Radical imbriqué

En mathématiques, en particulier en algèbre, les radicaux imbriqués (ou radicaux emboités, ou encore radicaux itérés lorsqu'il y en a une infinité) sont des expressions contenant des racines d'expressions contenant elles-mêmes des racines.

Par exemple ${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$ qui apparaît dans l'étude du pentagone régulier^{[N 1]}, ou d'autres plus complexes telles que ${\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{3}]{4}}}}$ .

Problème général

On peut désimbriquer certains radicaux imbriqués. Par exemple :

{\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}

.

Mais la désimbrication de radicaux est généralement considérée comme un problème difficile.

Dans certains cas, des radicaux de puissances plus hautes peuvent être nécessaires pour enlever l'imbrication de certaines classes de radicaux imbriqués^[1].

Un cas simple

Un cas particulier abordable est celui où un réel représenté par deux racines carrées imbriquées s'exprime comme une somme ou différence de deux racines carrées. Par exemple :

{\sqrt {3+{\sqrt {8}}}}=1+{\sqrt {2}}

;

{\sqrt {5-{\sqrt {24}}}}={\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}

;

{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}+{\sqrt {\frac {1}{2}}}

.

Si $a$ et $b$ sont des rationnels positifs tels que $\sqrt b$ soit irrationnel et inférieur à $a$ , pour pouvoir mettre

{\sqrt {a+{\sqrt {b}}}}\quad

ou

\quad {\sqrt {a-{\sqrt {b}}}}

sous la forme

{\sqrt {c}}+\varepsilon {\sqrt {d}}\quad (c,d\in \mathbb {Q} _{+},~c\geqslant d,~\varepsilon =\pm 1),

il faut et il suffit que le nombre

R={\sqrt {a^{2}-b}}

soit rationnel. La solution est alors :

{\sqrt {a\pm {\sqrt {b}}}}={\sqrt {c}}\pm {\sqrt {d}}

avec

c={\frac {a+R}{2}}\quad {\text{et}}\quad d={\frac {a-R}{2}}.

Démonstration

On suppose

a,b,c,d\in \mathbb {Q} _{+},~\varepsilon ,\varepsilon '=\pm 1,~a\geqslant {\sqrt {b}},~c\geqslant d,~{\text{et}}~{\sqrt {b}}\notin \mathbb {Q} ~;

Si

{\sqrt {a+\varepsilon '{\sqrt {b}}}}={\sqrt {c}}+\varepsilon {\sqrt {d}},

alors, en élevant au carré, on a :

a+\varepsilon '{\sqrt {b}}=c+d+2\varepsilon {\sqrt {cd}},

donc (en prenant le conjugué)

a-\varepsilon '{\sqrt {b}}=c+d-2\varepsilon {\sqrt {cd}},

si bien que, en multipliant terme à terme :

R={\sqrt {a^{2}-b}}=c-d\in \mathbb {Q} ,~c+d=a,~\varepsilon =\varepsilon ',

c={\frac {a+R}{2}}\quad {\text{et}}\quad d={\frac {a-R}{2}}.

La vérification de la réciproque est immédiate.

On en déduit par exemple l'égalité suivante, vaguement étonnante : ${\sqrt {6-4{\sqrt {2}}}}+{\sqrt {3-2{\sqrt {2}}}}=2-{\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}-1=1$ .

Identités entre sommes de radicaux imbriqués

La simple application multiple de l'égalité ${\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}={\sqrt {a+b+2{\sqrt {ab}}}}$ permet d'écrire des identités entre sommes de radicaux imbriqués difficiles à démontrer par élévation au carré.

Par exemple, ${\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}+{\sqrt {c}}$ s'écrit sous la forme $A={\sqrt {a+b+2{\sqrt {ab}}}}+{\sqrt {c}}$ et sous la forme $B={\sqrt {a}}+{\sqrt {b+c+2{\sqrt {bc}}}}$ .

L'"incroyable identité" proposée par Daniel Shanks en 1974^[2] :

{\sqrt {5}}+{\sqrt {22+2{\sqrt {5}}}}={\sqrt {11+2{\sqrt {29}}}}+{\sqrt {16-2{\sqrt {29}}+2{\sqrt {55-10{\sqrt {29}}}}}}

,

reprise sans démonstration dans certains livres ^[3], se prouve en posant $a=11+2{\sqrt {29}},b=11-2{\sqrt {29}},c=5$ dans l'identité $A=B$ .

