Cœur (théorie des jeux)

Un jeu coopératif à utilité transférable est une paire ${\displaystyle (N,v)}$, où ${\displaystyle N}$ est un ensemble fini et non-vide représentant le groupe, et ${\displaystyle v}$ est la fonction caractéristique qui associe une valeur à chaque coalition (sous-ensemble) ${\displaystyle S\subseteq N}$ telle que,

${\displaystyle v:2^{N}\rightarrow \mathbb {R} ,\quad v(\emptyset )=0}$

Ainsi, dans un jeu ${\displaystyle (N,v)}$, il existe ${\displaystyle 2^{N}-1=\{S\subseteq N\}}$ coalitions différentes non-vides. L'ensemble des vecteurs de réalisations possibles de ${\displaystyle (N,v)}$ se note,

${\displaystyle X(N,v)=\{x\in \mathbb {R} ^{N}|x(N)\leq v(N)\}}$

Similairement, ${\displaystyle x(S)=\sum _{i\in S}x_{i},\ x(\emptyset )=0}$, est l'ensemble des vecteurs de réalisations possibles d'une coalition ${\displaystyle S\subseteq N}$. L'excès d'une coalition ${\displaystyle S\subseteq N}$ se note,

${\displaystyle e(S,x,v)=v(S)-x(S)}$

Plus l'excès est élevé, moins la coalition est intéressante pour un agent ${\displaystyle i\in S}$ et si l'excès est supérieur à la valeur ${\displaystyle v(S)}$, alors l'allocation est sous-optimale pour l'agent rationnel. Le cœur de ${\displaystyle (N,v)}$ est défini par,

${\displaystyle {\mathcal {C}}(N,v)=\{x\in X(N,v)|e(S,x,v)\leq 0\ \forall S\subseteq N\}}$

Ce sont les vecteurs de valeurs possibles qui génèrent un excès non-positif, c'est-à-dire les coalitions qui sont d'intérêt pour ${\displaystyle i\in S}$. Si la fonction caractéristique est une fonction de coût, alors l'excès sera non-positif lorsque la coalition est sous-additive. Inversement pour une fonction de profit, l'excès sera non-positif lorsque la coalition est superadditive.

L'ensemble des vecteurs de réalisations possibles qui sont individuellement rationnels, i.e. les imputations, se note,

${\displaystyle {\mathcal {I}}(N,v)=\{x\in {\mathcal {I}}^{*}(N,v)|x_{k}\geq v({k})\ \forall k\in N\}}$

Où ${\displaystyle {\mathcal {I}}^{*}}$ est l'ensemble de pré-imputation (lorsque la rationalité individuelle n'est pas intégrée),

${\displaystyle {\mathcal {I}}^{*}(N,v)=\{x\in \mathbb {R} ^{N}|x(N)=v(N)\}}$

Pour deux agents différents ${\displaystyle i,j\in N}$, l'ensemble des coalitions contenant ${\displaystyle i}$ mais pas ${\displaystyle j}$ se note, ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{ij}=\{S\subseteq N|j\notin S\ni i\}}$, alors l'excès maximum de ${\displaystyle i}$ sans ${\displaystyle j}$ est noté,

${\displaystyle s_{ij}(x,v)=\max\{e(S,x,v)|S\in {\mathcal {T}}_{ij}\}}$

Une imputation fait partie du noyau dès le moment où l'excès des coalitions s'équilibre, le noyau se note donc,

${\displaystyle {\mathcal {K}}(N,v)=\{x\in {\mathcal {I}}(N,v)|s_{ij}(x,v)\leq s_{ji}(x,v)\Rightarrow x_{j}=V(\{j\})\ \forall i,j\in N,i\neq j\}}$

Le pré-noyau est,

${\displaystyle {\mathcal {K}}^{*}(N,v)=\{x\in {\mathcal {I}}^{*}(N,v)|s_{ij}(x,v)\leq s_{ji}(x,v)\ \forall i,j\in N,i\neq j\}}$

C'est analogue au cas du noyau mais il s'agit d'une pré-imputation et du pré-noyau (lorsque la rationalité individuelle n'est pas intégrée).

• Michel Le Breton et Karine Van der Straeten, Alliances Electorales et Gouvernementales : La Contribution de la Théeorie des Jeux Coopéeratifs à la Science Politique, vol. 127, Dalloz, 2017, 103 p. (lire en ligne).
• (en) R. Duncan Luce et Howard Raiffa, Games and Decisions : Introduction and Critical Survey, New York, Courier Corporation, 1^er avril 1989, 509 p. (ISBN 0-486-65943-7 et 9780486659435, lire en ligne).
• (en) Lloyd S. Shapley, Notes on the n-Person Game, III : Some Variants of the Von Neumann-Morgenstern Definition of Solution, RAND Memorandum, 22 avril 1952, 12 p. (lire en ligne).
• (en) Peter Sudhölter et Bezalel Peleg, The positive prekernel of a cooperative game, vol. 2, t. 4, International Game Theory Review (IGTR), 2000, 19 p. (lire en ligne).

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