Modèle linéaire généralisé

Le modèle

Soit

${\displaystyle \operatorname {E} (Y|\mathbf {X} )={\boldsymbol {\mu }}=g^{-1}(\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }})}$

où ${\displaystyle \operatorname {E} (Y|\mathbf {X} )}$ est l'espérance mathématique de ${\displaystyle Y}$ conditionnelle à ${\displaystyle \mathbf {X} }$; ${\displaystyle \mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}}$ est le prédicteur linéaire, c'est-à-dire une combinaison linéaire des variables explicatives, et où ${\displaystyle g}$ est une fonction monotone appelée fonction de lien.

De plus

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y|\mathbf {X} )=\operatorname {V} ({\boldsymbol {\mu }})=\operatorname {V} (g^{-1}(\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }})).}$

où ${\displaystyle \operatorname {V} }$ est appelée fonction variance, qui dépend la loi ${\displaystyle Y}$ (au sein de la famille exponentielle)

La fonction de lien

La fonction de lien est la fonction qui permet de passer du prédicteur linéaire ${\displaystyle \mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}}$ à la moyenne de la distribution ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$. L'objectif est de passer d'une distribution non normale, non distribuée sur ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$, à une fonction qui l'est et qui peut donc être analysé comme tout modèle linéaire. Pour les distributions les plus courantes, les fonctions canoniques sont résumées dans le tableau suivant :

Davantage d’informations Fonction de lien, ...

Distribution	Domaine	Usages	Nom de la fonction	Fonction de lien, ${\displaystyle \mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}=g(\mu )\,\!}$	Fonction de la moyenne ${\displaystyle \mu }$
Normale	Réel : ${\displaystyle (-\infty ,+\infty )}$		Identité	${\displaystyle \mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}=\mu \,\!}$	${\displaystyle \mu =\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}\,\!}$
Laplace
Exponentielle	Réel : ${\displaystyle (0,+\infty )}$		Inverse négative	${\displaystyle \mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}=-\mu ^{-1}\,\!}$	${\displaystyle \mu =-(\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }})^{-1}\,\!}$
Gamma
Inverse-gaussienne	Réel : ${\displaystyle (0,+\infty )}$		Inverse carré	${\displaystyle \mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}=\mu ^{-2}\,\!}$	${\displaystyle \mu =(\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }})^{-1/2}\,\!}$
Poisson	Entiers : ${\displaystyle 0,1,2,\ldots }$		Log	${\displaystyle \mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}=\ln(\mu )\,\!}$	${\displaystyle \mu =\exp(\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }})\,\!}$
Bernoulli	Entiers : ${\displaystyle \{0,1\}}$		Logit	${\displaystyle \mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}=\ln \left({\frac {\mu }{1-\mu }}\right)\,\!}$	${\displaystyle \mu ={\frac {\exp(\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }})}{1+\exp(\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }})}}={\frac {1}{1+\exp(-\mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }})}}\,\!}$
Binomiale	Entiers : ${\displaystyle 0,1,\ldots ,N}$			${\displaystyle \mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}=\ln \left({\frac {\mu }{n-\mu }}\right)\,\!}$
Multinomiale	K-vecteur d'entiers : ${\displaystyle [0,N]}$			${\displaystyle \mathbf {X} {\boldsymbol {\beta }}=\ln \left({\frac {\mu }{1-\mu }}\right)\,\!}$

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