Teorema de Stokes generalizado

El segundo teorema fundamental del cálculo establece que la integral de una función ${\displaystyle f}$ sobre el intervalo ${\displaystyle [a,b]}$ puede calcularse encontrando una antiderivada ${\displaystyle F}$ de ${\displaystyle f}$:$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)\,.}$$

El teorema de Stokes es una generalización vasta de este teorema en el siguiente sentido:

• Con la elección de ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle {\frac {dF}{dx}}=f(x)}$. En el lenguaje de las formas diferenciales, esto indica que ${\displaystyle f(x)\,dx}$ es la derivada exterior de la 0-forma, es decir, la función ${\displaystyle F}$: en otras palabras, que ${\displaystyle dF=f\,dx}$. El teorema de Stokes general aplica a formas diferenciales de grado superior ${\displaystyle \omega }$ en lugar de solo 0-formas como ${\displaystyle F}$.
• Un intervalo cerrado ${\displaystyle [a,b]}$ es un ejemplo simple de una variedad con frontera unidimensional. Su frontera es el conjunto que consta de los dos puntos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$. Integrar ${\displaystyle f}$ sobre el intervalo puede generalizarse a integrar formas en una variedad de mayor dimensión. Se necesitan dos condiciones técnicas: la variedad debe ser orientable, y la forma debe tener soporte compacto para que la integral esté bien definida.
• Los dos puntos ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ forman la frontera del intervalo cerrado. De manera más general, el teorema de Stokes aplica a variedades orientadas ${\displaystyle M}$ con frontera. La frontera ${\displaystyle \partial M}$ de ${\displaystyle M}$ es en sí misma una variedad y hereda una orientación natural de la de ${\displaystyle M}$. Por ejemplo, la orientación natural del intervalo da una orientación a los dos puntos de la frontera. Intuitivamente, ${\displaystyle a}$ hereda la orientación opuesta a ${\displaystyle b}$, ya que están en extremos opuestos del intervalo. Así, «integrar» ${\displaystyle F}$ sobre los dos puntos de la frontera ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ es tomar la diferencia ${\displaystyle F(b)-F(a)}$.

En términos aún más simples, se puede considerar los puntos como fronteras de curvas, es decir, como fronteras 0-dimensionales de variedades 1-dimensionales. Así, al igual que se puede encontrar el valor de una integral (${\displaystyle f\,dx=dF}$) sobre una variedad 1-dimensional (${\displaystyle [a,b]}$) considerando la antiderivada (${\displaystyle F}$) en las fronteras 0-dimensionales (${\displaystyle \{a,b\}}$), se puede generalizar el teorema fundamental del cálculo, con algunas advertencias adicionales, para tratar el valor de integrales (${\displaystyle d\omega }$) sobre variedades ${\displaystyle n}$-dimensionales (${\displaystyle \Omega }$) considerando la antiderivada (${\displaystyle \omega }$) en las fronteras ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionales (${\displaystyle \partial \Omega }$) de la variedad.

Por lo tanto, el teorema fundamental dice: $${\displaystyle \int _{[a,b]}f(x)\,dx=\int _{[a,b]}\,dF=\int _{\partial [a,b]}\,F=\int _{\{a\}^{-}\cup \{b\}^{+}}F=F(b)-F(a)\,.}$$

Sea ${\displaystyle \Omega }$ una variedad orientada diferenciable de dimensión ${\displaystyle n}$ con frontera y sea ${\displaystyle \alpha }$ una diferenciable ${\displaystyle n}$-forma diferencial con soporte compacto en ${\displaystyle \Omega }$. Primero, supongamos que ${\displaystyle \alpha }$ tiene soporte compacto en el dominio de una única carta de coordenadas orientada ${\displaystyle \{U,\varphi \}}$. En este caso, definimos la integral de ${\displaystyle \alpha }$ sobre ${\displaystyle \Omega }$ como $${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha =\int _{\varphi (U)}(\varphi ^{-1})^{*}\alpha \,,}$$ es decir, mediante el regrediente de ${\displaystyle \alpha }$ a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.

