Astronomia nova

Partie 1

Dans la première partie, Kepler examine la relation entre les différentes hypothèses astronomiques en usage à l'époque.

Dans les chapitres 1 à 3, il montre que les modèles héliocentrique, géocentrique et hybride de Tycho Brahe sont tous mathématiquement équivalents dans le sens où ils prédisent les mêmes positions angulaires de l'objet céleste, et que la variation de distance pour n'importe quelle planète est également la même dans les trois modèles. En effet, l'épicycle dans le modèle géocentrique joue le même rôle que l'orbite de la Terre dans le modèle héliocentrique et l'orbite du soleil dans le modèle de Tycho^[4]. Mais le mouvement des planètes s'avère non uniforme, même si l'on ignore les effets de l'épicycle ou du mouvement de la Terre. Ptolémée et Copernicus avaient deux explications différentes à cela. Ptolémée a utilisé un cercle équant et excentrique, tandis que Copernic s'est rendu compte qu'il pouvait combiner deux épicycles pour expliquer le même effet^[5]. Kepler a cependant montré que l'explication de Copernic est simplement équivalente à un point équant avec une orbite non circulaire. La différence dans les prédictions entre les deux explications était mineure et est équivalente à des fins pratiques.

Dans les chapitres 4 à 6, Kepler considère une explication plus physiquement plausible pour le mouvement non uniforme. Il considère que la vitesse de la planète varie inversement avec sa distance au soleil. Cette explication s'avère, par calcul, être cohérente avec les prédictions des épicycles équants ou de Copernic. Mais cela oblige Kepler à supposer que la ligne des apsides de toutes les planètes se coupe au niveau du soleil, alors que Ptolémée et Copernic avaient supposé que ce point était le centre de l'orbite terre/soleil, qui était appelé le soleil moyen. La différence entre les prédictions est mineure mais est amplifiée si l'effet de l'orbite terrestre est pris en compte, auquel cas la différence pourrait atteindre jusqu'à ${\textstyle 1^{\circ }}$, ce qui était certainement mesurable^[6].

Partie 2

Dans cette deuxième partie, Kepler présente l'Hypothèse vicariante, sa première hypothèse pour expliquer le mouvement de Mars, c'est à dire:

• l'orbite circulaire,
• le point équant du modèle planétaire de Ptolémée,
• ainsi que l'héliocentrisme du modèle copernicien.

Dans les chapitres 7 à 10, Kepler raconte comment il a été initié au problème de l'orbite de Mars. Tycho et son assistant travaillaient sur une théorie de Mars, mais ils n'avaient pas réussi à rendre compte avec précision de la position observée de Mars. Les données d'observation de Tycho comprenaient 12 oppositions de Mars, pour lesquelles il avait déterminé sa position en longitude et latitude écliptiques. Ils avaient réussi à adapter une théorie aux longitudes écliptiques observées avec une précision de 2 minutes d'arc, mais elle ne parvenait pas à rendre compte complètement des latitudes écliptiques. Kepler a ensuite été chargé de déterminer une théorie plus précise pour correspondre à ces données d'observation.

Sa première étape fut d’établir une définition précise de l’opposition. Puisque les planètes n'orbitent pas dans le même plan, en général elles n'atteignent jamais précisément ${\textstyle 180^{\circ }}$ en séparation angulaire. Ptolémée avait supposé que la planète atteignait l'opposition lorsque sa longitude écliptique était de ${\textstyle 180^{\circ }}$ par rapport à la position du soleil. Cette définition ignore la latitude de l'écliptique, donc lors de la construction du tableau des oppositions, l'assistant de Tycho a suggéré une correction pour en tenir compte, en mesurant plutôt le moment où l'angle entre le soleil et l'un des nœuds le long de l'écliptique était égal à l'angle entre la planète et le nœud opposé mesuré le long du trajet de la planète. Mais Kepler a montré que cette correction était erronée pour deux raisons.

• Premièrement, la trajectoire de la planète vue de la Terre n’est pas la même que celle vue du soleil,
• et deuxièmement, la longitude écliptique de Mars vue du soleil ne sera pas la même que la longitude écliptique de la Terre. L'intérêt de l'utilisation des oppositions est d'éliminer l'effet de l'orbite terrestre, de sorte que lorsque nous observons Mars depuis la Terre, sa position soit la même que si nous l'observions depuis le Soleil.

Ainsi, Kepler montre que cette erreur peut atteindre 9 minutes d’arc. Elle va à l’encontre du but de la correction.

La correction réelle que Kepler montre est inférieure à 1 minute d'arc, ce qui est plus petit que l'erreur dans les observations de Tycho et, pour des raisons pratiques, peut être ignorée. Ainsi, l'opposition peut être définie comme le moment où les longitudes écliptiques du Soleil et de Mars sont ${\textstyle 180^{\circ }}$ l'une de l'autre. Bien que la longitude écliptique de Mars soit la même par rapport à la Terre et au Soleil à ce stade, il n’en va pas de même pour la latitude écliptique.

