Espace totalement discontinu
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En mathématiques, plus précisément en topologie, un espace totalement discontinu est un espace topologique qui est « le moins connexe possible » au sens où il n'a pas de partie connexe non triviale : dans tout espace topologique, l'ensemble vide et les singletons sont connexes ; dans un espace totalement discontinu, ce sont les seules parties connexes.
Un exemple populaire d'espace totalement discontinu est l'ensemble de Cantor. Un autre exemple, important en théorie algébrique des nombres, est le corps Qp des nombres p-adiques.
Un espace topologique X est totalement discontinu si la composante connexe de tout point x de X est le singleton { x }.
Exemples
Les espaces suivants sont totalement discontinus :
- tous les espaces totalement séparés (c'est-à-dire dans lesquels deux points distincts peuvent toujours être séparés par un ouvert-fermé)[1], en particulier
- tous les espaces T0 de dimension zéro (donc réguliers), comme :
- les espaces discrets ;
- les parties non vides de R d'intérieur vide ;
- l'anneau Zp des entiers p-adiques, ou plus généralement, tout groupe profini ;
- la droite de Sorgenfrey (cet espace, contrairement aux précédents, n'est pas localement compact).
- les deux espaces suivants (totalement séparés mais pas de dimension zéro) :
- l'espace d'Erdős[2] des suites de carré sommable de rationnels[3] et ses généralisations[4] (dont la dimension est 1) ;
- le treillis de Roy privé de son sommet[5].
- tous les espaces T0 de dimension zéro (donc réguliers), comme :
- le tipi de Cantor privé de son sommet (totalement discontinu mais pas totalement séparé).
