1966). «Convex Solids with Regular Faces». Canadian Journal of Mathematics 18: 169-200. doi:10.4153/CJM-1966-021-8. 
5. ↑ Zalgaller, V. A. (1967). «Convex polyhedra with regular faces». Zapiski Nauchnykh Seminarov LOMI 2: 5-221. 
6. 1 2 Timofeenko, A. V. (2010). «Junction of Non-composite Polyhedra». St. Petersburg Mathematical Journal 21 (3): 483-512. doi:10.1090/S1061-0022-10-01105-2. 
7. ↑ Ivanov, B. A. (1971). «Polyhedra with faces that are composed of regular polygons». Ukrain. Geom. Sb (en ruso) (10): 20-34. MR 0301634. 
8. ↑ Pryakhin, Yu. A. (1973). «Convex polyhedra with regular faces». Ukrain. Geom. Sb. (en ruso) (14): 83-88. MR 0338930.