Constante de récurrence quadratique de Somos

La constante de Somos est définie par le produit infini :

${\displaystyle \sigma =\prod _{k=1}^{\infty }k^{1/2^{k}}=1^{1/2}\;2^{1/4}\;3^{1/8}\;4^{1/16}\dots }$

Cela peut être facilement réécrit sous forme d'un produit infini à convergence beaucoup plus rapide :

${\displaystyle \sigma =\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {3}{2}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/8}\left({\frac {5}{4}}\right)^{1/16}\dots }$

ou sous forme compacte :

${\displaystyle \sigma =\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {k+1}{k}}\right)^{1/2^{k}}=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{k}}\right)^{1/2^{k}}}$.

Une autre écriture du produit est donnée par :

${\displaystyle \sigma =\prod _{n=1}^{\infty }\prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+n}{\binom {n}{k}}}}$

Voici quelques expressions pour ${\displaystyle \ln \sigma }$ (suite A114124 de l'OEIS)^[4] :

${\displaystyle \ln \sigma =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\ln k}{2^{k}}}}$ ;

${\displaystyle \ln \sigma =\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}{\text{Li}}_{k}\left({\frac {1}{2}}\right)}$

où ${\displaystyle \operatorname {Li} _{k}}$ désigne le polylogarithme ;

${\displaystyle \ln {\frac {\sigma }{2}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{k}}}\left(\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)-{\frac {1}{k}}\right)}$

Des expressions intégrales de ${\displaystyle \ln \sigma }$ sont données par^[5] :

${\displaystyle \ln \sigma =\int _{0}^{1}{\frac {1-x}{(x-2)\ln x}}\,\mathrm {d} x}$ ;

${\displaystyle \ln \sigma =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {-x}{(2-xy)\ln(xy)}}\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y}$.

La constante ${\displaystyle \sigma }$ apparaît lors de l'étude du comportement asymptotique de la suite définie par récurrence par^[1] :

${\displaystyle g_{0}=1}$

${\displaystyle g_{n}=ng_{n-1}^{2},\qquad n\geqslant 1}$

de premiers termes 1, 1, 2, 12, 576, 1658880, ... (suite A052129 de l'OEIS).

On peut montrer que cette suite a pour équivalent à l'infini : ${\displaystyle g_{n}\sim {\frac {\sigma ^{2^{n}}}{n}}}$, et qu'on a le développement asymptotique suivant :

${\displaystyle {\frac {\sigma ^{2^{n}}}{g_{n}}}=n+2-n^{-1}+4n^{-2}-21n^{-3}+138n^{-4}+O(n^{-5})}$.

Guillera et Sondow donnent une expression en fonction d'une dérivée partielle de la fonction transcendante de Lerch ${\displaystyle \Phi (z,s,q)}$^[5]

${\displaystyle \ln \sigma =-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \Phi }{\partial s}}\!\left(1/2,0,1\right)}$.

Si l'on définit la fonction suivante (qui donne la constante d'Euler-Mascheroni pour ${\displaystyle z=1}$), désignée en anglais par "generalized-Euler-constant function"^[6], par  :

${\displaystyle \gamma (z)=\sum _{n=1}^{\infty }z^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\ln \left({\frac {n+1}{n}}\right)\right)}$,

on a^[7],[6],[8]

${\displaystyle \gamma \left({\frac {1}{2}}\right)=2\ln {\frac {2}{\sigma }}}$.

On peut définir un « développement binaire continu » des nombres réels de l'ensemble ${\displaystyle ]0;1]}$, de manière similaire au développement décimal ou au développement en fraction continue simple. On le fait en considérant l'unique développement en base 2 d'un nombre ${\displaystyle x\in ]0;1]}$ qui se termine par une infinité de 1 (par exemple, en écrivant le nombre 1/2 sous la forme ${\displaystyle 0,01111..._{2}}$ au lieu de ${\displaystyle 0,1_{2}}$ ). Ensuite, on définit une suite ${\displaystyle (a_{k})_{k\geqslant 1}}$ qui donne la différence des positions successives des chiffres 1 dans ce développement binaire. On écrit ce développement de ${\displaystyle x}$ sous la forme^[9] :

${\displaystyle x=\langle a_{1},a_{2},a_{3},...\rangle =\sum _{k=1}^{\infty }2^{-(a_{1}+...+a_{k})}}$.

Par exemple, pour la partie fractionnaire de π on a :

${\displaystyle \{\pi \}=0,14159\,26535\,89793...=0,00100\,10000\,11111..._{2}}$ suite A004601 de l'OEIS.

Le premier 1 apparaît en position 3 après la virgule, le 1 suivant apparaît trois places après le premier, le troisième 1 apparaît cinq places après le deuxième, etc. En continuant de cette manière, on obtient :

${\displaystyle \pi -3=\langle 3,3,5,1,1,1,1...\rangle }$, suite A320298 de l'OEIS.

Cela définit une bijection ${\displaystyle ]0;1]\mapsto {\mathbb {N} ^{*}}^{\mathbb {N} ^{*}}}$, telle qu'à tout nombre réel ${\displaystyle x\in \left]0;1\right]}$ correspond la suite ${\displaystyle (a_{k})_{k\geqslant 1}}$ définie par ${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty }2^{-(a_{1}+...+a_{k})}}$ ^[9] .

Jörg Neunhäuserer a prouvé en 2020 que pour presque tout nombre ${\displaystyle x\in ]0;1]}$ la limite de la moyenne géométrique des premiers termes ${\displaystyle a_{k}}$ converge vers la constante de Somos. Autrement dit, pour presque tout nombre de cet intervalle, on a^[2]:

${\displaystyle \sigma =\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}}$.

La constante de Somos est universelle pour les « développements binaires continus » des nombres ${\displaystyle x\in \left]0;1\right]}$ dans le même sens que la constante de Khintchine est universelle pour les développements en fraction continue simple des nombres ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$.

Les constantes de Somos généralisées sont définies par :

${\displaystyle \sigma _{t}=\prod _{k=1}^{\infty }k^{1/t^{k}}=1^{1/t}\;2^{1/t^{2}}\;3^{1/t^{3}}\;4^{1/t^{4}}\dots }$

pour ${\displaystyle t>1}$ ; en particulier, ${\displaystyle \sigma _{2}=\sigma }$.

Leur logarithme est donc défini par les sommes de séries :

${\displaystyle \ln \sigma _{t}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\ln k}{t^{k}}}}$.

On a également un lien avec la fonction γ définie ci-dessus^[6]:

${\displaystyle \gamma \left({\frac {1}{t}}\right)=t\ln \left({\frac {t}{(t-1)\sigma _{t}^{t-1}}}\right)}$

et la limite suivante, où ${\displaystyle \gamma }$ est la constante d'Euler :

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0^{+}}t\sigma _{t+1}^{t}=\mathrm {e} ^{-\gamma }}$.

La propriété d'universalité se généralise aux réels ${\displaystyle x\in \left]0;1\right]}$ ayant un développement en base ${\displaystyle b}$ entier ${\displaystyle \geqslant 2}$ de la forme${\displaystyle x=(b-1)\sum _{k=1}^{\infty }b^{-(a_{1}+\dots +a_{k})}}$; pour presque tout réel de ce type, on a^[2]:

${\displaystyle \sigma _{b}=\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{1}a_{2}...a_{n}}}}$.