Propiedad de la relación binaria homogénea

En matemáticas, una relación binaria^[1] homogénea es una relación matemática ${\mathcal {R}}$ entre dos elementos que pertenecen al mismo conjunto. Una relación ${\mathcal {R}}$ de $A^{2}$ se puede representar mediante pares ordenados $(a,b)$ para los cuales se cumple una propiedad ${\mathcal {P}}(a,b)$ , de forma que $(a,b)\in A^{2}$ , y se anota:

{\mathcal {R}}=\left\{\left(a,b\right)\in A^{2}\mid {\mathcal {P}}\left(a,b\right)\right\}

Que se lee: la relación binaria ${\mathcal {R}}$ es el conjunto de pares ordenados $(a,b)$ pertenecientes al producto cartesiano $A^{2}$ , y para los cuales se cumple la propiedad ${\mathcal {P}}$ que los relaciona.

Por oposición a la relación binaria heterogenia, o correspondencia matemática donde los dos elementos de la relación binaria son de conjuntos diferentes.

Esta relación puede cumplir o no una determinada propiedad de la relación binaria homogénea según estas propiedades se determina una determinada estructura en el conjunto respecto a la relación binaria definida.

Propiedad reflexiva

En una relación binaria homogénea la reflexividad determina la posible relación de un elemento con sigo mismo, en todos los casos, nunca o a veces.

Artículo principal: Relación reflexiva

Una relación es reflexiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(a,b)\}$

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación reflexiva, si cumple:

Relación reflexiva: la relación R es reflexiva si todo elemento a de A está relacionado con sigo mismo.

$\forall a\in A:\;(a,a)\in R$

Para todo a de A se cumple que (a,a) pertenece a R

Propiedad no reflexiva

Una relación es no reflexiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(a,b)\}$

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación no reflexiva, si cumple:

Relación no reflexiva: la relación R es no reflexiva si existen elementos a de A que no está relacionados con sigo mismo.

$\exists a\in A:\;(a,a)\notin R$

Existe a de A que cumple que (a,a) no pertenece a R

Propiedad irreflexiva

Artículo principal: Relación irreflexiva

Una relación es irreflexiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(a,b)\}$

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación irreflexiva, si cumple:

Relación irreflexiva: la relación R es irreflexiva si ningún elemento a de A está relacionado con sigo mismo.

$\forall a\in A:\;(a,a)\notin R$

Para todo a de A se cumple que (a,a) no pertenece a R

Propiedad no irreflexiva

Una relación es no irreflexiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(a,b)\}$

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación no irreflexiva, si cumple:

Relación no irreflexiva: la relación R es no irreflexiva si existen elementos a de A que están relacionados con sigo mismo.

$\exists a\in A:\;(a,a)\in R$

Existen elementos a de A que cumplen que (a,a) pertenece a R

Propiedad arreflexiva

Una relación es arreflexiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(a,b)\}$

Se dice que esta relación binaria homogénea es relación arreflexiva, si cumple:

Relación arreflexiva: la relación R es arreflexiva si existen elementos a de A que están relacionados con sigo mismo y existen elementos b de A que no están relacionados con sigo mismo.

${\Bigg \{}{\begin{array}{l}\exists a\in A\;:\;(a,a)\in R\\\exists b\in A\;:\;(b,b)\notin R\end{array}}$

Existen elementos a de A que cumplen que (a,a) pertenece a R y existen elementos b de A que cumplen que (b,b) no pertenece a R

Simetría

En una relación binaria homogénea la simetría determina la posible de que si un elemento a está relacionado con otro b el b este relacionado con el a, en todos los casos, nunca o a veces.

Propiedad simétrica

Artículo principal: Relación simétrica

Una relación es simétrica si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación simética, si cumple:

Relación simétrica: la relación R es simétrica si el elemento a está relacionado con b, entonces b está relacionado con a.

$\forall a,b\in A\;:\;(a,b)\in R\quad \longrightarrow \quad (b,a)\in R$

Para todo a, b de A si cumple que (a,b) pertenece a R, entonces (b,a) también pertenece a R.

Propiedad no simétrica

Una relación es no simétrica si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación no simétrica, si cumple:

Relación no simétrica: la relación R es no simétrica si existe el elemento a que está relacionado con b y b no está relacionado con a.

$\exists a,b\in A\;:\;(a,b)\in R\quad \land \quad (b,a)\notin R$

Existen a, b de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,a) no pertenece a R.

Propiedad antisimétrica

Artículo principal: Relación antisimétrica

Una relación es antisimétrica si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación antisimética, si cumple:

Relación antisimétrica: la relación R es antisimetrica si el elemento a está relacionado con b, entonces b no está relacionado con a.

