Alessandro Albani est issu d'une célèbre famille italienne, qui descend de réfugiés albanais au XVesiècle et qui donna à l'Église un pape et cinq cardinaux.
La famille Albani se scinde en deux branches, l'une s'installe à Bergame, l'autre à Urbino. Il est le plus jeune des neuf enfants d'Orazio Albani et de Maria Bernarda Ondedei.
Alessandro Albani entre dans l'ordre de Saint-Jean de Jérusalem, le à Rome. Colonel d'un régiment de Dragons dans les troupes pontificales en 1707, il devient grand prieur d'Arménie en 1709. Il entre dans les ordres à la demande du papeClément XI ce qui lui causera des problèmes en raison de ses manières cavalières et de son manque de discipline. Envoyé à Bologne, en compagnie de son frère Carlo, afin d’accueillir le roi Frédéric IV de Danemark. Abbé commendataire de l'abbaye de S. Lorenzo di Campo, de 1717 à 1744. Référendaire du Tribunal suprême de la Signature apostolique à partir de , il est nommé secrétaire des Mémoriaux, le . Clerc de la Chancellerie apostolique, le et préfet de la Congrégation des Archives. En 1720, il est envoyé à Vienne pour conclure les négociations sur la restitution de Comacchio.
Cardinalat
Alessandro Albani est élevé au rang de cardinal-diacre lors du consistoire du par le pape Innocent XIII. Il est dispensé de certaines obligations, ayant un frère au sein du Sacré Collège de cardinaux et n'ayant pas été reçu au sein des ordres Mineurs. Il reçoit la barrette rouge et est confirmé dans le diocèse de S. Adriano, le .
Le , il est dispensé de recevoir les ordres sacrés en dehors des Quatre-Temps. Le , 1721, il reçoit le sous-diaconat et devient abbé commendataire de l'abbaye de S. Leonardo di Siponto, il occupe ce poste de 1721 à 1741. Le , il reçoit le diaconat de S. Maria in Cosmedin.
Il prend part au conclave de 1724, qui élit le papeBenoît XIII. Abbé commendataire de l'abbaye de Nonantola (), il est nommé protecteur du royaume de Sardaigne et des domaines de son roi en 1724. Il participe aux négociations du concordat de 1727. Devenu abbé commendataire de l'abbaye de Staffarda, en 1730, il participe la même année au conclave qui élit le papeClément XII. Ministre du Piémont à Rome en 1737, il négocie le nouveau concordat avec le royaume de Piémont-Sardaigne en 1741. Il est préfet de la Congrégation e delle Acque, Paludi, Pontiue, Chiane à partir d'.
Il participe au conclave de 1740, qui élit le papeBenoît XIV. Nommé diacre de S. Agata en Suburra, le , tout en conservant en commende de la diaconie de S. Maria in Cosmedin jusqu'à sa mort. Il est nommé au diaconat de S. Maria ad Martyres, le . Protecteur du royaume et des États héréditaires de la maison de Habsbourg en 1743. Ambassadeur d'Autriche à Rome de 1744 à 1748, il est nommé protecteur de l'empire d'Autriche en 1746.
Albani constitua trois des plus importantes collections d'art jamais créées:
- une collection d'œuvres sculptées gréco-romaines, pour partie issues des nombreuses fouilles archéologiques de l'époque, pour laquelle il fit construire par Carlo Marchionni, de 1753 à 1761, la villa Albani; il la fit cataloguer par son protégé Winckelmann, qui se lia en 1765 avec Jean-Jacques de Boissieu, un des commensaux du duc de La Rochefoucault lors de son voyage en Italie;
- une collection de dessins de maîtres anciens (Poussin, les Carrache, le Dominiquin, Le Lorrain) qui fut acquise par le roi George III et intégra de la collection de la Couronne britannique (40 000 feuilles, dont 600 de Vinci);
- une collection de monnaies et de médailles antiques, achetée vers 1840 par le marquis et collectionneur compulsif Gampietro Campana (1809-1880), qui est conservée à la Vaticane.
Depuis le pontificat du pape Clément XIV, il était membre du parti zelanti opposé à l'ingérence des monarques européens dans le gouvernement de l’Église.
Il meurt le après un cardinalat de 58 ans et 148 jours, de à , le deuxième de l'histoire après celui d'Henri Benoît Stuart (60 ans et 10 jours de 1747 à 1807).
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