Citron (géométrie)

Avec les notations précédentes, l'aire du "citron" est donnée par^[2] :

${\displaystyle A=2\pi R^{2}\int _{-\varphi _{m}}^{\varphi _{m}}(\cos \varphi -\cos \varphi _{m})d\varphi }$

Son volume est donné par :

${\displaystyle V=\pi R^{3}\int _{-\varphi _{m}}^{\varphi _{m}}(\cos \varphi -\cos \varphi _{m})^{2}\cos \varphi d\varphi }$

Ces intégrales peuvent être calculées, ce qui donne :

${\displaystyle A=4\pi R^{2}(\sin \varphi _{m}-\varphi _{m}\cos \varphi _{m})}$

${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi R^{3}\left(\sin ^{3}\varphi _{m}-{\tfrac {3}{4}}\cos \varphi _{m}(2\varphi _{m}-\sin 2\varphi _{m})\right)}$

La pomme est générée par la rotation d'un arc de demi-angle au sommet ${\displaystyle \varphi _{m}}$ supérieur à ${\displaystyle \pi /2}$ autour de sa corde. Les formules ci-dessus sont valables pour le citron et la pomme.

Dans le cas où ${\displaystyle R=2r,\varphi _{m}=\pi /3}$ (la section par un plan passant par l'axe est alors une vesica piscis), on obtient^[3]:

${\displaystyle A=2\pi \left({\sqrt {3}}-{\frac {\pi }{3}}\right)R^{2}}$,

${\displaystyle V=\pi \left(3{\frac {\sqrt {3}}{4}}-{\frac {\pi }{3}}\right)R^{3}}$.

• Lentille (géométrie)
• Vesica piscis
• Cyclide de Dupin (en) , image d'un tore par une inversion.

• (en) Eric W. Weisstein, « Lemon Surface », sur MathWorld

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