De manera más general, la integral de ${\displaystyle \alpha }$ sobre ${\displaystyle \Omega }$ se define como sigue: Sea ${\displaystyle \{\psi _{i}\}}$ una partición de la unidad asociada con una cubierta localmente finita ${\displaystyle \{U_{i},\varphi _{i}\}}$ de cartas de coordenadas (consistentemente orientadas), entonces definimos la integral$${\displaystyle \int _{\Omega }\alpha \equiv \sum _{i}\int _{U_{i}}\psi _{i}\alpha \,,}$$ donde cada término de la suma se evalúa retractando a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ como se describió anteriormente. Esta cantidad está bien definida; es decir, no depende de la elección de las cartas de coordenadas ni de la partición de la unidad.

El teorema de Stokes generalizado dice:

Sea ${\displaystyle \omega }$ una forma diferenciable ${\displaystyle (n-1)}$-forma con soporte compacto en una variedad orientada ${\displaystyle n}$-dimensional con frontera ${\displaystyle \Omega }$, donde ${\displaystyle \partial \Omega }$ recibe la orientación inducida. Entonces $${\displaystyle \int _{\Omega }d\omega =\int _{\partial \Omega }\omega .}$$

Aquí ${\displaystyle d}$ es la derivada exterior, que se define usando únicamente la estructura de la variedad. El lado derecho de la ecuación a veces se escribe como ${\textstyle \oint _{\partial \Omega }\omega }$ para enfatizar que la variedad ${\displaystyle (n-1)}$-dimensional ${\displaystyle \partial \Omega }$ no tiene frontera.^{[Nota 1]} (Este hecho también es una implicación del teorema de Stokes, ya que para una variedad diferenciable ${\displaystyle n}$-dimensional dada ${\displaystyle \Omega }$, la aplicación del teorema dos veces da ${\textstyle \int _{\partial (\partial \Omega )}\omega =\int _{\Omega }d(d\omega )=0}$ para cualquier ${\displaystyle (n-2)}$-forma ${\displaystyle \omega }$, lo que implica que ${\displaystyle \partial (\partial \Omega )=\emptyset }$.) El lado derecho de la ecuación a menudo se usa para formular leyes integrales; el lado izquierdo lleva a formulaciones diferenciales equivalentes (véase más abajo).

El teorema se usa a menudo en situaciones donde ${\displaystyle \Omega }$ es una subvariedad orientada embebida de alguna variedad mayor, a menudo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$, en la cual la forma ${\displaystyle \omega }$ está definida.

Sea M una variedad diferenciable. Un símplex singular diferenciable k en M se define como una aplicación diferenciable desde el símplex estándar en R^k a M. El grupo C_k(M, Z) de cadenas k-singulares en M se define como el grupo abeliano libre sobre el conjunto de símplexes k-singulares en M. Estos grupos, junto con el mapa frontera, ∂, definen un complejo de cadenas. La homología (resp. cohomología) correspondiente es isomorfa al grupo de homología singular usual H_k(M, Z) (resp. el grupo de cohomología singular {{math|H^k(M, Z)}), definido usando símplexes continuos en lugar de diferenciables en M.

Por otro lado, las formas diferenciales, con la derivada exterior, d, como el mapa de conexión, forman un complejo de cocadenas, que define los grupos de cohomología de De Rham ${\displaystyle H_{dR}^{k}(M,\mathbf {R} )}$.

Las formas k-diferenciales pueden integrarse sobre un símplex k de manera natural, retractando a R^k. Extendiendo por linealidad permite integrar sobre cadenas. Esto da un mapa lineal desde el espacio de k-formas al k-ésimo grupo de cocadenas singulares, C^k(M, Z), los funcionales lineales sobre C_k(M, Z). En otras palabras, una k-forma ω define un funcional $${\displaystyle I(\omega )(c)=\oint _{c}\omega .}$$ sobre las k-cadenas. El teorema de Stokes dice que esto es un mapa de cadenas de la cohomología de De Rham a la cohomología singular con coeficientes reales; la derivada exterior, d, se comporta como el dual de ∂ en las formas. Esto da un homomorfismo de la cohomología de De Rham a la cohomología singular. A nivel de formas, esto significa:

1. Las formas cerradas, es decir, dω = 0, tienen integral cero sobre fronteras, es decir, sobre variedades que pueden escribirse como ∂Σ_c M_c, y
2. Las formas exactas, es decir, ω = dσ, tienen integral cero sobre ciclos, es decir, si las fronteras suman el conjunto vacío: ∂Σ_c M_c = ∅.

