Conique du triangle

En géométrie euclidienne, une conique du triangle est une conique dans le plan du triangle de référence et qui lui est associée d'une manière ou d'une autre. Par exemple, le cercle circonscrit et le cercle inscrit au triangle de référence sont des coniques du triangle. D'autres exemples sont l'ellipse de Steiner, qui est une ellipse passant par les sommets et ayant son centre au centre de gravité du triangle de référence ; l'hyperbole de Kiepert qui est une conique passant par les sommets, le centre de gravité et l' orthocentre du triangle de référence ; et les paraboles d'Artzt, qui sont des paraboles touchant deux côtés étendus du triangle de référence aux sommets du triangle.

La terminologie de conique du triangle est largement utilisée dans la littérature mais sans définition formelle ; c'est-à-dire sans formuler précisément les relations qu'une conique devrait avoir avec le triangle de référence afin de la qualifier de triangle conique^[1]^,^[2]^,^[3]^,^[4]. Cependant, le mathématicien grec Paris Pamfilos définit une conique du triangle comme une « conique circonscrivant un triangle $△ ABC$ (c'est-à-dire passant par ses sommets) ou inscrite dans un triangle (c'est-à-dire tangente à ses côtés, éventuellement étendus)^[5]^,^[6].» La terminologie de cercle du triangle (respectivement ellipse, hyperbole, parabole) est utilisée pour désigner un cercle (respectivement ellipse, hyperbole, parabole) associé au triangle de référence d'une certaine façon.

Même si plusieurs coniques du triangle ont été étudiées individuellement, il n'existe pas d'encyclopédie complète ni de catalogue de coniques du triangle similaire à l'Encyclopédie des centres triangulaires de Clark Kimberling ou au Catalogue of Triangle Cubics de Bernard Gibert^[7].

L'équation d'une conique du triangle générale en coordonnées trilinéaires $x : y : z$ a la forme $rx^{2}+sy^{2}+tz^{2}+2uyz+2vzx+2wxy=0.$ Les équations des coniques circonscrites et inscrites au triangle ont respectivement les formes ${\begin{aligned}&uyz+vzx+wxy=0\\[2pt]&l^{2}x^{2}+m^{2}y^{2}+n^{2}z^{2}-2mnyz-2nlzx-2lmxy=0\end{aligned}}$

Coniques du triangle spéciales

Dans ce qui suit, quelques coniques du triangle spéciales typiques sont présentées. Dans les descriptions, les notations standards sont utilisées : le triangle de référence est toujours noté $△ ABC$ . Les angles aux sommets $A, B, C$ sont notés $A, B, C$ et les longueurs des côtés opposés aux sommets $A, B, C$ sont respectivement $a, b, c$ . Les équations des coniques sont données à partir des coordonnées trilinéaires $x : y : z$ . Les coniques sont sélectionnées pour illustrer les différentes manières dont une conique pourrait être associée à un triangle.

Cercles du triangle

Quelques cercles du triangle connus^[8]
Name	Definition	Equation	Figure
Cercle circonscrit	Cercle passant par les sommets du triangle	${\frac {a}{x}}+{\frac {b}{y}}+{\frac {c}{z}}=0$	Cercle circonscrit à $△ ABC$
Cercle inscrit	Cercle tangent aux côtés du triangle et à l'intérieur du triangle	$\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}=0$	Cercle inscrit de $△ ABC$
Cercles exinscrits	Cercles tangents aux côtés du triangle et à l'extérieur du triangle	${\begin{aligned}\pm {\sqrt {-x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}&=0\\[2pt]\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\frac {C}{2}}&=0\\[2pt]\pm {\sqrt {x}}\cos {\frac {A}{2}}\pm {\sqrt {y}}\cos {\frac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\frac {C}{2}}&=0\end{aligned}}$	Cercles inscrit et exiscrits
Cercle d'Euler (ou cercle de Feuerbach, cercle des neuf points, cercle de Terquem)	Cercle passant par les milieux des côtés, les pieds des hauteurs et les milieux des segments reliant les sommets à l'orthocentre	${\begin{aligned}&x^{2}\sin 2A+y^{2}\sin 2B+z^{2}\sin 2C\ -\\&2(yz\sin A+zx\sin B+xy\sin C)=0\end{aligned}}$	Les neuf points
Cercle de Lemoine	Cercle passant par les intersections des côtés avec les droites parallèles à un côté passant par le point de Lemoine $K$ .		Cercle de Lemoine du triangle ABC