Dans le diagramme ci-contre, ${\textstyle G}$ est le soleil, ${\textstyle H}$ est la Terre et ${\textstyle I}$ est Mars. La ligne ${\textstyle GH}$ est dans le plan de l'écliptique. L'angle ${\textstyle \beta }$ est l'angle selon lequel Mars apparaît au-dessus de l'écliptique vue depuis la Terre ; c'est la latitude de l'écliptique. L'angle ${\textstyle \alpha }$ est la latitude de l'écliptique vue du soleil, qui est plus petite que ${\textstyle \beta }$. La relation entre ces angles nous renseigne sur le rapport entre la distance Terre-Soleil ${\textstyle GH}$ et la distance Mars-Soleil ${\textstyle GI}$^[7].

Dans le chapitre 11, Kepler tente de déterminer la parallaxe de Mars. Comme Mars est proche de la Terre, sa position dans le ciel semble changer légèrement à mesure que la position de l'observateur change au cours de la journée, même si elle est par ailleurs stationnaire. Cet effet, appelé parallaxe, serait plus important lorsque Mars est en opposition, puisqu'à ce moment-là, Mars est à son point le plus proche de la Terre. Les estimations existantes de la distance au soleil, basées en grande partie sur la méthode d'Aristarque de Samos, suggèrent que la parallaxe pourrait atteindre 6 minutes d'arc, mais les propres tentatives de Kepler pour déterminer la parallaxe ont donné des valeurs inférieures à 2 minutes d'arc.

Dans les chapitres 12-14, Kepler détermine la longitude des nœuds ascendants et descendants de Mars et l'inclinaison orbitale de Mars. Pour trouver les nœuds, Kepler recherche des observations de Mars où sa latitude écliptique est proche de ${\textstyle 0}$, puis utilise l'interpolation pour trouver le moment exact où elle est nulle et utilise ensuite des tables existantes telles que les tables pruténiques (qui étaient basées sur la théorie de Copernic) pour calculer la longitude de Mars à ce moment-là. Kepler a localisé le nœud ascendant à ${\textstyle 225^{\circ }44{\frac {1}{2}}'}$ et le nœud descendant à ${\textstyle 46^{\circ }{\frac {1}{8}}'}$. Ces valeurs ne sont pas précisément séparées de ${\textstyle 180^{\circ }}$. Les longitudes des tables pruténiques ont été mesurées à partir du soleil moyen. Kepler soutient que si elles étaient mesurées à partir de la position réelle du soleil, les valeurs seraient espacées de ${\displaystyle 180^{\circ }}$.

Les tables pruténiques fournissaient également les distances aux planètes. Cela permet à Kepler de résoudre le triangle de la figure 1 ci-dessus pour calculer la latitude héliocentrique à partir de la latitude géocentrique observée, à partir de laquelle il pourrait déduire l'inclinaison orbitale de Mars en observant Mars lorsque sa latitude était la plus grande et en calculant sa latitude héliocentrique. Il trouve que l'inclinaison orbitale est ${\displaystyle 1^{\circ }50'}$. Cela a également permis à Kepler de démontrer le fait important que le plan de l’orbite de Mars ne vacille en aucune façon, comme le suggéraient de nombreuses théories avant lui. À l’aide d’observations depuis différents points, il montre que l’inclinaison orbitale est constante.

Dans le chapitre 15, Kepler recalcule les 12 oppositions de Tycho, afin de déterminer le moment précis où la longitude de l'écliptique de Mars est ${\textstyle 180^{\circ }}$ du soleil. Pour chaque observation, il détermine la longitude et la latitude écliptiques de Mars vues de la Terre, ainsi que l'heure à laquelle l'opposition se produit.

Dans le chapitre 16, Kepler construit son premier modèle, il utilise une hypothèse vicariante, pour rendre compte des observations. Il s'agit d'une modification du modèle équant de Ptolémée. Dans ce modèle, la planète est supposée se déplacer sur une orbite circulaire et la vitesse sur l'orbite varie de telle manière qu'elle apparaît uniforme à partir d'un point appelé l'équant. La ligne reliant l'équant et le centre du cercle est appelée ligne des apsides, et elle coupe le cercle en deux points, l'un où la planète se déplace à sa vitesse la plus rapide appelée aphélie et l'autre où la planète se déplace à sa vitesse la plus lente appelée le périhélie.