El teorema de De Rham muestra que este homomorfismo es en efecto un isomorfismo. En otras palabras, si {c_i} son ciclos que generan el k-ésimo grupo de homología, entonces para cualquier número real correspondiente, {a_i} , existe una forma cerrada, ω, tal que $${\displaystyle \oint _{c_{i}}\omega =a_{i}\,,}$$

y esta forma es única salvo formas exactas.

El teorema de Stokes en variedades diferenciables puede derivarse del teorema de Stokes para cadenas en variedades diferenciables, y viceversa.^[11] Formalmente, el último dice:^[12]

Si c es una k-cadena diferenciable en una variedad diferenciable M, y ω es una forma diferenciable (k − 1) sobre M, entonces $${\displaystyle \int _{\partial c}\omega =\int _{c}d\omega .}$$

Aquí ${\displaystyle d}$ es la derivada exterior, que se define usando únicamente la estructura de la variedad. El lado derecho de la ecuación a veces se escribe como ${\textstyle \oint _{\partial \Omega }\omega }$ para enfatizar que la variedad ${\displaystyle (n-1)}$-dimensional ${\displaystyle \partial \Omega }$ no tiene frontera.^{[Nota 1]} (Este hecho también es una implicación del teorema de Stokes, ya que para una variedad diferenciable ${\displaystyle n}$-dimensional dada ${\displaystyle \Omega }$, la aplicación del teorema dos veces da ${\textstyle \int _{\partial (\partial \Omega )}\omega =\int _{\Omega }d(d\omega )=0}$ para cualquier ${\displaystyle (n-2)}$-forma ${\displaystyle \omega }$, lo que implica que ${\displaystyle \partial (\partial \Omega )=\emptyset }$.) El lado derecho de la ecuación a menudo se usa para formular leyes integrales; el lado izquierdo lleva a formulaciones diferenciales equivalentes (véase más abajo).

El teorema se usa a menudo en situaciones donde ${\displaystyle \Omega }$ es una subvariedad orientada embebida de alguna variedad mayor, a menudo ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$, en la cual la forma ${\displaystyle \omega }$ está definida.

Sea M una variedad diferenciable. Un símplex singular diferenciable k en M se define como una aplicación diferenciable desde el símplex estándar en R^k a M. El grupo C_k(M, Z) de cadenas k-singulares en M se define como el grupo abeliano libre sobre el conjunto de símplexes k-singulares en M. Estos grupos, junto con el mapa frontera, ∂, definen un complejo de cadenas. La homología (resp. cohomología) correspondiente es isomorfa al grupo de homología singular usual H_k(M, Z) (resp. el grupo de cohomología singular H^k(M, Z)), definido usando símplexes continuos en lugar de diferenciables en M.

Por otro lado, las formas diferenciales, con la derivada exterior, d, como el mapa de conexión, forman un complejo de cocadenas, que define los grupos de cohomología de De Rham ${\displaystyle H_{dR}^{k}(M,\mathbf {R} )}$.

Las formas k-diferenciales pueden integrarse sobre un símplex k de manera natural, retractando a R^k. Extendiendo por linealidad permite integrar sobre cadenas. Esto da un mapa lineal desde el espacio de k-formas al k-ésimo grupo de cocadenas singulares, C^k(M, Z), los funcionales lineales sobre C_k(M, Z). En otras palabras, una k-forma ω define un funcional $${\displaystyle I(\omega )(c)=\oint _{c}\omega .}$$ sobre las k-cadenas. El teorema de Stokes dice que esto es un mapa de cadenas de la cohomología de De Rham a la cohomología singular con coeficientes reales; la derivada exterior, d, se comporta como el dual de ∂ en las formas. Esto da un homomorfismo de la cohomología de De Rham a la cohomología singular. A nivel de formas, esto significa:

1. Las formas cerradas, es decir, dω = 0, tienen integral cero sobre fronteras, es decir, sobre variedades que pueden escribirse como ∂Σ_c M_c, y
2. Las formas exactas, es decir, ω = dσ, tienen integral cero sobre ciclos, es decir, si las fronteras suman el conjunto vacío: ∂Σ_c M_c = ∅.

