Anneau de Cohen-Macaulay

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Soit ${\displaystyle M}$ un module sur un anneau ${\displaystyle R}$ ; un élément ${\displaystyle a\in R}$ est dit régulier si ${\displaystyle a\cdot x=0}$ pour un ${\displaystyle x\in M}$ implique ${\displaystyle x=0}$ .

Une suite ${\displaystyle (a_{1},\dotsc ,a_{n})}$ d'éléments ${\displaystyle R}$ est appelée suite ${\displaystyle M}$- régulière si les conditions suivantes sont remplies :

• ${\displaystyle M\neq (a_{1},\dotsc ,a_{n})M}$ ;
• Pour ${\displaystyle i<m}$ l'image de ${\displaystyle a_{i+1}}$ dans ${\displaystyle M/(a_{1},\dotsc ,a_{i})M}$ n'est pas un diviseur de zéro.

Soit ${\displaystyle M}$ un module sur un anneau ${\displaystyle R}$ ; la profondeur ${\displaystyle \mathrm {prof} (M)}$ de ${\displaystyle M}$ est la longueur maximale d'une suite ${\displaystyle M}$-régulière d'éléments de ${\displaystyle R}$ .

La dimension ${\displaystyle \dim(M)}$ d'un module ${\displaystyle M}$ sur un anneau ${\displaystyle R}$ est la dimension de Krull de ${\displaystyle R/\mathrm {Ann} (M)}$, où ${\displaystyle \mathrm {Ann} (M)}$ est l'annulateur de ${\displaystyle M}$.

Pour un module ${\displaystyle M}$ de type fini sur un anneau noethérien, on a :

${\displaystyle \dim(M)=\max\{\dim(R/p)|p\in \operatorname {Ass} (M)\}=\max\{\dim(R/p)|p\in \operatorname {Supp} (M)\}}$

où ${\displaystyle \operatorname {Ass} (M)}$ désigne l'ensemble des à idéaux premiers associés à ${\displaystyle M}$, et ${\displaystyle \operatorname {Supp} (M)}$ le support du module.

Pour un module de type fini ${\displaystyle M}$ sur un anneau local noethérien ${\displaystyle R}$ on a l'inégalité :

${\displaystyle \operatorname {prof} (M_{m})\leq \min\{\dim(R/p)|p\in \operatorname {Ass} (M)\}\leq \dim(M)}$.

Un module de type fini ${\displaystyle M}$ sur un anneau noethérien ${\displaystyle R}$ est appelé un module de Cohen-Macaulay si pour tous les idéaux maximaux ${\displaystyle m}$ de ${\displaystyle R}$ on a :

${\displaystyle \mathrm {prof} (M_{m})=\dim(M_{m})}$.

${\displaystyle R}$ est un anneau de Cohen-Macaulay si ${\displaystyle R}$ en tant que module, est un module de Cohen-Macaulay^[1].

• La localisation d'un anneau de Cohen-Macaulay.
• Un anneau noethérien de dimension 0 ou, de manière équivalente, un anneau artinien.
• Un anneau noethérien de dimension 1 réduit.
• Un anneau noethérien de dimension 2 normal.
• Un anneau noethérien régulier, comme les entiers ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, ou l'anneau des polynômes ${\displaystyle K[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ sur un corps ${\displaystyle K}$, ou un anneau de séries formelles ${\displaystyle K[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]}$
• Un anneau de Gorenstein.
• L'anneau des invariants ${\displaystyle R^{G}}$, où ${\displaystyle R}$ est un anneau de Cohen-Macaulay sur un corps de caractéristique 0 et ${\displaystyle G}$ est un groupe fini ou plus généralement un groupe algébrique linéaire dont la composante identité est un groupe réductif. C'est le théorème de Hochster-Roberts (en).
• Un anneau de Cohen-Macaulay est un anneau caténaire.
• Un anneau déterminant (« determinantal ring » en anglais). Soit ${\displaystyle R}$ le quotient d'un anneau local régulier ${\displaystyle S}$ par l'idéal ${\displaystyle I}$ engendré par les mineurs de taille ${\displaystyle r\times r}$ des matrices ${\displaystyle p\times q}$ à éléments dans ${\displaystyle S}$. Si la codimension (ou hauteur) de ${\displaystyle I}$ est égale à la codimension ${\displaystyle (p-r+1)(q-r+1)}$, alors ${\displaystyle R}$ est appelé un anneau déterminant. Dans ce cas, ${\displaystyle R}$ est un anneau de Cohen-Macaulay^[2] De même, les anneaux de coordonnées des variétés déterminantes sont des anneaux de Cohen-Macaulay.
• Anneaux de polynômes :

1. L'anneau ${\displaystyle K[x]/(x^{2})}$ est de dimension 0 et donc est de Cohen–Macaulay, mais il n'est pas réduit et donc n'est pas régulier.
2. Le sous-anneau ${\displaystyle K[t^{2},t^{3}]}$ de l'anneau de polynômes ${\displaystyle K[t]}$, ou sa localisation ou sa complétion en ${\displaystyle t=0}$, est un domaine de dimension 1 qui est Gorenstein et donc Cohen–Macaulay, mais il n'est pas régulier. Cet anneau peut auss être vu comme l'anneau des coordonnées de la courbe cubique ${\displaystyle y^{2}=x^{3}}$ sur ${\displaystyle K}$.
3. Le sous-anneau ${\displaystyle K[t^{3},t^{4},t^{5}]}$ de l'anneau des polynômes ${\displaystyle K[t]}$, ou sa localisation ou complétion en ${\displaystyle t=0}$, est un domaine de dimension 1 qui est Cohen–Macaulay mais n'est pas Gorenstein.

• Les singularités rationnelles sur un corps de caractéristique zéro sont des singularités de Cohen-Macaulay.
• Les variétés toriques sur n'importe quel corps sont des variétés de Cohen-Macaulay^[3]. Le programme du modèle minimal fait un usage important des variétés avec des singularités de type klt (pour Kawamata log terminal) ; en caractéristique zéro, ce sont des singularités rationnelles et donc des singularités de Cohen-Macaulay^[4]. Un analogue des singularités rationnelles en caractéristique positive est la notion de 'F-singularité rationnelle ; là encore, de telles singularités sont des singularités de Cohen-Macaulay^[5].
• Soit ${\displaystyle X}$ une variété projective de dimension ${\displaystyle n\geq 1}$ sur un corps, et soit ${\displaystyle L}$ un faisceau sur ${\displaystyle X}$. L'anneau de section de ${\displaystyle L}$

${\displaystyle R=\bigoplus _{j\geq 0}H^{0}(X,L^{j})}$

est Cohen-Macaulay si et seulement si le groupe de cohomologie ${\displaystyle H^{i}(X,L^{j})}$ est nul pour tout ${\displaystyle 1\leq i\leq n-1}$ et tous les entiers j^[6]. Il s'ensuit, par exemple, que le cône affine ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ sur une variété abélienne ${\displaystyle X}$ est Cohen-Macaulay lorsque ${\displaystyle X}$ est de dimension 1, mais pas lorsque ${\displaystyle X}$ a une dimension d'au moins 2 (car ${\displaystyle H^{1}(X,O)}$ n'est pas nul).