Pour son modèle, Ptolémée avait supposé que le centre du cercle se situe exactement à mi-chemin entre l'équant et le point à partir duquel l'opposition est mesurée (qui pour Kepler est le soleil), ce modèle est appelé excentricité bissectrice. Kepler considère cependant l'hypothèse plus générale selon laquelle le centre du cercle peut être placé en n'importe quel point le long de la ligne des apsides entre le soleil et l'équant.

Dans le diagramme ci-contre, soit ${\textstyle A}$ le soleil, ${\textstyle B}$ le centre de l'orbite circulaire et ${\textstyle C}$ le point équant. Les points ${\textstyle I}$ et ${\textstyle H}$ sont respectivement le périhélie et l'aphélie. Soit ${\textstyle G}$ la position de Mars à une observation particulière. L'angle ${\textstyle \angle GAH}$ que Kepler appelle l' anomalie_vraie, et l'angle ${\textstyle \angle GCH}$ l'anomalie moyenne. Pour toute observation, la véritable anomalie pourrait être déduite si l'on connaissait la longitude de l'aphélie, en trouvant la différence entre celle-ci et la longitude de l'observation. L'anomalie moyenne pourrait être déduite si l'on connaissait l'heure à laquelle Mars est en aphélie, et en utilisant le fait que Mars, vu de l'équant, parcourt des angles égaux en des temps égaux. Si la véritable anomalie et l'anomalie moyenne étaient connues, nous pourrions également déterminer l'emplacement du point ${\textstyle G}$ en trouvant l'endroit où les lignes tirées de ${\textstyle B}$ et ${\textstyle A}$ se croisent. Aux fins du calcul, nous pouvons prendre la longueur de la ligne ${\textstyle {\overline {CA}}}$ comme étant ${\textstyle 1}$.

La procédure de Kepler consiste à prendre 4 observations de Mars en opposition. En prenant une estimation initiale de la longitude de l'aphélie et de l'heure de l'aphélie, des valeurs pourraient être calculées pour l'anomalie moyenne et l'anomalie vraie de chaque observation, à partir desquelles l'emplacement de Mars à chaque observation pourrait être déterminé par l'intersection des lignes ${\textstyle {\overline {AG}}}$ et ${\textstyle {\overline {CG}}}$. Si les 4 points ne se trouvent pas sur un cercle, alors la ligne des apsides ${\textstyle HI}$ tourne autour du point ${\textstyle A}$ ; cela décale les valeurs des vraies anomalies, jusqu'à ce que les 4 points se trouvent sur un cercle. Ensuite, si le centre du cercle ${\textstyle B}$ n'est pas sur la ligne des apsides, la ligne ${\textstyle HI}$ tourne autour du point ${\textstyle C}$ jusqu'à ce que le point ${\textstyle B}$ tombe sur la ligne des apsides ; cela décale les valeurs des anomalies moyennes. Mais cela déplace également la position des points afin qu'ils ne tombent plus sur un cercle. Cette procédure est répétée encore et encore jusqu'à ce que les 4 points tombent sur un cercle et que le centre du cercle ${\textstyle B}$ tombe sur la ligne des apsides ${\textstyle HI}$^[8]. Ce processus itératif prend beaucoup de temps pour converger. En décrivant la procédure, Kepler écrit :

Si tu t'ennuies de cette fastidieuse méthode de calcul, aie pitié de moi, qui ai dû en faire au moins soixante-dix répétitions, avec une très grande perte de temps^[9].

A la fin de la procédure, Kepler calcule les paramètres du modèle. Il détermine la longitude de l'aphélie comme étant ${\textstyle 148^{\circ }9}$. L'excentricité du cercle est définie comme étant la distance entre le centre du cercle et le soleil ${\textstyle {\overline {AB}}}$, divisée par le rayon du cercle ${\textstyle {\overline {HB}}}$, la valeur que Kepler détermine comme étant ${\textstyle 0,11332}$. L'excentricité de l'équant est définie comme ${\textstyle {\overline {CB}}}$ divisé par le rayon du cercle, qu'il trouve égal à ${\textstyle 0,07232}$. La somme de ces valeurs est appelée l'excentricité totale^[10].

Dans le chapitre 17, Kepler apporte une petite correction au fait que la longitude de l'aphélie et des nœuds n'est pas constante mais change lentement avec le temps.

Dans les chapitres 18 à 21, Kepler compare la théorie aux observations. Tout d'abord, il compare la longitude des 8 oppositions restantes et constate qu'elles correspondent toutes à la position prévue de Mars avec une précision d'observation de Tycho de deux minutes d'arc. Cela signifie que l’hypothèse vicariante peut être considérée comme une théorie précise de la véritable anomalie. Malgré cette précision remarquable, Kepler montre que la théorie est fausse. Il remarque :

Qui aurait cru que cela était possible ? Cette hypothèse, si proche des observations, est néanmoins fausse^[11].