Ellipses du triangle

Quelques ellipses triangulaires bien connues
Nom	Définition	Équation	Figure
Ellipse de Steiner	Conique passant par les sommets de $△ ABC$ et ayant pour centre le centre de gravité de $△ ABC$	${\frac {1}{ax}}+{\frac {1}{by}}+{\frac {1}{cz}}=0$	Ellipse de Steiner de $△ ABC$
Ellipse inscrite de Steiner	Ellipse intérieure tangente aux milieux des côtés	${\begin{aligned}&a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-\\&2bcyz-2cazx-2abxy=0\end{aligned}}$	Ellipse inscrite de Steiner de $△ ABC$

Hyperboles du triangle

Quelques hyperboles triangulaires bien connues
Nom	Définition	Équation	Figure
Hyperbole de Kiepert	Si les trois triangles $△ XBC$ , $△ YCA$ , $△ ZAB$ , construits sur les côtés de $△ ABC$ comme bases, sont semblables, isocèles et situés de manière similaire, alors les droites $(AX), (BY), (CZ)$ concourent en un point $N$ . Le lieu des points $N$ est l'hyperbole de Kiepert.	${\frac {\sin(B-C)}{x}}+{\frac {\sin(C-A)}{y}}+{\frac {\sin(A-B)}{z}}=0$	Hyperbole de Kiepert de $△ ABC$ . L'hyperbole passe par les sommets $A, B, C$ , l'orthocentre ( $O$ ) et le centre de gravité ( $G$ ) du triangle.
Hyperbole de Jerabek	La conique qui passe par les sommets, l'orthocentre et le centre circonscrit du triangle de référence est connue sous le nom d'hyperbole de Jerabek. C'est toujours une hyperbole équilatère.	${\begin{aligned}&{\frac {a(\sin 2B-\sin 2C)}{x}}+{\frac {b(\sin 2C-\sin 2A)}{y}}\\[2pt]&+{\frac {c(\sin 2A-\sin 2B)}{z}}=0\end{aligned}}$	Hyperbole de Jerabek de $△ ABC$

Paraboles du triangle

Quelques paraboles triangulaires bien connues
Nom	Définition	Équation	Figure
Paraboles d'Artzt ^[9]	Une parabole tangente en deux sommets $B, C$ aux côtés $AB, AC$ et au milieu du côté du triangle médian parallèle à $BC$ , et deux autres paraboles similaires.	${\begin{aligned}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {4yz}{bc}}&=0\\[2pt]{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {4zx}{ca}}&=0\\[2pt]{\frac {z^{2}}{c^{2}}}-{\frac {4xy}{ab}}&=0\end{aligned}}$	Paraboles d'Artzt de $△ ABC$
Parabole de Kiepert ^[10]	Soit trois triangles isocèles similaires $△ A'BC$ , $△ AB'C$ , $△ ABC'$ sur les côtés de $△ ABC$ . Alors l' enveloppe de l' axe de perspective des triangles $△ ABC$ et $△ A'B'C'$ est la parabole de Kiepert.	${\begin{aligned}&f^{2}x^{2}+g^{2}y^{2}+h^{2}z^{2}-\\[2pt]&2fgxy-2ghyz-2hfzx=0,\\[8pt]&{\textrm {avec}}f=b^{2}-c^{2},\\&g=c^{2}-a^{2},\ h=a^{2}-b^{2}.\end{aligned}}$	Parabole de Kiepert de $△ ABC$ . La figure montre également un membre (ligne $LMN$ ) de la famille de droites dont l'enveloppe est la parabole de Kiepert.