Quelques identités de Ramanujan

Srinivasa Ramanujan a démontré un certain nombre d'identités impliquant l'imbrication de radicaux. Parmi celles-ci figurent les suivantes^[4] :

{\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}

,

{\sqrt {{\sqrt[{3}]{28}}-{\sqrt[{3}]{27}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{98}}-{\sqrt[{3}]{28}}-1}{3}}

,

{\sqrt[{3}]{{\sqrt[{5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {9}{25}}}

,

{\sqrt[{3}]{\ {\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}

^[5].

Voici d'autres simplifications de radicaux inspirées par Ramanujan :

{\sqrt[{4}]{8a^{2}-1}}+{\sqrt[{4}]{(8a^{2}-1)^{2}-1}}={\sqrt {a+{\frac {1}{2}}}}+{\sqrt {a-{\frac {1}{2}}}}

^[5],

{\sqrt[{4}]{8a^{2}-1}}-{\sqrt[{4}]{(8a^{2}-1)^{2}-1}}={\sqrt {a+{\frac {1}{2}}}}-{\sqrt {a-{\frac {1}{2}}}}

.

Algorithme de Landau

En 1989, Susan Landau a présenté le premier algorithme pour décider quels radicaux imbriqués peuvent être simplifiés^[6]. Des algorithmes antérieurs ont fonctionné dans certains cas, mais pas dans d'autres.^[évasif] L'algorithme de Landau utilise des racines de l'unité et s'exécute en un temps exponentiel par rapport à la profondeur du radical imbriqué ^[7].

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En trigonométrie

Articles détaillés : Table de lignes trigonométriques exactes et Théorème de Gauss-Wantzel.

Les sinus, cosinus et tangente d'un multiple rationnel $θ$ de $π$ s'expriment en termes de rationnels et de radicaux réels (en fait, des racines carrées) éventuellement imbriqués si et seulement si $θ/π$ s'écrit comme une fraction dont le dénominateur a pour indicatrice d'Euler une puissance de 2.

Par exemple :

$\varphi (60)=2^{4}\quad {\text{et}}\quad \cos {\frac {7\pi }{60}}={\frac {2({\sqrt {3}}-1){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {3}}+1)(1+{\sqrt {5}})}{16}}$ ;
$\varphi (24)=2^{3}\quad {\text{et}}\quad \sin {\frac {\pi }{24}}={\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}{2}}$ .

Imbrication infinie de radicaux

Racine carrée itérée

Avec des sommes

Pour tous réel $r, s > 0$ , on démontre^[8]^,^{[N 2]} que la suite récurrente $(u n)$ définie par

u_{0}=0

et

u_{n+1}={\sqrt {r+su_{n}}}

est strictement croissante et converge vers la solution de $x = \sqrt r + sx$ , c'est-à-dire la racine positive $s + \sqrt s 2 + 4 r / 2$ de l'équation du second degré $x 2 - sx - r = 0$ , ce qui constitue une définition du nombre

{\sqrt {r+s{\sqrt {r+s{\sqrt {r+s{\sqrt {r+\cdots }}}}}}}}

.

Par exemple^{[N 3]} :

${\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}=2$ , et plus généralement :

{\sqrt {r+{\sqrt {r+{\sqrt {r+{\sqrt {r+\cdots }}}}}}}}=p

, si

r=p(p-1),p>1

,

${\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi$ (voir nombre d‘or), et plus généralement :

{\sqrt {1+p{\sqrt {1+p{\sqrt {1+p{\sqrt {1+\cdots }}}}}}}}={\frac {p+{\sqrt {p^{2}+4}}}{2}}=\varphi _{p}

, p-ième nombre métallique, nombre d'argent pour

p

= 2.

Avec des différences

Pour tous réels $r, s > 0$ tels que $r > s 2$ ^[8]^,^{[N 2]} :

{\sqrt {r-s{\sqrt {r-s{\sqrt {r-s{\sqrt {r-\cdots }}}}}}}}

,

défini comme limite d'une suite, est la racine positive $- s + \sqrt s 2 + 4 r / 2$ de l'équation $x 2 + sx - r = 0$ .

Par exemple :

{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-\cdots }}}}}}}}=1

.

