Coefficient matriciel
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En mathématiques, un coefficient matriciel (ou élément de matrice) est une fonction sur un groupe d'une forme spéciale, qui dépend d'une représentation linéaire du groupe et de données supplémentaires. Plus précisément, c'est une fonction sur un groupe topologique G, obtenue en composant une représentation de G sur un espace vectoriel V avec une forme linéaire définie sur les endomorphismes de V1. Elle est aussi appelée fonction représentative[1]. Ces fonctions interviennent naturellement dans les représentations de dimension finie de G en tant que coefficients des représentations matricielles correspondantes. Lorsque le groupe G est compact, le théorème de Peter-Weyl exprime que les coefficients matriciels sur G sont denses dans l'espace de Hilbert des fonctions de carré intégrable sur G.
Les coefficients matriciels des représentations des groupes de Lie se sont avérés intimement liés à la théorie des fonctions spéciales, fournissant une approche unificatrice de grandes parties de cette théorie. Les propriétés de croissance des coefficients matriciels jouent un rôle clé dans la classification des représentations irréductibles des groupes localement compacts, en particulier les groupes réductifs réels et p-adiques. Le formalisme des coefficients matriciels conduit à généraliser la notion de forme modulaire. Dans une direction différente, les propriétés de mélange de certains systèmes dynamiques sont contrôlées par les propriétés de coefficients matriciels appropriés.
Un coefficient matriciel (ou élément de matrice) d'une représentation linéaire ρ d'un groupe G sur un espace vectoriel V est une fonction définie sur le groupe de la forme définie par
- ,
où est un vecteur de , est une forme linéaire continue sur , et est un élément quelconque de . Cette fonction prend des valeurs scalaires sur . Si est un espace de Hilbert, alors par le théorème de représentation de Riesz, tous les coefficients de matrice sont de la forme
pour des vecteurs et convenables de .
Pour de dimension finie et et vecteurs d'une base, il s'agit en fait de la fonction déterminée par un coefficient fixé de la matrice de la représentation.
