Solución fluida

Los componentes de un tensor calculados con respecto a un campo de referencia en lugar de la base de coordenadas se denominan a menudo «componentes físicos», ya que son los componentes que (en principio) pueden ser medidos por un observador.

En el caso especial de un «fluido perfecto», un «marco adaptado»

${\displaystyle {\vec {e}}_{0},\;{\vec {e}}_{1},\;{\vec {e}}_{2},\;{\vec {e}}_{3}}$

(el primero es un campo vectorial unitario temporal, los tres últimos son campos vectoriales unitarios espaciales) en el que el tensor de Einstein toma la forma simple:

${\displaystyle G^{{\widehat {a\,}}{\widehat {b\,}}}=8\pi \,\left[{\begin{matrix}\mu &0&0&0\\0&p&0&0\\0&0&p&0\\0&0&0&p\end{matrix}}\right]}$

donde ${\displaystyle \mu }$ es la «densidad de energía» y ${\displaystyle p}$ es la «presión» del fluido. Aquí, el campo vectorial unitario temporal ${\displaystyle {\vec {e}}_{0}}$ es tangente en todas partes a las líneas mundiales de los observadores que se mueven junto con los elementos fluidos, por lo que la densidad y la presión que acabamos de mencionar son las medidas por los observadores que se mueven junto con ellos. Estas son las mismas cantidades que aparecen en la expresión de la base de coordenadas generales dada en la sección anterior; para verlo, basta con poner ${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {e}}_{0}}$. A partir de la forma de los componentes físicos, es fácil ver que el grupo de isotropía de cualquier fluido perfecto es isomorfo al grupo de Lie tridimensional SO(3), el grupo de rotación ordinario.

El hecho de que estos resultados sean exactamente los mismos para los espacios-tiempos curvos que para la hidrodinámica en el espacio-tiempo de Minkowski plano es una expresión del principio de equivalencia.

El polinomio característico del tensor de Einstein en un fluido perfecto debe tener la forma

${\displaystyle \chi (\lambda )=\left(\lambda -8\pi \mu \right)\,\left(\lambda -8\pi p\right)^{3}}$

donde ${\displaystyle \mu ,\,p}$ son nuevamente la densidad y la presión del fluido medidas por observadores que se mueven junto con los elementos del fluido. (Obsérvese que estas cantidades pueden «variar» dentro del fluido). Al escribir esto y aplicar métodos de base de Gröbner para simplificar las relaciones algebraicas resultantes, encontramos que los coeficientes de la característica deben satisfacer las dos condiciones algebraicamente independientes (e invariantes) siguientes:

${\displaystyle 12a_{4}+a_{2}^{2}-3a_{1}a_{3}=0}$

${\displaystyle a_{1}a_{2}a_{3}-9a_{3}^{2}-9a_{1}^{2}a_{4}+32a_{2}a_{4}=0}$

Pero según las identidades de Newton, las trazas de las potencias del tensor de Einstein están relacionadas con estos coeficientes de la siguiente manera:

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=t_{1}=a_{1}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=t_{2}=a_{1}^{2}-2a_{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=t_{3}=a_{1}^{3}-3a_{1}a_{2}+3a_{3}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=t_{4}=a_{1}^{4}-4a_{1}^{2}a_{2}+4a_{1}a_{3}+2a_{2}^{2}-a_{4}}$

por lo que podemos reescribir las dos cantidades anteriores completamente en términos de las trazas de las potencias. Estas son, obviamente, invariantes escalares y deben desaparecer de forma idéntica en el caso de una solución de fluido perfecto:

${\displaystyle t_{2}^{3}+4t_{3}^{2}+t_{1}^{2}t_{4}-4t_{2}t_{4}-2t_{1}t_{2}t_{3}=0}$

${\displaystyle t_{1}^{4}+7t_{2}^{2}-8t_{1}^{2}t_{2}+12t_{1}t_{3}-12t_{4}=0}$

Obsérvese que esto no supone nada sobre ninguna posible ecuación de estado que relacione la presión y la densidad del fluido; solo se supone que se tiene un valor propio simple y otro triple.

En el caso de una solución de polvo (presión nula), estas condiciones se simplifican considerablemente:

${\displaystyle a_{2}\,=a_{3}=a_{4}=0}$

o

${\displaystyle t_{2}=t_{1}^{2},\;\;t_{3}=t_{1}^{3},\;\;t_{4}=t_{1}^{4}}$

En notación de gimnasia tensorial, esto se puede escribir utilizando el escalar de Ricci como:

${\displaystyle {G^{a}}_{a}=-R}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{a}=R^{2}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{a}=-R^{3}}$

${\displaystyle {G^{a}}_{b}\,{G^{b}}_{c}\,{G^{c}}_{d}\,{G^{d}}_{a}=-R^{4}}$

En el caso de un fluido de radiación, los criterios se convierten en

${\displaystyle a_{1}=0,\;27\,a_{3}^{2}+8a_{2}^{3}=0,\;12\,a_{4}+a_{2}^{2}=0}$

o

${\displaystyle t_{1}=0,7\,t_{3}^{2}-t_{2}\,t_{4}=0,\;12\,t_{4}-7\,t_{2}^{2}=0}$

Al utilizar estos criterios, hay que tener cuidado de asegurarse de que el mayor valor propio pertenezca a un vector propio «temporal», ya que existen variedades lorentzianas que satisfacen este criterio de valor propio, en las que el mayor valor propio pertenece a un vector propio «espacial», y estas no pueden representar fluidos de radiación.

Los coeficientes de la característica suelen parecer muy complicados, y las trazas no son mucho mejores; cuando se buscan soluciones, casi siempre es mejor calcular los componentes del tensor de Einstein con respecto a un marco adecuadamente adaptado y luego eliminar directamente las combinaciones apropiadas de componentes. Sin embargo, cuando no hay un marco adaptado evidente, estos criterios de valores propios pueden ser útiles en ocasiones, especialmente cuando se emplean junto con otras consideraciones.

Estos criterios pueden ser útiles a menudo para comprobar puntualmente soluciones supuestamente perfectas para fluidos, en cuyo caso los coeficientes de la característica suelen ser mucho más sencillos que los que tendrían para un fluido imperfecto más simple.