Algèbre de Hall

Tout p-groupe abélien fini M peut s'écrire comme somme directe de sous-groupes cycliques d'ordre une puissance de p, disons ${\displaystyle C_{p^{\lambda _{1}}}\oplus \cdots \oplus C_{p^{\lambda _{r}}}}$ où ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots )}$ est une partition d'un entier. Cette partition ne dépend que de M et est appelée le type de M. Soit ${\displaystyle g_{\mu ,\nu }^{\lambda }(p)}$ le nombre de sous-groupes N de M tels que N soit de type ${\displaystyle \nu }$ et le quotient M/N soit de type ${\displaystyle \mu }$. Hall a prouvé que les fonctions ${\displaystyle g_{\mu ,\nu }^{\lambda }}$ sont des fonctions polynomiales de p à coefficients entiers. Ainsi, on peut remplacer p par une indéterminée, ce qui donne les polynômes de Hall

${\displaystyle g_{\mu ,\nu }^{\lambda }(q)\in \mathbb {Z} [q].\,}$

Hall construit alors un anneau associatif ${\displaystyle H}$ sur ${\displaystyle \mathbb {Z} [q]}$, que l'on appelle maintenant algèbre de Hall. Cet anneau a une base formée de symboles ${\displaystyle u_{\lambda }}$, où ${\displaystyle \lambda }$ décrit l'ensemble des partitions, et les constantes de structure du produit dans cette base sont les polynômes de Hall :

${\displaystyle u_{\mu }u_{\nu }=\sum _{\lambda }g_{\mu ,\nu }^{\lambda }(q)u_{\lambda }.\,}$

Il se trouve que H est un anneau commutatif, engendré librement par les éléments ${\displaystyle u_{\mathbf {1} ^{n}}}$ correspondant aux p-groupes élémentaires. L'application linéaire de H vers l'algèbre des fonctions symétriques définies sur les générateurs par

${\displaystyle u_{\mathbf {1} ^{n}}\mapsto q^{-n(n-1)/2}e_{n}\,}$

(où e_n est la n-ième fonction symétrique élémentaire) s'étend de manière unique en un morphisme d'anneau. Les images des éléments ${\displaystyle u_{\lambda }}$ peuvent être interprétés via les fonctions symétriques de Hall-Littlewood. En spécialisant q à 0, ces fonctions symétriques deviennent les fonctions de Schur, qui sont ainsi étroitement liées à la théorie des polynômes de Hall.

• Philip Hall, « The algebra of partitions », dans M. S. Macphail, Proceedings of the 4th Canadian mathematical congress, Banff, University of Toronto Press, 1959, 147-159 p.
• George Lusztig, « Quivers, perverse sheaves, and quantized enveloping algebras », Journal of the American Mathematical Society, vol. 4, n^o 2,‎ 1991, p. 365-421
• Ian G. Macdonald, Symmetric functions and Hall polynomials, The Clarendon Press Oxford University Press, coll. « Oxford Mathematical Monographs », 1995, 2^e éd. (ISBN 978-0-19-853489-1, MR 1354144, présentation en ligne)
• Claus Michael Ringel, « Hall algebras and quantum groups », Inventiones Mathematicae, vol. 101, n^o 3,‎ 1990, p. 583-591 (DOI 10.1007/BF01231516, Bibcode 1990InMat.101..583R, MR 1062796, S2CID 120480847, lire en ligne)
• Olivier Schiffmann, « Lectures on Hall algebras », dans Geometric methods in representation theory. II, vol. 24-II, Paris, Société mathématique de France, coll. « Séminaires et congrès », 2012, 1-141 p. (Bibcode 2006math.....11617S, MR 3202707, arXiv math/0611617)
• (de) Ernst Steinitz, « Zur Theorie der Abel'schen Gruppen », Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol. 9,‎ 1901, p. 80-85

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