En utilisant les latitudes de l’opposition et le triangle de latitude de la figure 1, Kepler est capable de trouver le rapport entre les distances de la Terre et de Mars au soleil. Les distances Terre-Soleil ${\textstyle GH}$ sont tirées d'une théorie existante donnée par Tycho Brahe dans son Progymnasmata, même si ces valeurs ne sont pas précisément correctes, et le but de la partie suivante sera de déterminer une théorie plus précise du mouvement de la Terre. Les angles ${\textstyle \angle IHE}$ sont déterminés par la latitude des observations, et l'angle ${\textstyle \angle IGH}$ est déterminé à partir de l'inclinaison orbitale et de l'angle entre Mars et le nœud. À partir de là, les côtés restants peuvent être déterminés ainsi que les distances. En calculant ces distances, il a obtenu une estimation inférieure et supérieure de l'excentricité de Mars : ${\displaystyle 0,08}$ – ${\displaystyle 0,09943}$. L’excentricité trouvée dans l’hypothèse vicariante se situe en dehors de cette fourchette.

Kepler examine ensuite une autre méthode pour déterminer les distances jusqu'à Mars, en utilisant des observations de Mars lorsqu'elle n'est pas en opposition et en déterminant la longitude de Mars. L'angle entre le Soleil et Mars vu de la Terre peut être déterminé à partir d'observations. Tycho a fait de nombreuses observations de Mars lorsqu'elle n'est pas en opposition et a déterminé la différence de longitude écliptique entre le Soleil et Mars dans le ciel. L'angle entre Mars et la Terre vu du soleil peut être déterminé en calculant la longitude héliocentrique de Mars à partir de l'hypothèse vicariante, et celle de la Terre à partir de la théorie de Tycho et en prenant la différence. Et la distance entre la Terre et le Soleil est donnée par la théorie de Tycho. Ainsi, la Terre, le Soleil et Mars forment un triangle, où deux angles sont connus et où un côté est donné, les côtés et angles restants peuvent être calculés. On peut notamment déterminer la distance Terre-Mars. En calculant ces distances, Kepler trouve à nouveau une excentricité plus proche de ${\displaystyle 0,09}$, soit la moitié de la valeur de l'excentricité totale (somme de celle de l'équant plus celle du cercle).

Kepler répète le calcul où il a substitué le soleil moyen au soleil vrai, pour montrer qu'exactement la même chose se produit dans un tel cas. Ainsi, l’hypothèse du vrai soleil ne peut pas être erronée. Comme dernier recours, Kepler considère ce qui se passerait si nous substituions l'excentricité divisée en deux dans l'hypothèse vicariante (c'est-à-dire que l'excentricité du cercle soit la moitié de l'excentricité totale), qui est ${\textstyle 0,09282}$. Lorsqu'il compare ce modèle aux observations d'oppositions, il constate que l'erreur s'élève désormais à 8 minutes d'arc, ce qui est supérieur à l'erreur de mesure de Tycho.

Il écrit :

L'incohérence dans la détermination de l'excentricité signifie qu'au moins une des hypothèses qui ont servi à construire l'hypothèse vicariante doit être fausse :

• soit l'orbite n'est pas circulaire,
• soit il n'y a pas de point équant à une distance fixe du centre du cercle.

Partie 3

Dans la troisième partie, Kepler vise à déterminer une théorie précise du mouvement de la Terre, qui servira de tremplin pour déterminer une théorie plus précise pour Mars dans la section suivante.

Dans les chapitres 22 à 27, Kepler montre que la Terre ne se déplace pas uniformément autour du centre de son orbite. Les principales observations permettant de déterminer le mouvement de la Terre autour du soleil sont les observations directes du soleil ; sa longitude écliptique vue de la Terre est opposée à celle vue du soleil. Remarquablement, le mouvement circulaire uniforme peut faire correspondre ces observations avec une précision d'une minute d'arc, inférieure à la précision de l'observation de Tycho. Tycho lui-même a déterminé l'excentricité de l'orbite terrestre sur la base de ses observations et de l'hypothèse d'un mouvement circulaire uniforme à ${\textstyle 0,03584}$. En utilisant les observations de Mars, Kepler trouve plusieurs méthodes pour montrer que l'excentricité de l'orbite terrestre calculée, sur la base d'un mouvement circulaire uniforme, ne peut pas être correcte.

Une méthode utilisée par Kepler est basée sur le fait qu’après une orbite complète, Mars retourne exactement au même emplacement physique. Puisque la période orbitale de Mars est de 687 jours, nous trouvons des observations de Mars espacées de 687 jours. Si nous supposons l'existence d'un point fixe dans l'espace à partir duquel le mouvement de la Terre semble uniforme, alors la distance de Mars à ce point est fixe (puisque la position de Mars est également fixe). L'angle entre la Terre et Mars vu de l'équant peut être calculé à partir de l'anomalie moyenne de la Terre et du fait que l'angle observé depuis l'équant change à une vitesse uniforme. L'angle entre Mars et l'équant vu de la Terre peut être calculé à partir de la position observée de Mars et du fait que ce point équant imaginaire semblerait se déplacer uniformément vu de la Terre ; on peut donc utiliser l'anomalie moyenne de la Terre. Pour cela, Kepler utilise les tables de Tycho, calculées à partir de la position moyenne du soleil.

