Axiome du choix dénombrable
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L'axiome du choix dénombrable, noté ACω, est un axiome de la théorie des ensembles qui stipule que tout ensemble dénombrable d'ensembles non vides doit avoir une fonction de choix, c'est-à-dire que pour toute suite (A(n)) d'ensembles non vides, il existe une fonction f définie sur N (l'ensemble des entiers naturels) telle que f(n) ∈ A(n) pour tout n ∈ N.
L'axiome du choix dénombrable (ACω) est strictement plus faible que l'axiome du choix dépendant (DC)[1], qui à son tour est plus faible que l'axiome du choix (AC). Paul Cohen a montré que ACω n'est pas démontrable dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF) sans l'axiome du choix[2]. ACω est vrai dans le modèle de Solovay.
ZF + ACω suffit pour prouver que la réunion d'une famille dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable. Elle suffit également pour prouver que tout ensemble infini est un ensemble infini de Dedekind (en) (de manière équivalente : possède un sous-ensemble infini dénombrable).
ACω est particulièrement utile pour le développement de l'analyse, où de nombreux résultats dépendent de l'existence d'une fonction de choix pour une famille dénombrable d'ensembles de nombres réels. Par exemple, afin de prouver que tout point d'accumulation x d'un ensemble S⊆R est la limite d'une suite d'éléments de S\{x}, on a besoin (d'une forme faible) de l'axiome du choix dénombrable. Lorsqu'il est formulé pour les points d'accumulation d'espaces métriques arbitraires, l'énoncé devient équivalent à ACω[3].
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Une idée fausse communément répandue est que ACω a une nature récurrente, et est donc démontrable en tant que théorème (dans ZF, ou équivalent, ou même dans des systèmes plus faibles) par récurrence. Cependant, ce n'est pas le cas; cette fausse idée est le résultat de la confusion de la notion de choix dénombrable avec la notion de choix fini pour un ensemble fini de taille n (pour n choisi arbitrairement), c'est ce dernier résultat (qui est un théorème élémentaire en analyse combinatoire) qui est démontrable par récurrence. Toutefois, il peut être démontré que certains ensembles infinis dénombrables d'ensembles non vides ont une fonction de choix dans ZF sans aucune forme de l'axiome du choix. Ceux-ci comprennent Vω\{Ø} et l'ensemble d'intervalles ouverts propres et bornés de nombres réels avec des bornes rationnelles.
