Cube du prince Rupert

Autres polyèdres

Le cube n'est pas le seul solide pouvant passer à travers un trou pratiqué dans une copie de lui-même. Par définition, un polyèdre ${\displaystyle P}$ possède la propriété de Rupert si un autre polyèdre de la même forme et de la même taille que ${\displaystyle P}$ peut passer à travers un trou dans ${\displaystyle P}$.

Cette propriété est valable pour tous les polyèdres réguliers. La preuve pour le tétraèdre et l'octaèdre réguliers a été donnée en 1968, celle de l'icosaèdre et du dodécaèdre en 2016. De même, il a été prouvé que neuf des treize solides d'Archimède possèdent cette propriété^{[17],[18],[19]}.

Une autre façon d'exprimer la même question (pour le cube) est de chercher le plus grand carré contenu dans un cube unité. Plus généralement Jerrard et Wetzel ont montré en 2004 que, pour un rapport de côtés donné, le plus grand rectangle contenu dans le cube unité doit passer par le centre du cube, et ses sommets appartenir aux arêtes du cube^[2]. Sans contrainte sur le rapport des côtés, le rectangle contenu dans le cube unité et ayant la plus grande aire est celui formé par deux côtés symétriques par rapport au centre du cube, et les diagonales les joignant^[20].

La propriété de Rupert est démontrée pour onze des treize solides de Catalan ; les deux pour lesquels il reste un doute sont l'hexacontaèdre pentagonal et l'hexacontaèdre trapézoïdal^[21]. De même, 87 des 92 solides de Johnson sont connus pour possèder la propriété de Rupert, à savoir tous sauf ${\displaystyle J_{72}}$, ${\displaystyle J_{73}}$, ${\displaystyle J_{74}}$, ${\displaystyle J_{75}}$, et ${\displaystyle J_{77}}$.

Nopertèdre

Une conjecture de 2017 postule que tout polyèdre convexe possède la propriété de Rupert^[22],[17]. En 2025, Jakob Steininger et Sergey Yurkevich de l'université de Vienne publient un article montrant la construction d'un polyèdre convexe, qu'ils nomment noperthedron (nopertèdre), qui ne possède pas la propriété de Rupert, réfutant ainsi la conjecture précédente^[23]. Le nopertèdre possède, par construction, une symétrie centrale et compte 90 sommets, 240 arêtes et 152 faces : 150 triangles et deux pentadécagones réguliers, qu'on peut voir comme la base et le sommet.

Dans le même article, Steiniger et Yurkevitch conjecturent que le petit rhombicosidodécaèdre est également dépourvu de la propriété de Rupert.

Dimensions supérieures

Une autre généralisation est la recherche du plus grand hypercube de dimension ${\displaystyle m}$ contenu dans l'hypercube unité de dimension ${\displaystyle n}$ ; son ${\displaystyle m}$-volume est toujours un nombre algébrique. Pour ${\displaystyle (m,n)=(3,4)}$ (la recherche du plus grand cube dans le tesseract unité), question posée par Martin Gardner dans Scientific American, Kay R. Pechenick DeVicci et plusieurs autres lecteurs montrèrent que la réponse est la racine carrée de la plus petite racine réelle du polynôme ${\displaystyle 4x^{4}-28x^{3}-7x^{2}+16x+16}$, soit environ 1.007435^[3],[24]. Pour ${\displaystyle m=2}$, le côté du plus grand carré contenu dans le ${\displaystyle n}$-hypercube est ${\displaystyle {\sqrt {n/2}}}$ ou ${\displaystyle {\sqrt {n/2-3/8}}}$, selon que ${\displaystyle n}$ est pair ou impair^[25]. Pour tout n supérieur ou égal à 3, l'hypercube de dimension ${\displaystyle n}$ possède la propriété de Rupert^[26].