Application semi-linéaire

Une application f : V → W entre deux espaces vectoriels V et W sur des corps K et L respectivement est σ -semi-linéaire, ou simplement semi-linéaire, s'il existe un morphisme de corps σ : K → L tel que pour tous x, y dans V et λ dans K on ait

1. ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}$
2. ${\displaystyle f(\lambda x)=\sigma (\lambda )f(x).}$

Un plongement donné σ d'un corps K dans L permet d'identifier K avec un sous-corps de L, ce qui fait d'une application σ -semi-linéaire une application K-linéaire sous cette identification. Cependant, une application qui est τ -semi-linéaire pour un plongement distinct τ ≠ σ ne sera pas K -linéaire par rapport à l'identification d'origine σ, à moins que f ne soit identiquement nul.

Plus généralement, une application ψ : M → N entre un R-module à droite M et un S-module à gauche N est σ-semi -linéaire s'il existe un antimorphisme d'anneaux σ : R → S tel que pour tous x, y dans M et λ dans R on ait

1. ${\displaystyle \psi (x+y)=\psi (x)+\psi (y),}$
2. ${\displaystyle \psi (x\lambda )=\sigma (\lambda )\psi (x).}$

Le terme semi-linéaire s'applique à toute combinaison de modules gauche et droit avec un ajustement approprié des expressions ci-dessus, σ étant un morphisme correspondant aux besoins^[1],[2].

Le couple ${\displaystyle (\psi ,\sigma )}$ est appelé dimorphisme^[2].

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Soit ${\displaystyle \sigma :R\to S}$ soit un isomorphisme d'anneaux, ${\displaystyle M}$ un ${\displaystyle R}$ -module à droite et ${\displaystyle N}$ un ${\displaystyle S}$ -module à droite, et soit ${\displaystyle \psi :M\to N}$ une application ${\displaystyle \sigma }$-semi-linéaire. On définit la transposée de ${\displaystyle \psi }$ comme l'application ${\displaystyle {}^{\text{t}}\psi :N^{*}\to M^{*}}$ caractérisée par^[3] $${\displaystyle \langle y,\psi (x)\rangle =\sigma \left(\left\langle {}^{\text{t}}\psi (y),x\right\rangle \right)\quad {\text{ pour tout }}y\in N^{*}{\text{ et tout }}x\in M.}$$C'est une application ${\displaystyle \sigma ^{-1}}$-semi-linéaire.

Soit ${\displaystyle \sigma :R\to S}$ soit un isomorphisme d'anneaux, ${\displaystyle M}$ un ${\displaystyle R}$-module à droite et ${\displaystyle N}$ un ${\displaystyle S}$-module à droite, et soit ${\displaystyle \psi :M\to N}$ une application ${\displaystyle \sigma }$-semi-linéaire. Pour ${\displaystyle y\in N^{*}}$, l'application$${\displaystyle M\to R,\quad x\mapsto \sigma ^{-1}(\langle y,\psi (x)\rangle )}$$ est une forme ${\displaystyle R}$-linéaire^[3].

• Soit ${\displaystyle K=\mathbf {C} }$, soit ${\displaystyle V=\mathbf {C} ^{n}}$ muni de la base standard ${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{n})}$ . On définit l'application ${\displaystyle f\colon V\to V}$ par

  ${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}z_{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\bar {z}}_{i}e_{i}.}$

Alors f est semi-linéaire (par rapport à l'automorphisme de conjugaison complexe) mais pas linéaire.

• Soit ${\displaystyle K=\mathbf {F} _{q}}$ le corps fini de cardinal ${\displaystyle q=p^{i}}$, où p est la caractéristique. Soit ${\displaystyle \theta$ :\ell \mapsto \ell ^{\theta }=\ell ^{p}} le morphisme de Frobenius. Par le rêve du première année, on sait qu'il s'agit d'un automorphisme de corps. À chaque application linéaire ${\displaystyle f\colon V\to W}$ entre deux espaces vectoriels V et W sur K, on peut associer une application ${\displaystyle \theta }$-semi-linéaire

  ${\displaystyle {\widetilde {f}}\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}e_{i}\right):=f\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}^{\theta }e_{i}\right).}$

En fait, chaque application linéaire peut être convertie en une application semi-linéaire de cette manière. Cela fait partie d'une observation générale rassemblée dans le résultat suivant.

• Soit ${\displaystyle R}$ un anneau non commutatif, ${\displaystyle M}$ un ${\displaystyle R}$-module à gauche et ${\displaystyle \alpha }$ un élément inversible de ${\displaystyle R}$. On définit l'application ${\displaystyle \varphi \colon M\to M}$, ${\displaystyle x\mapsto \alpha x}$, de sorte que ${\displaystyle \varphi (\lambda u)=\alpha \lambda u=(\alpha \lambda \alpha ^{-1})\alpha u=\sigma (\lambda )\varphi (u)}$, où ${\displaystyle \sigma \colon \lambda \to \alpha \lambda \alpha ^{-1}}$ est un automorphisme intérieur de ${\displaystyle R}$. Ainsi, l'homothétie ${\displaystyle x\mapsto \alpha x}$ n'est pas nécessairement linéaire, mais elle est ${\displaystyle \sigma }$-semi-linéaire^[2].

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Étant donné un espace vectoriel V, l'ensemble de toutes les transformations semi-linéaires inversibles V → V (pour tous les automorphismes de corps) est le groupe ΓL(V).

Le groupe ΓL(V) se décompose en produit semi-direct

${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)=\operatorname {GL} (V)\rtimes \operatorname {Aut} (K),}$

où Aut(K) est le groupe des automorphismes de K. De même, les transformations semi-linéaires d'autres groupes linéaires peuvent être définies comme le produit semi-direct avec le groupe d'automorphisme, ou plus intrinsèquement comme le groupe des applications semi-linéaires d'un espace vectoriel préservant certaines propriétés.

On identifie Aut(K) à un sous-groupe de ΓL(V) en fixant une base B de V et en définissant les applications semi-linéaires :

${\displaystyle \sum _{b\in B}\ell _{b}b\mapsto \sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b}$

pour tout ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Aut} (K)}$. On notera ce sous-groupe Aut(K)_B . On obtient aussi une action usuelle de GL(V) sur ces compléments à GL(V) dans ΓL(V), qui correspond à un changement de base.

Toute application linéaire est semi-linéaire, donc ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)\leq \operatorname {\Gamma L} (V)}$. Soit une base B de V. À présent, étant donné une application semi-linéaire f par rapport à un automorphisme de corps σ ∈ Aut(K), on définit g : V → V par

${\displaystyle g\left(\sum _{b\in B}\ell _{b}b\right):=\sum _{b\in B}f\left(\ell _{b}^{\sigma ^{-1}}b\right)=\sum _{b\in B}\ell _{b}f(b)}$

Comme f(B) est aussi une base de V, il s'ensuit que g est simplement un changement de base de V et donc linéaire et inversible : g ∈ GL(V).

Soit alors ${\displaystyle h:=fg^{-1}}$ . Pour tout ${\displaystyle v=\sum _{b\in B}\ell _{b}b}$ dans V,

${\displaystyle hv=fg^{-1}v=\sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b,}$

donc h est appartient au sous-groupe Aut(K) correspondant à la base fixe B. Cette factorisation est unique pour une base fixe B. De plus, GL(V) est normalisé par l'action de Aut(K)_B, donc ΓL(V) = GL(V) ⋊ Aut(K).