El teorema de De Rham muestra que este homomorfismo es en efecto un isomorfismo. En otras palabras, si {c_i} son ciclos que generan el k-ésimo grupo de homología, entonces para cualquier número real correspondiente, {a_i}, existe una forma cerrada, ω, tal que $${\displaystyle \oint _{c_{i}}\omega =a_{i}\,,}$$ y esta forma es única salvo formas exactas.

El teorema de Stokes en variedades diferenciables puede derivarse del teorema de Stokes para cadenas en variedades diferenciables, y viceversa.^[13] Formalmente, el último dice:^[14]

Si c es una k-cadena suave en una variedad suave M, y ω es una forma suave (k − 1) sobre M, entonces $${\displaystyle \int _{\partial c}\omega =\int _{c}d\omega .}$$

Para simplificar estos argumentos topológicos, es útil examinar el principio subyacente considerando un ejemplo para d = 2 dimensiones. La idea esencial se puede entender mediante el diagrama a la izquierda, que muestra que, en un teselado orientado de una variedad, los caminos interiores se recorren en direcciones opuestas; sus contribuciones a la integral de camino se cancelan entre sí de manera pareada. Como consecuencia, solo permanece la contribución de la frontera. Por lo tanto, basta con probar el teorema de Stokes para teselados suficientemente finos (o, equivalentemente, símplexes), lo cual usualmente no es difícil.

Sea ${\displaystyle \gamma$ :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}} una curva por partes diferenciable de Jordan. El teorema de la curva de Jordan implica que ${\displaystyle \gamma }$ divide ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ en dos componentes, una compacta y otra no compacta. Sea ${\displaystyle D}$ la parte compacta delimitada por ${\displaystyle \gamma }$ y supongamos que ${\displaystyle \psi :D\to \mathbb {R} ^{3}}$ es diferenciable, con ${\displaystyle S=\psi (D)}$. Si ${\displaystyle \Gamma }$ es la curva espacial definida por ${\displaystyle \Gamma (t)=\psi (\gamma (t))}$^{[Nota 2]} y ${\displaystyle {\textbf {F}}}$ es un campo vectorial diferenciable en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, entonces:^[15][16][17] $${\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,\cdot \,d{\mathbf {\Gamma } }=\iint _{S}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \,d\mathbf {S} }$$

Este enunciado clásico es un caso especial de la formulación general después de identificar un campo vectorial con una 1-forma y su rotacional con una 2-forma mediante $${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\\\end{pmatrix}}\cdot d\Gamma \to F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{z}\,dz}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla \times {\begin{pmatrix}F_{x}\\F_{y}\\F_{z}\end{pmatrix}}\cdot d\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\\\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\\\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\\\end{pmatrix}}\cdot d\mathbf {S} \to \\[1.4ex]&d(F_{x}\,dx+F_{y}\,dy+F_{z}\,dz)=\left(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\right)dy\wedge dz+\left(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\right)dz\wedge dx+\left(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\right)dx\wedge dy.\end{aligned}}}$$

La formulación anterior, en la que ${\displaystyle \Omega }$ es una variedad diferenciable con frontera, no es suficiente en muchas aplicaciones. Por ejemplo, si el dominio de integración se define como la región del plano entre dos coordenadas ${\displaystyle x}$ y las gráficas de dos funciones, a menudo ocurrirá que el dominio tiene esquinas. En tal caso, los puntos de las esquinas implican que ${\displaystyle \Omega }$ no es una variedad diferenciable con frontera, y por lo tanto, el enunciado del teorema de Stokes dado anteriormente no se aplica. Sin embargo, es posible verificar que la conclusión del teorema de Stokes sigue siendo cierta. Esto se debe a que ${\displaystyle \Omega }$ y su frontera se comportan bien fuera de un conjunto pequeño de puntos (un conjunto de medida nula).