A partir d'une distance donnée et de deux angles, nous pouvons résoudre le triangle. À partir des observations, Kepler montre que la distance entre la Terre et l'équant n'est pas fixe. Par conséquent, si l’orbite de la Terre est circulaire, elle ne peut pas être centrée sur le point à partir duquel son mouvement est uniforme. L'équant est ainsi distinct du centre de l'orbite terrestre^[13]. Kepler utilise en outre diverses autres constructions pour montrer que l'excentricité réelle de l'orbite terrestre est proche de ${\textstyle 0,018}$, soit précisément la moitié de la valeur calculée à partir de l'hypothèse d'un mouvement circulaire uniforme.

Au chapitre 28, Kepler montre une méthode pour tester l'exactitude de l'hypothèse concernant l'orbite terrestre. Il s'agit essentiellement de la méthode ${\textstyle 687}$ jours inversée. Calculez la distance et l'angle par rapport à la Terre à partir de notre hypothèse. Utilisez les angles observés de Mars et les angles calculés à partir de notre théorie pour créer le même triangle, sauf que cette fois la distance à la Terre est donnée, et nous résolvons la distance et la longitude héliocentrique de Mars. Si notre hypothèse est correcte, alors pour chaque observation, la distance calculée à Mars et la longitude héliocentrique doivent être exactement les mêmes. Cette méthode nous permet également de tester l’hypothèse critique selon laquelle Mars revient réellement exactement à la même position après un tour sur son orbite.

Dans les chapitres 29 et 30, Kepler mentionne brièvement deux autres façons dont il a montré que l'excentricité de la Terre devait être divisée en deux. Il avait d'abord mesuré le diamètre angulaire du soleil en hiver (près du périhélie) et en été (près de l'aphélie) et calculé les distances relatives, ce qui donne une excentricité conforme à la moitié de la valeur de Tycho. Il avait également montré dans son Mysterium Cosmographicum que les distances de son hypothèse de polyèdres imbriqués correspondraient mieux aux observations s'il supposait que l'excentricité était la moitié de ce que propose Tycho.

Il procède ensuite à la construction du tableau permettant de calculer la position de la Terre sur la base d'une excentricité de 0,018. Il admet, en construisant ce tableau, l'utilisation d'une orbite non circulaire, mais la théorie de celle-ci est développée plus tard.

Dans les chapitres 31 à 36, Kepler s'interroge sur la raison de cette bissection de l'excentricité. Les observations ont montré que la bissection était précise pour la Terre et Mars. La bissection est également utilisée pour les planètes Jupiter et Saturne dans toutes les théories depuis Ptolémée. De même, Tycho Brahe avait montré que ce modèle fonctionnait également bien pour la Lune. En construisant une théorie pour Vénus et Mercure, Copernic avait ajouté à l'orbite un petit épicycle qui avait une période de révolution égale à l'orbite de la Terre. Kepler montre que cet épicycle peut être supprimé si nous divisons également les excentricités de Vénus et de Mercure. Ainsi l'hypothèse de l'excentricité bissectée est valable pour toutes les planètes et pour la Lune.

Puisque cela constitue une loi universelle, valable pour toutes les planètes, Kepler juge nécessaire de rechercher la cause physique de cette bissection. Kepler commence par calculer la vitesse de la planète à l'aphélie et au périhélie à partir de ce modèle d'excentricité divisée en deux ; le résultat montre que le rapport des vitesses en ces points est égal au rapport inverse des distances. A partir de là, il introduit l'hypothèse selon laquelle la vitesse de la planète est inversement proportionnelle à sa distance au soleil. Kepler soutient ensuite que cette variation de vitesse doit être le résultat d'une force provenant du soleil. Pour expliquer pourquoi chaque planète a une vitesse différente de celle qui serait autrement prédite en étendant cette loi de distance inverse à toutes les planètes, Kepler postule que chaque planète a sa propre résistance à la force générée par le soleil (un concept similaire à l'inertie). Enfin, Kepler établit que le magnétisme est la cause probable de cette force, car il possède une propriété similaire d'affaiblissement de la force avec la distance. De plus, l’existence d’un champ magnétique a été récemment découverte pour la Terre. Il suggère donc que la rotation de la Terre provoque le mouvement de la lune, et de même, si le soleil tourne également et possède un champ magnétique, cela sera la cause du mouvement des planètes.