$\forall a,b\in A\;:\;(a,b)\in R\quad \longrightarrow \quad (b,a)\notin R$

Para todo a, b de A si cumple que (a,b) pertenece a R, entonces (b,a) no pertenece a R.

Propiedad no antisimétrica

Una relación es no antisimétrica si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación no antisimética, si cumple:

Relación no antesimétrica: la relación R es no antisimetrica si existe el elemento a que está relacionado con b y b que está relacionado con a.

$\exists a,b\in A\;:\;(a,b)\in R\quad \land \quad (b,a)\in R$

Existe a, b de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,a) pertenece a R.

Propiedad asimétrica

Una relación es asimétrica si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación asimética, si cumple:

Relación asimétrica: la relación R es asimétrica si existe el elemento a que está relacionado con b y b está relacionado con a y existe el elemento c que está relacionado con d y d no está relacionado con c.

${\Bigg \{}{\begin{array}{l}\exists a,b\in A\;:\;(a,b)\in R\;\land \;(b,a)\in R\\\exists c,d\in A\;:\;(c,d)\in R\;\land \;(d,c)\notin R\end{array}}$

Existe a, b de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,a) pertenece a R y existe c, d de A que cumple que (c,d) pertenece a R y (d,c) no pertenece a R.

Transitividad

En una relación binaria homogénea, la transitividad, determina la posible relación de un elemento con un segundo, la de este segundo con un tercero y la del primero con el tercero, en todos los casos, nunca o a veces.

Propiedad transitiva

Artículo principal: Relación transitiva

Una relación es transitiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación transitiva, si cumple:

Relación transitiva: la relación R es transitiva si el elemento a está relacionado con b y b esta relacionad con c, entonces a está relacionado con c.

$\forall a,b,c\in A\;:\;(a,b)\in R\;\land \;(b,c)\in R\quad \longrightarrow \quad (a,c)\in R$

Para todo a, b, c de A si se cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R, entonces (a,c) pertenece a R.

Propiedad no transitiva

Una relación es no transitiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación no transitiva, si cumple:

Relación no transitiva: la relación R es no transitiva si existen los elementos a que está relacionado con b y b que esta relacionad con c y a no esta relacionado con c.

$\exists a,b,c\in A\;:\;(a,b)\in R\quad \land \quad (b,c)\in R\quad \land \quad (a,c)\notin R$

Existen a, b, c de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R y (a,c) no pertenece a R.

Propiedad intransitiva

Artículo principal: Relación intransitiva

Una relación es intransitiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación intransitiva, si cumple:

Relación intransitiva: la relación R es intransitiva si el elemento a está relacionado con b y b esta relacionad con c, entonces a no está relacionado con c.

$\forall a,b,c\in A\;:\;(a,b)\in R\;\land \;(b,c)\in R\quad \longrightarrow \quad (a,c)\notin R$

Para todo a, b, c de A si se cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R, entonces (a,c) no pertenece a R.

Propiedad no intransitiva

Una relación es no intransitiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación no intransitiva, si cumple:

Relación no intransitiva: la relación R es no intransitiva si existen los elementos a que está relacionado con b y b que esta relacionad con c y a está relacionado con c.

$\exists a,b,c\in A\;:\;(a,b)\in R\quad \land \quad (b,c)\in R\quad \land \quad (a,c)\in R$

Existen a, b, c de A que cumple que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertecece a R y (a,c) pertenece a R.

Propiedad atransitiva

Una relación es atransitiva si:

Dado un conjunto A, y una relación binaria homogénea: R entre sus elementos

$R=\{(a,b)\in \;A^{2}:\quad R(b,a)\}$

Se dice que una relación binaria homogénea es relación atransitiva, si cumple:

Relación atransitiva: la relación R es atransitiva si existen los elementos: a que está relacionado con b y b que está relacionado con c y a está relacionado con c, y existen los elementos d que está relacionado con e y e está relacionado con f y d no está relacionado con f.

${\Bigg \{}{\begin{array}{l}\exists a,b,c\in A\;:\;(a,b)\in R\;\land \;(b,c)\in R\;\land \;(a,c)\in R\\\exists d,e,f\in A\;:\;(d,e)\in R\;\land \;(e,f)\in R\;\land \;(d,f)\notin R\end{array}}$

Existen a, b, c de A que cumplen que (a,b) pertenece a R y (b,c) pertenece a R y (a,c) pertenece a R y existen d, e , f de A que cumplen que (d,e) pertenece a R y (e,f) pertenece a R y (d,f) no pertenece a R.