Una versión del teorema de Stokes que permite rugosidad fue probada por Whitney.^[18] Supongamos que ${\displaystyle D}$ es un subconjunto abierto conexo y acotado de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Llamamos a ${\displaystyle D}$ un dominio estándar si satisface la siguiente propiedad: existe un subconjunto ${\displaystyle P}$ de ${\displaystyle \partial D}$, abierto en ${\displaystyle \partial D}$, cuyo complemento en ${\displaystyle \partial D}$ tiene medida de Hausdorff ${\displaystyle (n-1)}$ nula; y tal que cada punto de ${\displaystyle P}$ tiene un vector normal generalizado. Este es un vector ${\displaystyle {\textbf {v}}(x)}$ tal que, si se elige un sistema de coordenadas de modo que ${\displaystyle {\textbf {v}}(x)}$ sea el primer vector base, entonces, en un vecindario abierto alrededor de ${\displaystyle x}$, existe una función diferenciable ${\displaystyle f(x_{2},\dots ,x_{n})}$ tal que ${\displaystyle P}$ es la gráfica ${\displaystyle \{x_{1}=f(x_{2},\dots ,x_{n})\}}$ y ${\displaystyle D}$ es la región ${\displaystyle \{x_{1}:x_{1}<f(x_{2},\dots ,x_{n})\}}$. Whitney señala que la frontera de un dominio estándar es la unión de un conjunto de medida de Hausdorff ${\displaystyle (n-1)}$ nula y una unión finita o numerable de variedades diferenciables ${\displaystyle (n-1)}$-dimensionales, cada una de las cuales tiene el dominio solo en un lado. Luego prueba que si ${\displaystyle D}$ es un dominio estándar en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \omega }$ es una ${\displaystyle (n-1)}$-forma que está definida, continua y acotada en ${\displaystyle D\cup P}$, diferenciable en ${\displaystyle D}$, integrable en ${\displaystyle P}$, y tal que ${\displaystyle d\omega }$ es integrable en ${\displaystyle D}$, entonces el teorema de Stokes se cumple, es decir, $${\displaystyle \int _{P}\omega =\int _{D}d\omega \,.}$$

El estudio de las propiedades de medida-teóricas de conjuntos rugosos lleva a la teoría de la medida geométrica. Versiones aún más generales del teorema de Stokes han sido probadas por Federer y por Harrison.^[19]

La forma general del teorema de Stokes usando formas diferenciales es más poderosa y fácil de usar que los casos especiales. Las versiones tradicionales pueden formularse usando coordenadas cartesianas sin la maquinaria de la geometría diferencial, y por lo tanto son más accesibles. Además, son más antiguas y sus nombres son más familiares como resultado. Las formas tradicionales a menudo se consideran más convenientes por científicos e ingenieros en la práctica, pero la no naturalidad de la formulación tradicional se hace evidente al usar otros sistemas de coordenadas, incluso los familiares como coordenadas esféricas o cilíndricas. Existe un potencial de confusión en la forma en que se aplican los nombres, y el uso de formulaciones duales.

Caso clásico (cálculo vectorial)

Artículo principal: Teorema de Stokes

Este es un caso (dualizado) (1 + 1)-dimensional, para una 1-forma (dualizado porque es un enunciado sobre campos vectoriales). Este caso especial a menudo se refiere simplemente como «teorema de Stokes» en muchos cursos introductorios de cálculo vectorial en universidades y se usa en física e ingeniería. También se conoce a veces como el «teorema del rotacional».

El teorema de Stokes clásico relaciona la integral de superficie del rotacional de un campo vectorial sobre una superficie ${\displaystyle \Sigma }$ en el espacio euclidiano tridimensional con la integral de línea del campo vectorial sobre su frontera. Es un caso especial del teorema de Stokes general (con ${\displaystyle n=2}$) una vez que identificamos un campo vectorial con una 1-forma usando la métrica en el espacio euclidiano tridimensional. La curva de la integral de línea, ${\displaystyle \partial \Sigma }$, debe tener una orientación positiva, lo que significa que ${\displaystyle \partial \Sigma }$ apunta en sentido antihorario cuando el vector normal de la superficie, ${\displaystyle n}$, apunta hacia el observador.