Dans le chapitre 37, Kepler aborde brièvement le sujet de la Théorie lunaire. L'orbite de la lune nécessitait deux inégalités supplémentaires pour expliquer son mouvement, ce sont l'evection et la variation. Kepler soutient que ces deux phénomènes peuvent s'expliquer par le fait que la Lune accélère sur son orbite lorsqu'elle forme une ligne droite avec la Terre et le Soleil. Ainsi, les forces du Soleil et de la Terre se combinent pour déplacer la Lune lorsqu'elle est alignée avec elles dans cette configuration^[14].

Dans les chapitres 38 et 39, Kepler explique pourquoi les orbites des planètes ne sont pas concentriques au soleil. Il considère que chaque planète possède sa propre force magnétique qui la pousse et l'éloigne du soleil, selon l'orientation de ses pôles par rapport au soleil. Le raisonnement physique donné fait également allusion à la possibilité que l’orbite ne soit pas circulaire.

Au chapitre 40, Kepler donne une méthode de calcul de l'orbite de la Terre basée sur ces hypothèses physiques. Kepler note l'extrême difficulté qui se pose lorsqu'on essaie de calculer la vitesse de la planète, car la distance change constamment. Pour cette raison, il introduit un raccourci, inspiré de la méthode d'Archimède pour calculer ${\textstyle \pi }$. Si nous divisons l'orbite en petits triangles tirés du soleil, alors la distance parcourue par la planète est donnée par la base du triangle, et la distance au soleil est donnée par la hauteur du triangle. Si nous choisissons des triangles qui divisent le mouvement de la planète en unités de temps égales, alors les triangles ont une aire égale, car à mesure que la hauteur diminue, la base doit augmenter du même montant, à mesure que la planète se déplace plus vite, et vice versa. Kepler introduit donc sa loi des aires, des aires égales correspondent à des temps égaux^[15].

Pour calculer l'orbite à partir de cela, nous définissons l'anomalie moyenne comme le temps écoulé depuis que la planète a atteint l'aphélie pour la dernière fois divisé par la période orbitale multiplié par 360 degrés.

Dans le diagramme ci-contre, ${\textstyle A}$ est le soleil et ${\textstyle B}$ est le centre du cercle ; ${\textstyle G}$ est l'aphélie et ${\textstyle D}$ est la planète. L'aire du secteur ${\textstyle GAD}$ est l'aire balayée par la ligne tracée de la planète au soleil. D'après la loi des aires, cela est proportionnel au temps pendant lequel la planète a parcouru le segment ${\textstyle GD}$ sur son orbite, et donc aussi à l'anomalie moyenne. Ainsi la zone ${\textstyle GAD}$ donne l'anomalie moyenne. L'anomalie excentrique est définie par l'angle ${\textstyle \angle GBD}$. Puisque l'angle d'un secteur, centré sur un cercle, est toujours proportionnel à son aire, on peut aussi l'exprimer par l'aire ${\textstyle GBD}$. La relation entre ces deux zones donne la relation entre l'anomalie moyenne (et donc temporelle) et l'anomalie excentrique.

D'après le diagramme, il est clair que l'anomalie moyenne est simplement l'anomalie excentrique plus l'aire du triangle ${\textstyle DAB}$. La base de ce triangle ${\textstyle {\overline {AB}}}$ est l'excentricité du cercle, et la hauteur du triangle est proportionnelle au sinus de l'anomalie excentrique. C'est l'équation de Kepler. Si nous écrivons ${\textstyle M}$ pour l'anomalie moyenne, ${\textstyle E}$ pour l'anomalie excentrique et ${\textstyle e}$ pour l'excentricité, alors cela peut s'écrire :

$${\displaystyle M=E+e\sin(E)}$$

Kepler montre en outre que la véritable anomalie est donnée par l'anomalie excentrique plus l'angle ${\textstyle \angle DBA}$. Kepler fait référence à l'angle ${\textstyle \angle DBA}$ comme équation optique. Pour les faibles excentricités, cet angle est environ deux fois l'aire du triangle ${\textstyle DBA}$. Si nous écrivons la véritable anomalie sous la forme ${\textstyle \vartheta }$, cela donne la formule :

$${\displaystyle \vartheta \approx E+2e\sin(E)}$$

Partie 4

Dans la quatrième partie, Kepler développe une théorie précise pour expliquer le mouvement de Mars, basée sur les observations et les hypothèses physiques exposées dans la section précédente.

