Enstrophie

Pour un écoulement incompressible la vorticité (ou tourbillon) est définie comme le rotationnel de la vitesse V ou parfois la moitié de cette valeur. En géométrie plane (x, y)

${\displaystyle {\boldsymbol {\Omega }}=\nabla \times \mathbf {V} =(0,0,\Omega )^{t}\,,\qquad \Omega ={\frac {\partial V_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial V_{x}}{\partial y}}}$

Pour toute quantité ${\displaystyle g}$, on note ${\displaystyle {\overline {g}}}$ la moyenne statistique de ${\displaystyle g}$. On suppose le milieu homogène et stationnaire en moyenne : ${\displaystyle {\overline {V}}(x,y,t)=C^{ste}}$. La moyenne statistique se ramène donc à une moyenne temporelle.

Dans un milieu turbulent, on décompose

• la vitesse en moyenne temporelle ${\displaystyle {\overline {\mathbf {V} }}}$ et fluctuation ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {V} ={\overline {\mathbf {V} }}+\mathbf {v} }$

• la vorticité en moyenne temporelle ${\displaystyle {\overline {\Omega }}}$ et fluctuation ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \Omega ={\overline {\Omega }}+\omega }$

On définit alors

• l'énergie    ${\displaystyle k={\frac {1}{2}}\langle v^{2}\rangle }$
• l'enstrophie  ${\displaystyle {\mathcal {E}}={\frac {1}{2}}\langle \omega ^{2}\rangle }$

La turbulence peut être décrite comme un processus stochastique portant sur ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ou ${\displaystyle \omega }$ où on associe un nombre d'onde ${\displaystyle \kappa }$ à chaque échelle caractéristique. Le processus est caractérisé par une densité d'énergie ${\displaystyle E(\kappa )}$ qui permet d'exprimer l'énergie cinétique turbulente ${\displaystyle k}$, la dissipation d'énergie ${\displaystyle \epsilon }$ et l'enstrophie ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ comme

${\displaystyle k=\int _{0}^{\infty }E(\kappa )\mathrm {d} \kappa \,,\qquad \epsilon =2\nu \int _{0}^{\infty }\kappa ^{2}E(\kappa )\mathrm {d} \kappa \,,\qquad {\mathcal {E}}=\int _{0}^{\infty }\kappa ^{2}E(\kappa )\mathrm {d} \kappa }$