Teorema de Donsker

Sea F_n la función de distribución empírica de la sucesión de variables aleatorias i.i.d. ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$ con función de distribución F. Defina la versión centrada y escalada de F_n mediante

${\displaystyle G_{n}(x)={\sqrt {n}}(F_{n}(x)-F(x))}$

indexado por x ∈ R . Por el teorema clásico del límite central, para x fijo, la variable aleatoria G_n(x) converge en distribución a una variable aleatoria gaussiana (normal) G (x) con media cero y varianza F (x)(1 − F(x)) a medida que crece el tamaño de la muestra n .

Teorema (Donsker, Skorokhod, Kolmogorov) La sucesión de G_n( x ), como elementos aleatorios del espacio de Skorokhod ${\displaystyle {\mathcal {D}}(-\infty ,\infty )}$, converge en distribución a un proceso gaussiano G con media cero y covarianza dada por

${\displaystyle \operatorname {cov} [G(s),G(t)]=E[G(s)G(t)]=\min\{F(s),F(t)\}-F(s)}$${\displaystyle {F}(t).}$

El proceso G (x) se puede escribir como B (F(x)) donde B es un puente browniano estándar en el intervalo unitario .

Boceto de la prueba

Para distribuciones de probabilidad continuas, se reduce al caso en que la distribución es uniforme en ${\displaystyle [0,1]}$ por la transformada inversa .

Dada cualquier secuencia finita de tiempos ${\displaystyle 0<t_{1}<t_{2}<\dots <t_{n}<1}$, tenemos que ${\displaystyle NF_{N}(t_{1})}$ se distribuye como una distribución binomial con media ${\displaystyle Nt_{1}}$ y varianza ${\displaystyle Nt_{1}(1-t_{1})}$ .

De manera similar, la distribución conjunta de ${\displaystyle F_{N}(t_{1}),F_{N}(t_{2}),\dots ,F_{N}(t_{n})}$ es una distribución multinomial. Ahora bien, la aproximación del límite central para distribuciones multinomiales afirma que ${\displaystyle \lim _{N}{\sqrt {N}}(F_{N}(t_{i})-t_{i})}$ converge en distribución a un proceso gaussiano con matriz de covarianza con entradas ${\displaystyle \min(t_{i},t_{j})-t_{i}t_{j}}$, que es precisamente la matriz de covarianza del puente browniano.

Kolmogorov (1933) demostró que cuando F es continua, el supremo, ${\displaystyle \scriptstyle \sup _{t}G_{n}(t)}$, y el supremo del valor absoluto, ${\displaystyle \scriptstyle \sup _{t}|G_{n}(t)|}$, convergen en distribución a las leyes de los mismos funcionales del puente browniano B (t), véase la prueba de Kolmogorov-Smirnov. En 1949, Doob se preguntó si la convergencia en distribución se cumplía para funcionales más generales, formulando así un problema de convergencia débil de funciones aleatorias en un espacio funcional adecuado.^[3]

En 1952, Donsker formuló y demostró (no del todo correctamente)^[4] una extensión general del enfoque heurístico de Doob-Kolmogorov. En el artículo original, Donsker demostró que la convergencia en ley de G_n al puente browniano se cumple para distribuciones uniformes [0,1] con respecto a la convergencia uniforme en t en el intervalo [0,1].^[5]

Sin embargo, la formulación de Donsker no era del todo correcta debido al problema de la medibilidad de los funcionales de los procesos discontinuos. En 1956, Skorokhod y Kolmogorov definieron una métrica separable d, denominada métrica de Skorokhod, en el espacio de funciones càdlàg en [0,1], tal que la convergencia de d a una función continua es equivalente a la convergencia de la norma del supremo, y demostraron que G_n converge en ley en ${\displaystyle {\mathcal {D}}[0,1]}$ al puente browniano.

Posteriormente, Dudley reformuló el resultado de Donsker para evitar el problema de la medibilidad y la necesidad de la métrica de Skorokhod. Se puede demostrar^[6] que existen X_i, i.i.d. uniformes en [0,1] y una sucesión de puentes brownianos continuos B _n, tales que

${\displaystyle \|G_{n}-B_{n}\|_{\infty }}$

es medible y converge en probabilidad a 0. Una versión mejorada de este resultado, que proporciona más detalles sobre la tasa de convergencia, es la aproximación de Komlós–Major–Tusnády .

• Prueba de Kolmogorov-Smirnov