Courbe sinus du topologue
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En mathématiques, la courbe sinus du topologue est un exemple d'espace topologique connexe mais ni localement connexe, ni connexe par arcs. Elle s'obtient comme courbe représentative d'une fonction dont l'expression fait intervenir la fonction sinus.
La courbe sinus fermée du topologue est l'adhérence de cette courbe dans le plan euclidien, et constitue un espace compact satisfaisant des propriétés analogues.
La courbe sinus prolongée du topologue est l'union de l'ensemble précédent avec un segment ; elle est connexe par arcs mais pas localement connexe[1].
La courbe sinus du topologue T est définie comme la courbe représentative de la fonction f qui à tout x strictement positif associe sin(1⁄x) et qui vaut 0 en 0 :
![{\displaystyle T=\left\{\left.\left(x,\sin {\frac {1}{x}}\right)\right|x\in ]0,1]\right\}\cup \{(0,0)\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3185dc27d68d0cde965fbc048f3de24f8ebe343f)
Cette courbe est munie de la topologie induite par celle du plan euclidien.
L'ensemble des valeurs d'adhérence de la fonction f en 0 est égal à celui de la fonction sin en +∞, c'est-à-dire au segment [-1, 1] (en particulier, f n'a pas de limite en 0). Ce phénomène est illustré par l'accumulation d'oscillations de la courbe au voisinage de l'origine.
Propriétés
La courbe sinus du topologue T est connexe mais ni localement connexe ni connexe par arcs. C'est parce que l'ensemble contient le point (0,0) mais qu'il n'est pas possible de relier la fonction à l'origine ni de tracer un chemin.
L'espace T est l'image continue d'un espace localement compact (T est l'image de {−1} ∪ ]0, 1] par l'application g définie par g(−1) = (0,0) et g(x) = (x, sin(1/x)) pour x > 0), mais n'est pas localement compact lui-même.
La dimension topologique de T est 1.
![{\displaystyle \{(0,y)\mid y\in [-1,1]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dff9ac5c2a53868d76f8bf3f7a7a841876b3ca0)
![{\displaystyle \{(x,1)\mid x\in [0,1]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5327e8b84efd6909fc334b522974b34963cd7e8f)
