Conjecture de Lander-Parkin-Selfridge

Les équations diophantiennes, telles que la version entière de l'équation a² + b² = c² qui apparaît dans le théorème de Pythagore, sont étudiées depuis des siècles. Le dernier théorème de Fermat affirme que pour des exposants supérieurs ou égaux à 3, l'équation a^k + b^k = c^k n'admet aucune solution en entiers strictement positifs a, b, c . En augmentant le nombre de termes de part et d'autre de l'équation et en autorisant des puissances supérieures à 2, Leonhard Euler proposa en 1769 que pour tous entiers n et k supérieurs ou égaux à 2, si la somme de ${\displaystyle n}$ puissances k-ièmes d'entiers strictement positifs est elle-même une puissance k-ième, alors n est supérieur ou égal à k .

En symboles, si ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}}$ où ${\displaystyle n,k\geqslant 2}$ et ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n},b}$ sont des entiers strictement positifs, alors sa conjecture était que ${\displaystyle n\geqslant k}$.

En 1966, un contre-exemple à cette conjecture d'Euler sur la somme de puissances a été trouvé par Leon J. Lander et Thomas R. Parkin pour k = 5 ^[1]:

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵.

Au cours des années suivantes, d'autres contre-exemples ont été trouvés, notamment pour k = 4. Ces derniers ont réfuté la conjecture quartique d'Euler, à savoir que a⁴ + b⁴ + c⁴ = d⁴ n'admet pas de solutions entières strictement positives. La plus petite solution, trouvée en 1988, est

414560⁴ + 217519⁴ + 95800⁴ = 422481⁴.

En 1967, LJ Lander, TR Parkin et John Selfridge ont émis l'hypothèse^[1] que si ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k},}$ où a_i ≠ b_j sont des entiers strictement positifs pour tout 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ m, alors m + n ≥ k.

Petits exemples avec ${\displaystyle m=n={\tfrac {k}{2}}}$, donc ${\displaystyle m+n=k}$ (liés aux nombres taxicab généralisés) :

59⁴ + 158⁴ = 133⁴+ 134⁴ (connu d'Euler)

et

3⁶ + 19⁶ + 22⁶ = 10⁶ + 15⁶ + 23⁶ (trouvé par K. Subba Rao en 1934).

La conjecture implique, dans le cas particulier où m = 1, que si ${\displaystyle 2\leqslant n\leqslant k-2}$, l'équation $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}}$$ n'a pas de solutions en entiers strictement positifs.

Pour le cas particulier de m = 1, voici quelques exemples ; pour ${\displaystyle k}$ donné ${\displaystyle n_{min}}$ est la plus petite valeur de ${\displaystyle n}$ pour laquelle ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}}$ a une solution non triviale^[2]:

• k = 3 ; ${\displaystyle n_{min}=3}$ (prouvé par le dernier théorème de Fermat et l'exemple suivant)

3³ + 4³ + 5³ = 6³

• k = 4 ; ${\displaystyle n_{min}=3}$ (prouvé par le dernier théorème de Fermat et l'exemple suivant)

95800⁴ + 217519⁴ + 414560⁴ = 422481⁴ (Roger Frye, 1988)

avec ${\displaystyle n=4}$ :

30⁴ + 120⁴ + 272⁴ + 315⁴ = 353⁴ (R. Norrie, 1911)

• k = 5; avec ${\displaystyle n=4}$ :

27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵ (Lander, Parkin, 1966)

avec ${\displaystyle n=5}$ :

7⁵ + 43⁵ + 57⁵ + 80⁵ + 100⁵ = 107⁵ (Sastry, 1934, third smallest)

• k = 6

(aucune solution connue. En 2002, il n'existait aucune solution avec b ≤ 730000. )

• k = 7

Avec ${\displaystyle n=7}$ :

127⁷ + 258⁷ + 266⁷ + 413⁷ + 430⁷ + 439⁷ + 525⁷ = 568⁷ (M. Dodrill, 1999)

• k = 8

Avec ${\displaystyle n=8}$ :

90⁸ + 223⁸ + 478⁸ + 524⁸ + 748⁸ + 1088⁸ + 1190⁸ + 1324⁸ = 1409⁸ (Scott Chase, 2000)

• k ≥ 9

(aucune solution connue)

On ne sait pas si la conjecture est vraie, ni s'il existe des solutions non triviales qui seraient des contre-exemples, comme a^k + b^k = c^k + d^k pour k ≥ 5^[1].