Différentielle de Kähler

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

Soient R et S des anneaux commutatifs et φ : R → S un morphisme d'anneau. Un cas fréquent est R un corps et S une algèbre sur R (comme l'anneau de coordonnées d'une variété affine). Les différentielles de Kähler formalisent le fait que les dérivées de polynômes sont à nouveau des polynômiales. En ce sens, la différenciation est une notion qui peut s’exprimer en termes purement algébriques. On peut définir ces différentielles de manières différentes mais équivalentes.

${\displaystyle \Omega _{S/R}=I/I^{2},}$

Une dérivation R-linéaire sur S est un morphisme de R-modules ${\displaystyle d:S\to M}$ satisfaisant la règle de Leibniz ${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df}$ (il résulte de cette définition que l'image de R est dans le noyau de d^[1]). Le module des différentielles de Kähler de ${\displaystyle S}$ relativement à R est le S-module ${\displaystyle \Omega _{S/R}}$ pour lequel il existe une dérivation universelle ${\displaystyle d:S\to \Omega _{S/R}}$ et satisfait la propriété universelle suivante : pour tout S-module M, on a un isomorphisme de S-modules

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(\Omega _{S/R},M){\xrightarrow {\cong }}\operatorname {Der} _{R}(S,M).}$

On décrit Ω_S/R et d en prenant un S-module libre généré par les symboles ds pour chaque s dans S, et en imposant les relations

• dr = 0,
• d(s + t) = ds + dt,
• d(st) = s dt + t ds,

pour tout r dans R et tous s et t dans S. La dérivation universelle envoie s sur ds. Les relations impliquent que la dérivation universelle est un morphisme de R-modules.

On peut voir les différentielles de Kähler différemment. Soit I l'idéal du produit tensoriel ${\displaystyle S\otimes _{R}S}$ défini comme le noyau du morphisme

${\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\end{cases}}}$

Alors le module des différentielles de Kähler peut être défini de manière équivalente par

et la dérivation universelle est le morphisme d défini par

${\displaystyle ds=1\otimes s-s\otimes 1.}$

Cette construction est équivalente à la précédente car I s'identifie au noyau de la projection

${\displaystyle {\begin{cases}S\otimes _{R}S\to S\otimes _{R}R\\\sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1\end{cases}}}$

Ainsi :

${\displaystyle S\otimes _{R}S\equiv I\oplus S\otimes _{R}R.}$

Et ${\displaystyle S\otimes _{R}S/S\otimes _{R}R}$ peut être identifié à I par l'application induite

${\displaystyle \sum s_{i}\otimes t_{i}\mapsto \sum s_{i}\otimes t_{i}-\sum s_{i}\cdot t_{i}\otimes 1.}$

Ceci identifie I avec le S-module généré par les générateurs formels ds pour s dans S, à condition que d soit un morphisme de R-modules qui est nul sur R. Prendre le quotient par I² impose la règle de Leibniz.

Summarize Timeline Top Qs Fact Check

Pour tout anneau commutatif R, le module des différentielles de Kähler de l'anneau polynomial ${\displaystyle S=R[t_{1},\dots ,t_{n}]}$ est un S -module libre de rang n généré par les différentielles des variables :

${\displaystyle \Omega _{R[t_{1},\dots ,t_{n}]/R}^{1}=\bigoplus _{i=1}^{n}R[t_{1},\dots t_{n}]\,dt_{i}.}$

Les différentielles de Kähler sont compatibles avec l'extension des scalaires, dans le sens où pour une R-algèbre R′ et ${\displaystyle S'=R'\otimes _{R}S}$, il existe un isomorphisme

${\displaystyle \Omega _{S/R}\otimes _{S}S'\cong \Omega _{S'/R'}.}$

Par conséquent, les différentielles de Kähler sont compatibles avec la localisation : si W est un ensemble multiplicatif de S, alors il existe un isomorphisme

${\displaystyle W^{-1}\Omega _{S/R}\cong \Omega _{W^{-1}S/R}.}$

Étant donné deux homomorphismes d'anneaux ${\displaystyle R\to S\to T}$, il existe une suite exacte courte de T-modules

${\displaystyle \Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to \Omega _{T/S}\to 0.}$

Si ${\displaystyle T=S/I}$ avec I un idéal, le terme ${\displaystyle \Omega _{T/S}}$ s'annule et la suite peut être prolongée à gauche comme suit :

${\displaystyle I/I^{2}{\xrightarrow {[f]\mapsto df\otimes 1}}\Omega _{S/R}\otimes _{S}T\to \Omega _{T/R}\to 0.}$

Une généralisation de ces suites exactes est fournie par le complexe cotangent.

Cette dernière suite et le calcul ci-dessus dans le cas d'un anneau polynomial permettent le calcul des différentielles de Kähler des R-algèbres de type fini ${\displaystyle T=R[t_{1},\ldots ,t_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})}$. Par exemple, pour un polynôme en un variable,

${\displaystyle \Omega _{(R[t]/(f))/R}\cong (R[t]\,dt\otimes R[t]/(f))/(df)\cong R[t]/(f,df/dt)\,dt.}$