Familles de coniques du triangle

Ellipses de Hofstadter

Famille des coniques de Hofstadter de $△ ABC$

Une ellipse de Hofstadter ^[11] fait partie d'une famille d'ellipses à un paramètre dans le plan de $△ ABC$ défini par l'équation suivante en coordonnées trilinéaires : $x^{2}+y^{2}+z^{2}+yz\left[D(t)+{\frac {1}{D(t)}}\right]+zx\left[E(t)+{\frac {1}{E(t)}}\right]+xy\left[F(t)+{\frac {1}{F(t)}}\right]=0$ où $t$ est un paramètre et ${\begin{aligned}D(t)&=\cos A-\sin A\cot tA\\E(t)&=\cos B-\sin B\cot tB\\F(t)&=\sin C-\cos C\cot tC\end{aligned}}$ Les ellipses correspondant à $t$ et $1 - t$ sont identiques. Quand $t = 1/2$ on a l'ellipse $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2yz-2zx-2xy=0$ et quand $t \to 0$ on a l'ellipse circonscrite ${\frac {a}{Ax}}+{\frac {b}{By}}+{\frac {c}{Cz}}=0.$

Coniques de Thomson et Darboux

La famille des coniques de Thomson comprend les coniques inscrites dans le triangle de référence $△ ABC$ ayant la propriété que les normales aux points de contact avec les côtés sont concurrentes. La famille des coniques de Darboux contient comme membres les coniques circonscrites à $△ ABC$ telles que les normales aux sommets de $△ ABC$ sont concourantes. Dans les deux cas, les points de concurrence se situent sur la cubique de Darboux^[12]^,^[13].

Conique associée aux interceptions parallèles

Coniques associées aux interceptions parallèles

Étant donné un point arbitraire dans le plan du triangle de référence $△ ABC$ , si des lignes sont tracées passant par $P$ parallèlement aux lignes latérales $BC, CA, AB$ coupant les autres côtés en $X b, X c, Y c, Y a, Z a, Z b$ alors ces six points d'intersection se trouvent sur une conique. Si P est choisi comme le point de Lemoine, la conique résultante est un cercle appelé cercle de Lemoine. Si les coordonnées trilinéaires de $P$ sont $u : v : w$ l'équation de la conique à six points est ^[14] $-(u+v+w)^{2}(bcuyz+cavzx+abwxy)+(ax+by+cz)(vw(v+w)ax+wu(w+u)by+uv(u+v)cz)=0$

Coniques d'Yff

Les membres de la famille des coniques à un paramètre définie par l'équation $x^{2}+y^{2}+z^{2}-2\lambda (yz+zx+xy)=0,$ où $\lambda$ est un paramètre, sont les coniques d'Yff associées au triangle de référence $△ ABC$ ^[15]. À chaque point $P (u : v : w)$ est associé un membre de la famille $P (u : v : w)$ dans le plan en posant $\lambda ={\frac {u^{2}+v^{2}+w^{2}}{2(vw+wu+uv)}}.$ La conique d'Yff est une parabole si $\lambda ={\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}-2(bc+ca+ab)}}=\lambda _{0}$ C'est une ellipse si $\lambda <\lambda _{0}$ et $\lambda _{0}>{\frac {1}{2}}$ et c'est une hyperbole si $\lambda _{0}<\lambda <-1$ . Pour $-1<\lambda <{\frac {1}{2}}$ , les coniques sont imaginaires.

Coniques de Rabinowitz

La famille des coniques de Rabinowitz sont liées à un point P du plan du triangle de référence $△ ABC$ . Pour la construire, on construit le point D à l'extérieur du triangle tel que BD = BP et (BD) // (AP), puis de façon similaire les points E, F, G, H et I. Ces points sont tous sur une même conique^[16].

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron