Teorema de Donsker

En teoría de la probabilidad, el teorema de Donsker (también conocido como principio de invariancia de Donsker o teorema del límite central funcional), llamado así por Monroe D. Donsker, es una extensión funcional del teorema del límite central para funciones de distribución empíricas. Específicamente, el teorema establece que una versión adecuadamente centrada y escalada de la función de distribución empírica converge a un proceso gaussiano .

Sea $X_{1},X_{2},X_{3},\ldots$ una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.) con media 0 y varianza 1. Sea $S_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ . El proceso estocástico $S:=(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ se conoce como una caminata aleatoria . Defina el paseo aleatorio reescalado (proceso de sumas parciales) por

W^{(n)}(t):={\frac {S_{\lfloor nt\rfloor }}{\sqrt {n}}},\qquad t\in [0,1].

El teorema del límite central afirma que $W^{(n)}(1)$ converge en distribución a una variable aleatoria gaussiana estándar $W(1)$ conforme $n\to \infty$ . El principio de invariancia de Donsker^[1]^[2] extiende esta convergencia a toda la función $W^{(n)}:=(W^{(n)}(t))_{t\in [0,1]}$ . En su forma moderna, el principio de invariancia de Donsker establece que: A medida que las variables aleatorias toman valores en el espacio de Skorokhod ${\mathcal {D}}[0,1]$ , la función aleatoria $W^{(n)}$ converge en distribución a un movimiento browniano estándar $W:=(W(t))_{t\in [0,1]}$ conforme $n\to \infty .$

Boceto de la prueba

Sea F_n la función de distribución empírica de la sucesión de variables aleatorias i.i.d. $X_{1},X_{2},X_{3},\ldots$ con función de distribución F. Defina la versión centrada y escalada de F_n mediante

G_{n}(x)={\sqrt {n}}(F_{n}(x)-F(x))

indexado por x ∈ R . Por el teorema clásico del límite central, para x fijo, la variable aleatoria G_n(x) converge en distribución a una variable aleatoria gaussiana (normal) G (x) con media cero y varianza F (x)(1 − F(x)) a medida que crece el tamaño de la muestra n .

Teorema (Donsker, Skorokhod, Kolmogorov) La sucesión de G_n( x ), como elementos aleatorios del espacio de Skorokhod ${\mathcal {D}}(-\infty ,\infty )$ , converge en distribución a un proceso gaussiano G con media cero y covarianza dada por

\operatorname {cov} [G(s),G(t)]=E[G(s)G(t)]=\min\{F(s),F(t)\}-F(s)

{F}(t).

El proceso G (x) se puede escribir como B (F(x)) donde B es un puente browniano estándar en el intervalo unitario .

Para distribuciones de probabilidad continuas, se reduce al caso en que la distribución es uniforme en $[0,1]$ por la transformada inversa .

Dada cualquier secuencia finita de tiempos $0<t_{1}<t_{2}<\dots <t_{n}<1$ , tenemos que $NF_{N}(t_{1})$ se distribuye como una distribución binomial con media $Nt_{1}$ y varianza $Nt_{1}(1-t_{1})$ .

De manera similar, la distribución conjunta de $F_{N}(t_{1}),F_{N}(t_{2}),\dots ,F_{N}(t_{n})$ es una distribución multinomial. Ahora bien, la aproximación del límite central para distribuciones multinomiales afirma que $\lim _{N}{\sqrt {N}}(F_{N}(t_{i})-t_{i})$ converge en distribución a un proceso gaussiano con matriz de covarianza con entradas $\min(t_{i},t_{j})-t_{i}t_{j}$ , que es precisamente la matriz de covarianza del puente browniano.

Historia y resultados relacionados

Kolmogorov (1933) demostró que cuando F es continua, el supremo, $\scriptstyle \sup _{t}G_{n}(t)$ , y el supremo del valor absoluto, $\scriptstyle \sup _{t}|G_{n}(t)|$ , convergen en distribución a las leyes de los mismos funcionales del puente browniano B (t), véase la prueba de Kolmogorov-Smirnov. En 1949, Doob se preguntó si la convergencia en distribución se cumplía para funcionales más generales, formulando así un problema de convergencia débil de funciones aleatorias en un espacio funcional adecuado.^[3]

En 1952, Donsker formuló y demostró (no del todo correctamente)^[4] una extensión general del enfoque heurístico de Doob-Kolmogorov. En el artículo original, Donsker demostró que la convergencia en ley de G_n al puente browniano se cumple para distribuciones uniformes [0,1] con respecto a la convergencia uniforme en t en el intervalo [0,1].^[5]

Sin embargo, la formulación de Donsker no era del todo correcta debido al problema de la medibilidad de los funcionales de los procesos discontinuos. En 1956, Skorokhod y Kolmogorov definieron una métrica separable d, denominada métrica de Skorokhod, en el espacio de funciones càdlàg en [0,1], tal que la convergencia de d a una función continua es equivalente a la convergencia de la norma del supremo, y demostraron que G_n converge en ley en ${\mathcal {D}}[0,1]$ al puente browniano.

Posteriormente, Dudley reformuló el resultado de Donsker para evitar el problema de la medibilidad y la necesidad de la métrica de Skorokhod. Se puede demostrar^[6] que existen X_i, i.i.d. uniformes en [0,1] y una sucesión de puentes brownianos continuos B _n, tales que

\|G_{n}-B_{n}\|_{\infty }

es medible y converge en probabilidad a 0. Una versión mejorada de este resultado, que proporciona más detalles sobre la tasa de convergencia, es la aproximación de Komlós–Major–Tusnády .

Teorema de Donsker

Boceto de la prueba

Historia y resultados relacionados

Véase también

Referencias

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