Una consecuencia de este teorema es que las líneas de campo de un campo vectorial con rotacional cero no pueden ser contornos cerrados. La fórmula puede reescribirse como:

Supongamos que ${\displaystyle {\textbf {F}}={\big (}P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z){\big )}}$ está definida en una región con superficie suave ${\displaystyle \Sigma }$ y tiene derivadas parciales continuas de primer orden. Entonces $${\displaystyle \iint _{\Sigma }{\Biggl (}\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)dx\,dy{\Biggr )}=\oint _{\partial \Sigma }{\Big (}P\,dx+Q\,dy+R\,dz{\Big )}\,,}$$ donde ${\displaystyle P,Q}$ y ${\displaystyle R}$ son los componentes de ${\displaystyle {\textbf {F}}}$, y ${\displaystyle \partial \Sigma }$ es la frontera de la región ${\displaystyle \Sigma }$.

Teorema de Green

El teorema de Green es inmediatamente reconocible como el tercer integrando de ambos lados en la integral en términos de P, Q y R citados anteriormente.

En electromagnetismo

Dos de las cuatro ecuaciones de Maxwell involucran rotacionales de campos vectoriales 3D, y sus formas diferencial e integral están relacionadas por el caso especial 3-dimensional (cálculo vectorial) del teorema de Stokes. Se debe tener precaución para evitar casos con fronteras móviles: las derivadas parciales temporales están destinadas a excluir tales casos. Si se incluyen fronteras móviles, el intercambio de integración y diferenciación introduce términos relacionados con el movimiento de la frontera no incluidos en los resultados a continuación (véase Regla de los integrales de Leibniz):

Más información (usando el teorema de Stokes tridimensional más la invariancia relativista, ...

Nombre	Forma diferencial	Forma integral (usando el teorema de Stokes tridimensional más la invariancia relativista, ${\displaystyle \textstyle \int {\tfrac {\partial }{\partial t}}\dots \to {\tfrac {d}{dt}}\textstyle \int \cdots }$)
Ecuación de Maxwell-Faraday. Ley de Faraday de la inducción:	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} &=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} \\&=-\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} \end{aligned}}}$ (con C y S no necesariamente estacionarios)
Ley de Ampère (con la extensión de Maxwell):	${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} &=\iint _{S}\nabla \times \mathbf {H} \cdot d\mathbf {A} \\&=\iint _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A} \end{aligned}}}$ (con C y S no necesariamente estacionarios)

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El subconjunto de ecuaciones de Maxwell listado arriba es válido para campos electromagnéticos expresados en unidades SI. En otros sistemas de unidades, como unidades CGS o unidades gaussianas, los factores de escala para los términos difieren. Por ejemplo, en unidades gaussianas, la ley de Faraday de la inducción y la ley de Ampère toman las formas:^[20][21] $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,,\\\nabla \times \mathbf {H} &={\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}+{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} \,,\end{aligned}}}$$ respectivamente, donde c es la velocidad de la luz en el vacío.

• Portal:Matemáticas. Contenido relacionado con Matemáticas.

1. [1]

   Para los matemáticos, este hecho es conocido, por lo que el círculo es redundante y a menudo se omite. Sin embargo, hay que tener en cuenta que en termodinámica, donde frecuentemente aparecen expresiones como ${\displaystyle \oint _{W}\{{\text{d}}_{\text{total}}U\}}$ (donde la derivada total, véase más abajo, no debe confundirse con la exterior), el camino de integración ${\displaystyle W}$ es una línea cerrada unidimensional en una variedad de dimensión mucho mayor. Es decir, en una aplicación termodinámica, donde ${\displaystyle U}$ es una función de la temperatura ${\displaystyle \alpha _{1}=T}$, el volumen ${\displaystyle \alpha _{2}=V}$ y la polarización eléctrica ${\displaystyle \alpha _{3}=P}$ de la muestra, se tiene $${\displaystyle \{d_{\text{total}}U\}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial U}{\partial \alpha _{i}}}\,d\alpha _{i}\,,}$$ y el círculo es realmente necesario, por ejemplo, si se consideran las consecuencias diferenciales del postulado integral $${\displaystyle \oint _{W}\,\{d_{\text{total}}U\}\,{\stackrel {!}{=}}\,0\,.}$$
2. [2]

   ${\displaystyle \gamma }$ y ${\displaystyle \Gamma }$ son ambas curvas cerradas, sin embargo, ${\displaystyle \Gamma }$ no es necesariamente una curva de Jordan