Ensemble parfait

L'ensemble vide est parfait dans tout espace.

Dans ℝ, un segment [a, b] est un exemple simple d'ensemble parfait.

Un exemple moins évident est constitué par l'ensemble de Cantor^[1]. Cet ensemble est totalement discontinu et homéomorphe à l'espace de Cantor ${\displaystyle \{0,1\}^{\mathbb {N} }}$. Plus généralement, l'espace produit {0, 1}^I est parfait lorsque I est un ensemble infini. Un exemple^[2] d'ensemble parfait dans le plan, homéomorphe également à l'ensemble de Cantor, est l'ensemble ${\displaystyle \left\{\left.\sum _{n\in E}a_{n}~\right|~E\subset \mathbb {N} \right\}}$ où ${\displaystyle \sum a_{n}}$ est une série absolument convergente de complexes telle que pour tout N, ${\displaystyle \sum _{n>N}|a_{n}|<|a_{N}|}$.

Dans ℝⁿ, on peut engendrer des ensembles parfaits de la façon suivante. Si ${\displaystyle P^{0}}$ est une partie fermée, on définit le dérivé ${\displaystyle P'=P^{1}}$ de ${\displaystyle P^{0}}$ comme l'ensemble des points d'accumulation de ${\displaystyle P^{0}}$. Pour tout ordinal ${\displaystyle \alpha }$, on pose ${\displaystyle P^{\alpha +1}=(P^{\alpha })'}$ et, si ${\displaystyle \alpha }$ est un ordinal limite, ${\displaystyle P^{\alpha }=\cap _{\beta <\alpha }P^{\beta }}$. Si ${\displaystyle \omega _{1}}$ désigne le premier ordinal non dénombrable, on montre que^[3] :

• Ou bien ${\displaystyle P^{\omega _{1}}=\varnothing }$. On dit que ${\displaystyle P^{0}}$ est réductible ;
• Ou bien ${\displaystyle P^{\omega _{1}}\neq \varnothing }$ et c'est un ensemble parfait. ${\displaystyle P^{0}}$ est la réunion de cet ensemble parfait et d'un ensemble dénombrable.

Un ensemble parfait non vide de ℝ^[4] ou ℝ^n[5] n'est pas dénombrable. Plus généralement et plus précisément :

• tout espace complètement métrisable parfait non vide contient un sous-espace homéomorphe à l'espace de Cantor^[6],[7] ;
• tout espace localement compact parfait non vide contient un sous-ensemble équipotent à l'espace de Cantor^[8].

Dans les deux cas, l'espace considéré a donc au moins la puissance du continu.

Toute partie fermée de ℝ (ou plus généralement : d'un espace polonais) est, de façon unique, réunion disjointe d'une partie dénombrable et d'un ensemble parfait : voir Théorème de Cantor-Bendixson.