Conjecture de Vaught

Soit ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ un langage dénombrable. Soit ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ une ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$-théorie complète.

Pour chaque cardinal ${\displaystyle \kappa }$, on pose ${\displaystyle I({\mathcal {T}},\kappa )}$ valant le nombre de modèles de ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ de cardinalité ${\displaystyle \kappa }$ à un isomorphisme près.

En faisant varier ${\displaystyle \kappa }$, on trouve le spectre de la théorie ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$. Le spectre de ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ correspond donc au nombre de modèles non isomorphes de ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ avec un cardinal fixé.

Le problème du spectre consiste à étudier, pour une théorie ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$, le comportement de ${\displaystyle I({\mathcal {T}},\kappa )}$ selon la valeur de ${\displaystyle \kappa }$. Saharon Shelah a presque résolu le problème du spectre lorsque ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ est dénombrable. Le problème dont la conjecture de Vaught est une solution possible est le principal problème ouvert de la théorie du spectre.

Dans le cas où ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ est dénombrable et ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ est une théorie complète dans la logique du premier ordre, la conjecture de Vaught affirme qu’un et un seul de ces trois cas se vérifie :

• ${\displaystyle I({\mathcal {T}},\aleph _{0})=n}$ pour un certain ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle I({\mathcal {T}},\aleph _{0})=\aleph _{0}}$
• ${\displaystyle I({\mathcal {T}},\aleph _{0})=2^{\aleph _{0}}}$

Étant donné qu’il est démontrable qu’une théorie dans un langage dénombrable a au plus ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ modèles dénombrables non isomorphes, la conjecture de Vaught consiste en l’affirmation qu’il n’existe aucune théorie ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, complète dans un langage dénombrable, dont le nombre de modèles dénombrables non isomorphes soit strictement compris entre ${\displaystyle \aleph _{0}}$ et ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$.

Il est notable que si l’hypothèse du continu était vraie, la conjecture de Vaught serait triviale. En effet, l’hypothèse du continu, proposée par Georg Cantor, affirme que ${\displaystyle \aleph _{1}=2^{\aleph _{0}}}$.

Autrement dit, il n’existe aucun cardinal entre l’infini dénombrable et la puissance du continu. Dès lors, un contre-exemple à la conjecture de Vaught devient une impossibilité mathématique.

Cependant, à la suite des travaux de Gödel et de Cohen sur l’indépendance de l’hypothèse du continu, nous savons qu’il existe des modèles de la théorie des ensembles où cette hypothèse n’est pas satisfaite. C’est dans ces cas que la conjecture de Vaught prend toute son importance. Elle affirme que même s’il existe des cardinaux strictement compris entre ${\displaystyle \aleph _{0}}$ et ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$, l’ensemble des modèles dénombrables non isomorphes d’une théorie complète dans un langage dénombrable ne pourra jamais prendre pour cardinal l’un d’eux.

Un certain nombre de théorèmes ont démontré la conjecture de Vaught sur un domaine restreint^[1]. Notamment :

• Pour les théories ${\displaystyle \omega }$-stables (Shelah)
• Pour les théories o-minimales (Mayer)
• Pour les théories superstables de rang fini (Buechler)
• Pour les théories d’ordre linéaire avec des prédicats unaires (Miller)
• Pour les théories des arbres (Steels)

Néanmoins, le résultat le plus important reste celui de Morley. Il démontra que un et un seul de ces quatre cas se vérifie :

• ${\displaystyle I({\mathcal {T}},\aleph _{0})=n}$ pour un certain ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
• ${\displaystyle I({\mathcal {T}},\aleph _{0})=\aleph _{0}}$
• ${\displaystyle I({\mathcal {T}},\aleph _{0})=\aleph _{1}}$
• ${\displaystyle I({\mathcal {T}},\aleph _{0})=2^{\aleph _{0}}}$

L'intérêt de ce théorème réside dans le fait qu'une démonstration de la conjecture de Vaught n'a pas que le cas ${\displaystyle \aleph _{1}}$ à exclure.