Axiome du choix dépendant
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En mathématiques, l'axiome du choix dépendant, noté DC, est une forme faible de l'axiome du choix (AC), suffisante pour développer une majeure partie de l'analyse réelle. Il a été introduit par Bernays[1].
L'axiome peut s'énoncer comme suit[2] : pour tout ensemble non vide X, et pour toute relation binaire R sur X, si l'ensemble de définition de R est X (c'est-à-dire si pour tout a ∈ X, il existe au moins un b ∈ X tel que aRb) alors il existe une suite (xn) d'éléments de X telle que pour tout n ∈ , xnRxn+1. Cet axiome est nécessaire pour définir une telle suite infinie, mais pas pour obtenir, pour chaque entier n, une suite finie de n termes en relation (un terme avec le suivant). Dans le cas particulier où l'axiome est restreint à l'ensemble des nombres réels, l'axiome est parfois noté DCR.
Utilisation
DC est la variante la moins puissante d'AC nécessaire à montrer l'existence d'une suite construite par une récursion transfinie de longueur dénombrable et dans laquelle il faut faire un choix à chaque étape. Un exemple de théorème est le lemme de König, qui dit qu'un arbre infini à branchement fini possède une branche infinie.