Dans les chapitres 41-44, Kepler prouve que l'orbite de Mars n'est pas un cercle. La procédure utilise une fois de plus le fait que la Terre, le Soleil et Mars forment un triangle. La distance Terre-Soleil peut désormais être calculée avec précision à partir de la théorie développée dans la section précédente, et la longitude héliocentrique de Mars est déterminée à partir de l'hypothèse vicariante. Pour toute observation donnée de Mars, la position de Mars peut désormais être tracée avec précision en utilisant la procédure suivante : tracez la position de la Terre en utilisant la théorie développée dans la section précédente. Ensuite, tracez une ligne partant du soleil dans la direction donnée par l’hypothèse vicariante. Tracez une ligne à partir de la Terre dans la direction correspondant à la longitude héliocentrique à laquelle Mars est observée. L'intersection de ces deux lignes correspond à la position de Mars. Enfin, une correction est apportée au fait que Mars n'est pas dans le plan de l'écliptique lorsqu'elle est observée, en utilisant la latitude déterminée à partir du Soleil. En traçant plusieurs points de Mars sur son orbite, Kepler montre que la trajectoire de Mars est plus petite sur les côtés que le cercle le mieux ajusté. ainsi, le chemin est un ovale.

Dans les chapitres 45 à 50, Kepler tente de trouver la cause physique de la déviation de la planète par rapport à une trajectoire circulaire parfaite. Il considère le modèle suivant : les rayons magnétiques du soleil en rotation déplacent la planète selon une trajectoire circulaire. Mais la force magnétique interne de la planète la fait se déplacer sur son propre cercle, créant ainsi un épicycle. Le mouvement de la planète sur cet épicycle est uniforme, tandis que le mouvement de la planète autour du soleil est non uniforme, sa vitesse étant donnée par la loi de l'aire. Ce mouvement devrait créer un chemin ovale.

Construire cet ovale est cependant extrêmement difficile, alors Kepler opte pour une autre idée : calculer les distances de la planète à son épicycle et utiliser l'hypothèse vicariante pour déterminer la direction de la planète par rapport au soleil. Le chemin ovale construit par cette méthode est légèrement plus large au périhélie qu'à l'aphélie^[16], donc à proprement parler, cette orbite ressemble à une forme d'œuf. Afin d’utiliser sa loi des aires, Kepler doit déterminer l’aire de cette forme d’œuf, ce qui n’est pas un problème trivial. Kepler se rapproche de l'ovale comme d'une ellipse, notant que la zone ne devrait pas différer de manière significative de cet forme ovale.

Cependant, lorsque Kepler compare ce modèle aux observations, il constate une erreur de 8 minutes d'arc dans les longitudes prédites. C'est la même erreur qui a été trouvée dans le modèle d'excentricité divisée en deux. Cependant, là où l'excentricité divisée en deux prédisait la planète en avant de sa position réelle, l'ovale la prédirait en arrière, donc les erreurs étaient dans la direction opposée. Après avoir rejeté diverses sources d'erreur possibles dans ses calculs, Kepler arrive à la conclusion que la trajectoire réelle de la planète doit se situer à mi-chemin entre le modèle d'excentricité bissectée et la trajectoire ovale. Cela remet également en question les principes physiques sur lesquels repose cette hypothèse^[17].

Dans les chapitres 51 à 55, Kepler utilise plusieurs paires d'observations de Mars symétriques le long de la ligne des apsides. Ces observations confirment que les distances à Mars sont les mêmes de part et d'autre et confirment ainsi que la ligne d'apsides tracée à travers le soleil est correcte, ce qui confirme son hypothèse physique. En effectuant plusieurs de ces observations, espacées de 687 jours, Kepler est capable d'ajuster les paramètres de l'orbite de Mars jusqu'à ce que les distances correspondent. Cela lui permet de trouver des distances plus précises pour Mars. Mais les observations l’obligent également à remettre en question l’exactitude de l’hypothèse vicariante en dehors des observations d’opposition. Ainsi, Kepler fait des observations de Mars proches de l'opposition, où l'on pourrait faire confiance à l'hypothèse vicariante. Après avoir ajusté les paramètres de l'orbite jusqu'à ce que les distances s'alignent, il constate que les distances sur les côtés sont exactement à mi-chemin entre ce qui est prédit par l'ovale et le modèle d'excentricité divisée en deux.

Dans les chapitres 56 à 60, Kepler raconte comment il est finalement parvenu à trouver le bon chemin pour l'orbite de Mars. Il avait remarqué que la déviation maximale de la véritable anomalie et de l'anomalie excentrique était ${\displaystyle 5,3^{\circ }}$ ; il appelle cela l'équation optique. La sécante de ceci est ${\displaystyle 1,00429}$, ce qui représente un ajustement précis à la déviation de la trajectoire de Mars par rapport à un cercle, qu'il avait précédemment déterminé à partir des observations comme étant d'environ ${\displaystyle 0,43\%}$. Il considère la possibilité que les distances puissent être données par la sécante d'une équation optique en d'autres points de son orbite. En calculant les nombres, il s'est rendu compte qu'il les avait déjà vus dans un calcul antérieur qui impliquait de projeter l'orbite de Mars sur le diamètre d'un épicycle.

