Sommes de puissances

Dans cette section, puissance signifie puissance entière d'entier.

• La somme des ${\displaystyle n}$ premiers cubes est égale au carré de la somme des ${\displaystyle n}$ premiers entiers.
• Un nombre taxicab est un entier pouvant être exprimé comme somme de deux cubes strictement positifs de plusieurs façons.
• Une somme de deux cubes strictement positifs ne peut être un cube (grand théorème de Fermat), mais une somme de trois cubes peut être un cube, comme 3³ + 4³ + 5³ = 6³.
• Tout entier naturel est la somme d'au plus 9 cubes strictement positifs, et l'on conjecture qu'à partir d'un certain rang, tout entier est somme d'au plus 4 cubes strictement positifs (voir le problème de Waring). La suite du nombre minimal de cubes strictement positifs nécessaires pour décomposer ${\displaystyle n\geqslant 1}$ est répertoriée comme suite A002376 de l'OEIS ; elle diffère de la suite du nombre de cubes dans la décomposition en somme de cubes par l'algorithme glouton ( A055401) à partir de ${\displaystyle n=32=2^{3}+2^{3}+2^{3}+2^{3}}$ dont la décomposition gloutonne est ${\displaystyle 32=3^{3}+1+1+1+1+1}$.
• Tout entier supérieur à 12 758 s'écrit comme la somme de cubes positifs distincts. La liste des 2 788 nombres qui ne sont pas la somme de cubes distincts est répertoriée dans l'OEIS par  A001476 .
• Les sommes de trois cubes (positifs, nuls, ou négatifs) ne peuvent être congrues à 4 ou 5 modulo 9. En 1992, Roger Heath-Brown a conjecturé que tout entier qui n'est pas congru à 4 ou 5 modulo 9 possède une infinité de représentations comme somme de trois tels cubes.

• Le théorème de Fermat sur les triangles rectangles énonce qu'il n'existe pas de solution en entiers strictement positifs aux équations ${\displaystyle a^{2}=b^{4}+c^{4}}$ et ${\displaystyle a^{4}=b^{4}+c^{2}}$.
• Le dernier théorème de Fermat affirme que ${\displaystyle x^{k}+y^{k}=z^{k}}$ est impossible en entiers strictement positifs avec k > 2.
• La conjecture d'Euler (réfutée) concerne les situations où la somme d'un nombre donné de puissances k-ièmes, est égale à une autre puissance k-ième.
• La conjecture de Fermat-Catalan affirme qu'il n'existe qu'un nombre fini d'exemples où la somme de deux entiers strictement positifs premiers entre eux élevés chacun à une puissance entière strictement positive est égale à une puissance ; la somme des inverses des trois exposants est supposée strictement inférieures à 1.
• L'équation de Jacobi-Madden est : ${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$ en nombres entiers.
• Le problème de Prouhet-Tarry-Escott considère les sommes de deux ensembles de puissances k-ièmes d'entiers qui sont égales pour plusieurs valeurs de k.
• La conjecture de Lander-Parkin-Selfridge (ni prouvée, ni réfutée) affirme que si ${\displaystyle m+n<k}$ l'équation ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}}$ ne possède pas de solutions en entiers strictement positifs, ${\displaystyle a_{i}\neq b_{j}}$.
• Le problème de Waring pose la question de savoir si, pour tout entier naturel k, il existe un entier positif associé ${\displaystyle g(k)}$ tel que tout entier naturel soit la somme d'au plus ${\displaystyle g(k)}$ puissances k-ièmes d'entiers naturels.
• L'équation d'Erdős-Moser, ${\displaystyle 1^{k}+2^{k}+\cdots +m^{k}=(m+1)^{k}}$ où m et k sont des entiers strictement positifs, est conjecturée comme n'ayant d'autre solution que 1¹ + 2¹ = 3¹.
• La suite des plus grands entiers ne pouvant s'exprimer comme somme de puissances k-ièmes distinctes en commençant à ${\displaystyle k=2}$ (128, 12 758, 5 134 240, ...) est répertoriée comme suite A001661 de l'OEIS.

• La somme de termes consécutifs d'une suite géométrique est ${\displaystyle \sum _{k=n_{0}}^{n}z^{k}={\frac {z^{n_{0}}-z^{n+1}}{1-z}}}$ et ${\displaystyle \sum _{k=n_{0}}^{\infty }z^{k}={\frac {z^{n_{0}}}{1-z}}}$ si ${\displaystyle |z|<1}$..

• La somme des inverses des puissances parfaites (entiers ${\displaystyle \geqslant 2}$ élevés à une puissance entière ${\displaystyle \geqslant 2}$), en comptant les répétitions comme ${\displaystyle 2^{4}=4^{2}}$, est égale à 1.
• La fonction zêta de Riemann est la somme des inverses des entiers strictement positifs, chacun élevé à la puissance s, où s est un nombre complexe de partie réelle strictement supérieure à 1.

• Les sommes de Newton ${\displaystyle X_{1}^{k}+X_{2}^{k}+\cdots +X_{n}^{k}}$ s'expriment par les identités de Newton en fonction des polynômes symétriques élémentaires. On en déduit la somme des puissances k-ièmes des racines d'un polynôme à une indéterminée en fonction de ses coefficients.
• Les formules de Faulhaber expriment ${\displaystyle 1^{k}+2^{k}+3^{k}+\cdots +n^{k}}$ comme polynôme en ${\displaystyle n}$, ou en fonction de polynômes de Bernoulli.