Forme automorphe
From Wikipedia, the free encyclopedia
En analyse harmonique et en théorie des nombres, une forme automorphe est une fonction définie sur un groupe topologique G et à valeurs dans le corps des nombres complexes (ou un espace vectoriel complexe) qui est invariante (ou plus généralement possèdent « de bonnes propriétés » d'équivariance) sous l'action d'un sous-groupe discret du groupe G et qui vérifie certaines conditions de dérivabilité et de croissance à l'infini. Les formes automorphes sont une généralisation de l'idée de fonctions périodiques sur la droite réelle ou un espace euclidien à des groupes topologiques généraux.
Les formes modulaires sont des formes automorphes définies sur les groupes et et prenant comme sous-groupe discret le groupe modulaire ; en ce sens la théorie des formes automorphes est une généralisation de la théorie des formes modulaires. Plus généralement, l'approche adélique permet une définition plus intrinsèque, en considérant toutes les classes de congruences de sous-groupes à la fois.
Poincaré a d'abord découvert les formes automorphes comme généralisations des fonctions trigonométriques et elliptiques. Grâce aux conjectures de Langlands, dont elles sont un ingrédient essentiel, les formes automorphes jouent un rôle important dans la théorie des nombres moderne[1].
En mathématiques, la notion de facteur d'automorphie intervient lorsqu'un groupe agit sur une variété analytique complexe. Supposons qu'un groupe agisse sur une variété analytique complexe . Alors, agit également sur l'espace des fonctions holomorphes de vers . Une fonction est appelée forme automorphe si les conditions suivantes sont satisfaites :
- ,
où est une fonction holomorphe partout non nulle.
Le facteur d'automorphie pour la forme automorphe est la fonction . Une fonction automorphe est une forme automorphe pour laquelle est l'identité. Il est difficile d'obtenir des exemples de formes automorphes concrètes, bien que certaines aient des propriétés directement analytiques :
- la série d'Eisenstein (qui est une forme modulaire) sur certaines extensions de corps) ;
- certaines généralisations de la fonction L de Dirichlet dans la théorie des corps de classes.
