Terpapillon
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Le terpapillon, ou papillon ternaire, est une figure fractale obtenue en remplaçant un segment par deux courbes de lépidoptères, une variante de la courbe de Koch, opposées et orientées en sens inverse. Il possède des propriétés très similaires à celles du terdragon, plus connu [2],[3], basé sur l'opposition similaire d'une courbe fractale différente. Le papillon, comme le dragon, est un reptuile d'ordre 3, mais contrairement à ce dernier, il peut être divisé en trois copies, qui sont des images miroir de l'original[4].
Programme FMSLogo
L'algorithme de création de la courbe des lépidoptères est similaire à celui de la courbe de Koch. Pour le souligner, on emploie un algorithme à convergence plus lente que celui habituellement utilisé pour la courbe de Koch. Pour les deux courbes, le processus débute par un segment unique, remplacé ensuite par deux segments obliques formant un triangle isocèle dont les angles mesurent 30°, 120° et 30°. La même transformation est ensuite appliquée aux segments, dont la longueur augmente à chaque niveau selon une puissance de deux. Pour la courbe de Koch, à chaque niveau, la substitution est inversée dans tous les segments, alternant entre la droite et la gauche. Pour la courbe des lépidoptères, en revanche, les constructions de droite et de gauche alternent à chaque niveau. Cependant, le point de départ change également à chaque niveau. Si le niveau précédent commençait par une construction de droite, l'alternance commence désormais par une construction de gauche. La figure illustre ces deux transformations. Dans les deux dernières cellules de chaque ligne, la courbe résultante est répétée des deux côtés de manières possibles, ce qui donne dans le premier cas une colonne de fractales siamoises et dans le second une colonne de fractales de papillons de nuit[4].
Il s'agit d'une version du logiciel éducatif Logo, un logiciel libre dont le code source est disponible[5].
to drafarper :lato :liv :s if :liv=0 [forward :lato stop] left 30*:s drafarper :lato/:r3 :liv-1 :s*:t jump -:lato/:r3 0 right 30*:s jump :lato 0 right 180 right 30*:s drafarper :lato/:r3 :liv-1 :s*:t jump -:lato/:r3 0 left 30*:s right 180 end
to drafarpercom :lato :liv :s make "r3 sqrt 3 hideturtle repeat 2 [drafarper :lato :liv :s right 180] jump :lato 0 showturtle end
to jump :alto :lungo penup forward :alto right 90 forward :lungo left 90 pendown end
La procédure « jump » permet de déplacer la tortue sans laisser de trace. La procédure récursive «drafarper» est utilisée par «drafarpercom». Si la variable t vaut 1, le dragon est dessiné ; si elle vaut -1, le papillon est dessiné, comme illustré sur la figure.
Comparaison entre le papillon et le dragon
Le papillon et le dragon ont tous deux la même aire qu'un losange dont les angles mesurent 60°, 120°, 60° et 120° s'ils sont construits à partir d'un segment de longueur égale à la plus grande diagonale du losange. En effet, après chaque itération, l'aire ajoutée et l'aire soustraite par l'alternance s'équilibrent parfaitement.
Papillon ternaire
Dragon ternaire
Génération de zone
Génération de zone [1]
Génération de zone
Génération de périmètre
Triangle dragon et papillon
Roue de papillons et roue de dragons
Pavage du plan avec des papillons
Pavage du plan avec des dragons
