Flocon de Koch

On peut la créer à partir d'un segment de droite, en modifiant récursivement chaque segment de droite de la façon suivante :

1. On divise le segment de droite en trois segments de longueurs égales.
2. On construit un triangle équilatéral ayant pour base le segment médian de la première étape.
3. On supprime le segment de droite qui était la base du triangle de la deuxième étape.

Au bout de ces trois étapes, l'objet résultant a une forme similaire à une section transversale d'un chapeau de sorcière.

La courbe de Koch est la limite (par exemple pour la distance de Hausdorff) des lignes polygonales obtenues lorsqu'on répète indéfiniment les étapes ci-dessus.

Une extension de la notion de dimension permet d'attribuer à la courbe de Koch une dimension fractale (non entière) dont la valeur est^[4],[5],[6]

${\displaystyle {\frac {\log 4}{\log 3}}\approx 1,26.}$

La courbe de Koch a une longueur infinie. En effet, en supposant que la courbe ait une longueur finie L>0, celle-ci serait supérieure à la longueur de chacune des lignes polygonales obtenues à chaque étape de la construction de la courbe. Or la longueur de ces lignes tend vers l'infini, parce qu'à chaque étape de construction de la courbe, la longueur de la ligne polygonale est multipliée par 4/3>1.

La surface délimitée par la courbe et sa base est cependant d'aire finie, car contenue dans le demi-disque dont le diamètre est le segment initial. Si l'on a choisi l'unité d'aire de telle sorte que le triangle construit à la première itération soit d'aire 1, alors l'aire de chacun des quatre triangles construits lors de la seconde itération est 1/9 : on a donc augmenté l'aire totale de 4/9. Pour l'itération ${\displaystyle n}$, on ajoute ${\displaystyle 4^{n}\times \left({\frac {1}{9}}\right)^{n}}$. L'aire totale s'obtient finalement comme somme d'une série géométrique convergente :

${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}=1+{4/9 \over 1-4/9}=1+{\frac {4}{5}}={\frac {9}{5}}}$.

La courbe de Koch est un exemple particulièrement simple à construire de courbe de Jordan continue mais qui n'admet de tangente en aucun de ses points.

On peut considérer la courbe de Koch comme l'attracteur d'un système de fonctions itérées, ce qui permet de prouver par exemple que c'est un compact autosimilaire de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$^[7].

La courbe du flocon de neige de von Koch, ou courbe du flocon de Koch, s'obtient de la même façon que la courbe précédente, mais en partant d'un triangle équilatéral au lieu d'un segment de droite, et en effectuant les modifications en orientant les triangles vers l'extérieur. Pour un triangle initial (étape 0) de périmètre ${\displaystyle p}$, le périmètre du flocon à l'étape ${\displaystyle n}$ est ${\displaystyle (4/3)^{n}p}$.

On peut aussi partir d'un hexagone régulier, et opérer en orientant les triangles vers l'intérieur. Dans les deux cas, après quelques itérations on obtient une forme évoquant un flocon de neige.

Comme la courbe originale, la courbe du flocon de Koch est de longueur infinie, mais elle délimite une surface d'aire ${\displaystyle S}$ finie. Celle-ci est égale aux 8/5 de l'aire ${\displaystyle S_{0}}$ du triangle initial ; en effet, à la première étape, on ajoute 3 triangles d'aire égale à ${\displaystyle S_{0}/9}$, donc d'après la formule vue plus haut, ${\displaystyle S=S_{0}+3\times {\frac {S_{0}}{9}}\times {\frac {9}{5}}=S_{0}+{\frac {3}{5}}S_{0}={\frac {8}{5}}S_{0}}$.

Pour construire un anti-flocon de Koch, comme pour le flocon de Koch, on part du triangle équilatéral, mais les trois côtés sont remplacés par trois courbes de Koch pointant vers l'intérieur du triangle au lieu de l'extérieur. Son aire est ${\displaystyle {\frac {2}{5}}S_{0}}$ car il faut soustraire la même quantité que celle ajoutée précédemment.

L'anti-flocon de Koch présente une figure fractale répétée à l'infini, dont les aires diminuent selon une progression géométrique de 1/9^[Quoi ?].

Contrairement au flocon de Koch et au siamois de Koch (voir infra), l'anti-flocon de Koch possède une propriété d'autosimilarité : il contient une copie réduite d'un tiers de lui-même (raccourcir d'un tiers les trois bras en partant du centre)^[8].

Pour obtenir le siamois de Koch, une variante du flocon de Koch, on part de deux triangles équilatéraux ayant un côté commun que l'on élimine, obtenant ainsi un losange. On remplace ensuite les côtés par des courbes de Koch orientées vers l'extérieur. Cette figure a la forme d'un flocon de neige allongé, correspondant à la fusion de deux flocons en un seul, d'où l'appellation flocon siamois de Koch.

Le périmètre de cette figure, étant composé de courbes de Koch, est infini. Son aire est en revanche : ${\displaystyle 2S_{0}+{\frac {4}{5}}S_{0}={\frac {14}{5}}S_{0}}$. En fait, à l'aire du losange, égale à celle de deux triangles équilatéraux, il faut ajouter, pour chacun des quatre côtés, l'aire excédentaire, qui, comme vu précédemment, est de ${\displaystyle {\frac {1}{5}}S_{0}}$ pour chaque côté.

En partant de ce même losange et en entrelaçant les quatre côtés intérieurement, on obtient l'anti-siamois de Koch. La même figure fractale que dans l'anti-flocon de Koch est répétée trois fois dans les trois branches, pivotées de 120 degrés et se rejoignant au centre. Le périmètre est infini et l'aire est ${\displaystyle \quad 2S_{0}-{\frac {4}{5}}S_{0}={\frac {6}{5}}S_{0}}$

Si, en revanche, on entrelace les quatre côtés du losange, à la fois intérieurement et extérieurement, on obtient un siamois contenant son anti-siamois ; une figure qui illustre la propriété de siamois de pouvoir se décomposer en une infinité de copies de lui-même^[8].

Il est possible de paver le plan uniquement en utilisant des copies du flocon de Koch de deux tailles différentes. Le flocon de Koch est un reptuile d'ordre 7 : il peut se décomposer en sept copies semblables à lui-même, dont l'une a une surface trois fois plus grande que les six autres^{[9],[10],[11],[12]}.

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  Pavage du plan par des flocons de Koch.
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  Animation montrant la décomposition en 7 flocons

Lorsque l'on applique une inversion à un flocon de Koch dont le centre d'inversion est le barycentre du flocon, on obtient des figures semblables aux suivantes :

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  Image du flocon de Koch centré en O par une inversion de centre O.
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  Détails de l'image ci-contre.