Ainsi, Kepler déclare que Mars se déplace comme si elle oscillait sur le diamètre d'un épicycle. Il examine un mécanisme physique possible qui pourrait causer une telle chose, et il découvre que le même mécanisme qu'il a décrit au chapitre 39 fonctionne : la force magnétique des planètes pousse ou tire en fonction de l'orientation de ses pôles. Ce mouvement d'oscillation s'avère proportionnel à ${\textstyle \cos(E)}$, de sorte que la distance radiale au soleil est donnée par: $${\displaystyle r=1-e.\cos(E)}$$ Où: ${\textstyle E}$ est l'anomalie excentrique, et ${\textstyle e}$ est l'excentricité

Ce que Kepler venait de décrire ici est essentiellement la formule d'une ellipse en coordonnées polaires^[18]. Cependant, lorsqu'il a tenté la construction, il a commis une erreur, ce qui a abouti à une orbite complètement différente qui ne correspondait pas aux observations. Après être revenu à sa méthode précédente, il est de nouveau tombé sur l'ellipse, ce n'est qu'à ce moment-là qu'il a réalisé son erreur. Il écrit :

J'ai mis [l'équation originale] de côté et je me suis rabattu sur les ellipses, estimant que c'était une hypothèse tout à fait différente, alors que les deux, comme je le prouverai dans le prochain chapitre, ne font qu'un dans  [sic] la même... Ah, quel oiseau insensé j'ai été !^[19]

Partie 5

Dans la dernière section, Kepler donne un aperçu précis de la latitude écliptique de Mars. Il expose également une hypothèse physique pour expliquer pourquoi les orbites des planètes ne sont pas précisément dans le même plan.

Dans les chapitres 61-62, Kepler détermine les valeurs des nœuds ascendants et descendants de Mars. En utilisant la distance à la Terre et à Mars calculée à partir de la section précédente et la latitude géocentrique observée de Mars, Kepler est capable de déterminer la latitude héliocentrique de Mars en tout point de son orbite. À partir de là, Kepler détermine chacun des paramètres en utilisant les mêmes méthodes que celles des chapitres 11 à 14. Pour le nœud ascendant, il trouve ${\textstyle 46^{\circ }32{\frac {1}{2}}'}$ et pour les nœuds descendants ${\textstyle 226^{\circ }32{\frac {1}{2}}'}$. Il détermine également que l'inclinaison orbitale est ${\textstyle 1^{\circ }49'}$.

Au chapitre 63, Kepler donne une raison physique pour laquelle les orbites des planètes ne sont pas dans le même plan. Il considère l'idée selon laquelle la rotation du soleil définit un plan invariable. Toutes les planètes sont inclinées d’un angle par rapport à ce plan, car leur champ magnétique est attiré vers une direction fixe dans l’espace au-dessous de ce plan.

Au chapitre 64, Kepler montre que la parallaxe de Mars doit être petite. S'il y avait eu une parallaxe notable, cela aurait affecté l'emplacement apparent des nœuds ascendants et descendants. Mais les valeurs mesurées sont exactement ${\displaystyle 180^{\circ }}$ les unes des autres.

Dans les chapitres 65-66, Kepler montre que Mars ne s'approche pas au plus près de la Terre précisément à l'opposition, mais la date de la plus proche approche peut être quelques jours avant ou après l'opposition.

Dans les chapitres 67-70, Kepler examine plusieurs questions relatives au comportement à long terme des orbites de la Terre et de Mars, en comparant ses observations avec celles de l'époque de Ptolémée. Le caractère imprécis de certaines de ces observations, ainsi que les erreurs, rendent parfois difficile l’obtention de résultats concluants. Certaines de ces questions incluent : les excentricités des orbites changent-elles avec le temps ? ou les nœuds précession à un rythme non uniforme ?

Édition originale

• (la) Joannus Keplerus, Astronomia nova ..., seu physica coelestis, tradita commentariis de motibus stellae martis, Heidelberg, Vögelin, 1609, 337 p. (DOI 10.3931/e-rara-558)

Traductions

• Jean Képler (trad. Jean Peyroux), Astronomie nouvelle (Astronomia nova), Paris, librairie A. Blanchard, 1979 (ISBN 978-2-85367-005-0)
• Johannes Kepler, New Astronomy, traduction de William H. Donahue, Cambridge: Cambridge Univ. Pr., 1992. (ISBN 0-521-30131-9)
• Jean Képler, traduit par Jean Peyroux, Astronomie nouvelle (Astronomia nova), Paris, librairie A. Blanchard, 1979 (ISBN 2-85367-005-8).