Avec sommes et des différences

{\sqrt {r+{\sqrt {r-{\sqrt {r+{\sqrt {r-\cdots }}}}}}}}=p

, si

r=p(p-1)+1,p\geqslant 1

^[9], par exemple :

{\sqrt {1+{\sqrt {1-{\sqrt {1+{\sqrt {1-\cdots }}}}}}}}=1

et

{\sqrt {3+{\sqrt {3-{\sqrt {3+{\sqrt {3-\cdots }}}}}}}}=2

.

Radicaux infinis de Ramanujan

Ramanujan a posé le problème suivant au Journal of the Indian Mathematical Society :

Trouver la valeur de

{\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}

et de

{\sqrt {6+2{\sqrt {7+3{\sqrt {8+\cdots }}}}}}

et l'a résolu ainsi^[10] :

Pour

p = 2

ou

p = 3

, posons

f_{p}(n)=n(n+p)

. Alors,

f_{p}(n)=n{\sqrt {a_{p}n+b_{p}+f_{p}(n+1)}}

, avec

a_{p}

et

b_{p}

choisis de telle façon que

(n+p)^{2}=(n+1)(n+1+p)+a_{p}n+b_{p}

(c.-à-d.

a_{p}=p-2

et

b_{p}=p^{2}-p-1

) donc

n+p={\sqrt {a_{p}n+b_{p}+(n+1){\sqrt {a_{p}(n+1)+b_{p}+(n+2){\sqrt {a_{p}(n+2)+b_{p}+(n+3){\sqrt {\dots }}}}}}}}

.

(la convergence, pour tous réels $p \geq 2$ et $n \geq 0$ , est justifiée par un théorème ultérieur dû à Tirukkannapuram Vijayaraghavan^[11]). En particulier :

n+2={\sqrt {1+(n+1){\sqrt {1+(n+2){\sqrt {1+(n+3){\sqrt {\dots }}}}}}}}

, d'où

{\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\dots }}}}}}=3

;

n+3={\sqrt {n+5+(n+1){\sqrt {n+6+(n+2){\sqrt {n+7+\dots }}}}}}

, d'où

{\sqrt {6+2{\sqrt {7+3{\sqrt {8+\dots }}}}}}=4

.

Le critère de convergence de Vijayaraghavan a été généralisé par Herschfeld^[12]^,^{[N 4]} :

Pour tous réels

s_{i}\geqslant 1

tels que la série

\sum _{n\geqslant 1}\prod _{1\leqslant i\leqslant n}{\frac {1}{s_{i}}}

converge et pour tous réels strictement positifs

a_{i}

, le radical imbriqué

{\sqrt[{s_{1}}]{a_{1}+{\sqrt[{s_{2}}]{a_{2}+{\sqrt[{s_{3}}]{a_{3}+\cdots }}}}}}

converge si et seulement si la suite

\left({\sqrt[{s_{1}\dots s_{n}}]{a_{n}}}\right)

est majorée.

Herschfeld donne comme exemple introductif le cas : $s i = 2, a i = i$ et calcule

K={\sqrt {1+{\sqrt {2+{\sqrt {3+\dots }}}}}}\approx 1{,}757933

.

Il le nomme « nombre de Kasner », en référence à Edward Kasner^[12] ; voir la suite A072449 de l'OEIS^[13].

Ramanujan a résolu dans son cahier perdu^[14] le radical infini suivant où le schéma périodique des signes est (+, +, –, +) :

{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-\cdots }}}}}}}}}}}}}}={\frac {2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}}{2}}

(voir la suite A286984 de l'OEIS).

Expression de Viète pour π

Article détaillé : Formule de Viète.

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots

.

Racine cubique

Pour tous réels $r, s > 0$ , par la même méthode que ci-dessus pour les racines carrées^{[N 5]}, on définit le nombre

{\sqrt[{3}]{r+s{\sqrt[{3}]{r+s{\sqrt[{3}]{r+s{\sqrt[{3}]{r+\cdots }}}}}}}}

comme la limite d'une suite croissante, qui converge vers la racine réelle positive de l'équation cubique $x 3 - sx - r = 0$ .

Par exemple :

{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+{\sqrt[{3}]{1+\cdots }}}}}}}}=\psi

, nombre plastique.

De même^{[N 6]}, pour tous réels $r, s > 0$ tels que $r 2 > s 3$ ,

{\sqrt[{3}]{r-s{\sqrt[{3}]{r-s{\sqrt[{3}]{r-s{\sqrt[{3}]{r-\cdots }}}}}}}}

est la racine réelle de $x 3 + sx - r = 0$ .

Racine n-ième

${\sqrt[{n-1}]{x}}={\sqrt[{n}]{x{\sqrt[{n}]{x{\sqrt[{n}]{x\dots }}}}}}$ pour tout entier $n\geqslant 2$ ^[15]
${\sqrt[{n}]{2-{\sqrt[{n}]{2-{\sqrt[{n}]{2-{\sqrt[{n}]{2-\cdots }}}}}}}}=1$ pour tout entier $n \geq 2$

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Nested radical » (voir la liste des auteurs).

Notes

↑ La racine ${\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}$ contient sous son radical l'expression $2 \sqrt 5$ qui contient la racine √5.
1 2 Voir cet exercice corrigé sur Wikiversité.
↑ Dans ce cas particulier, on obtient aussi directement cette limite en remarquant que $u n = 2 cos π / 2 n +1$ .
↑ Voir cet exercice corrigé sur Wikiversité.
↑ Voir cet exercice corrigé sur Wikiversité.
↑ Voir cet exercice corrigé sur Wikiversité.

Références

↑ (en) Susan Landau, « How to Tangle with a Nested Radical », The Mathematical Intelligencer, vol. 16,‎ 1994, p. 49-55 (DOI 10.1007/bf03024284, lire en ligne).
↑ (en) Daniel Shanks, « Incredible Identities », The Fibonacci quarterly, vol. 12, n^o 3,‎ 1974, p. 271,280 (lire en ligne)
↑ Alain Bouvier, La mystification mathématique, Hermann, 1981, p. 59
↑ (en) Susan Landau, « A note on 'Zippel Denesting' », 1993.
1 2 (en) Bruce C. Berndt, Heng Huat Chan et Liang-Cheng Zhang, « Radicals and units in Ramanujan's work ».
↑ (en) Susan Landau, « Simplification of Nested Radicals », SIAM J. Comput., vol. 21,‎ 1992, p. 85-110 (DOI 10.1109/SFCS.1989.63496), citeseerx 10.1.1.34.2003.
↑ (en) Eleftherios Gkioulekas, « On the denesting of nested square roots », International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 48 (6),‎ 18 août 2017, p. 942–953 (lire en ligne)
1 2 (en) Seth Zimmerman et Chungwu Ho, « On infinitely nested radicals », Mathematics Magazine, vol. 81, n^o 1,‎ 2008, p. 3-15 (JSTOR 27643075).
↑ « Au fil des problèmes, problème 557-4 », Au fil des maths, bulletin de l'APMEP, n^o 557,‎ septembre 2025, p. 83 (lire en ligne)
↑ (en) S. Ramanujan (G. H. Hardy, P. V. S. Aiyar et B. M. Wilson, éd.), Collected Papers of Srinivasa Ramanujan, Providence, RI, AMS, 1962 (1^re éd. 1927) (lire en ligne), p. 323.
↑ Ramanujan 1962, p. 348.
1 2 (en) Aaron Herschfeld, « On infinite radicals », Amer. Math. Monthly, vol. 42, n^o 7,‎ 1935, p. 419-429 (JSTOR 2301294, lire en ligne), th. III.
↑ (en) Eric W. Weisstein, « Nested Radical Constant », sur MathWorld.
↑ (en) B. C. Berndt, Y. S. Choi, S. Y. Kang, « The problems submitted by Ramanujan to the Journal of Indian Math. Soc. », Continued fractions, Contemporary Math, n^o 236,‎ 1999, p. 5 (lire en ligne)
↑ Et pour tout $x > 0$ , ce que MathWorld, « Nested Radical » (voir infra) ne précise pas.

Radical imbriqué

Problème général

Un cas simple

Identités entre sommes de radicaux imbriqués

Quelques identités de Ramanujan

Algorithme de Landau

En trigonométrie

Imbrication infinie de radicaux

Racine carrée itérée

Avec des sommes

Avec des différences

Avec sommes et des différences

Radicaux infinis de Ramanujan

Expression de Viète pour π

Racine cubique

Racine n-ième

Notes et références

Notes

Références

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

Liens externes

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